参数估计方法

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1、第七章 参数估计第一节 基本概念1、概念网络图 单 正 态 总 体 的 区 间 估 计区 间 估 计 一 致 性有 效 性无 偏 性估 计 量 的 评 选 标 准极 大 似 然 估 计矩 估 计点 估 计从 样 本 推 断 总 体2、重要公式和结论（1）点估计 矩估计设总体 X 的分布中包含有未知数 ，则其分布函数可以表m,21成 它的 k 阶原点矩 中).,;(21mxF ),21)(kXEvk也包含了未知参数 ，即 。又设,21 ,1m为总体 X 的 n 个样本值，其样本的 k 阶原点矩为nx,21 ikx1).,2(这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”的原则建立

2、方程，即有 nimmmnimnixvxv1211221121 .),(,),(,),( 由上面的 m 个方程中，解出的 m 个未知参数 即为参数),(2（ ）的矩估计量。,21若 为 的矩估计， 为连续函数，则 为 的矩估计。)(xg)(g极大似然估计当总体 X 为连续型随机变量时，设其分布密度为，其中 为未知参数。又设),;(21mxf m,21为总体的一个样本，称n2 ),;(),(111 22ni mimxfL为样本的似然函数，简记为 Ln.当总体 X 为离型随机变量时，设其分布律为，则称),;(21mxpP ),;(,;, 1111 222 ni min xpL 为样本的似然函数。若似

3、然函数 在 处取),;,(2211mnx m,21到最大值，则称 分别为 的最大似然估计值，m2 2相应的统计量称为最大似然估计量。 iLiin,1,0l若 为 的极大似然估计， 为单调函数，则 为 的极)(xg)(g大似然估计。无偏性设 为求知参数 的估计量。若 E （ ）= ，则),(21nx称 为 的无偏估计量。E（ ）=E（X） ， E（S 2）=D（X）（2）估计量的评选标准有效性设 和 是未知参数),(211nx ),(21nx的两个无偏估计量。若 ，则称 有效。)(1D21比一致性设 是 的一串估计量，如果对于任意的正数 ，都有n ,0)|(|limnnP则称 为 的一致估计量（

4、或相合估计量） 。n若 为 的无偏估计，且 则 为 的一致估计。),(0)nD只要总体的 E(X)和 D(X)存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相应总体的一致估计量。置信区间和置信度设总体 X 含有一个待估的未知参数 。如果我们从样本出发，找出两个统计量 与nx,21 ),(211nx，使得区间 以),(21n)(21的概率包含这个待估参数 ，即0,21P那么称区间 为 的置信区间， 为该区间的置信度（或置,21信水平） 。设 为总体 的一个样本，在置信度为nx,21 ),(2NX下，我们来确定 的置信区间 。具体步骤如下：和 ,21（i）选择样本函数；（ii）由置信度 ，查表找分位数；1

5、（iii）导出置信区间 。,2（3）区间估计 单正态总体的期望和方差的区间估计已知方差，估计均值（i）选择样本函数 ).1,0(/0Nnxu(ii) 查表找分位数 ./2xP（iii）导出置信区间 nx00,未知方差，估计均值（i）选择样本函数 ).1(/ntSxt(ii)查表找分位数 ./nxP（iii）导出置信区间 Sx,方差的区间估计（i）选择样本函数 ).1()1(22nn（ii）查表找分位数 .)(221 SP（iii）导出置信区间 Sn12,例 71：设总体 ，求对 a, b 的矩估计量。),(aUX例 72：设 是总体的一个样本，试证nx,21（1） ;0353（2） 12541

6、xx（3） .3都是总体均值 u 的无偏估计，并比较有效性。例 73：设 是取自总体 的样本，试证nx,21 ),(2NXniixS122是 的相合估计量。2第二节 重点考核点矩估计和极大似然估计；估计量的优劣；区间估计第三节 常见题型1、矩估计和极大似然估计例 74：设 ，求 的最大似然估计量及矩估计量。0),(UX例 75：设总体 X 的密度函数为 .,0,1)(/)(其 他 xexfx其中 0, , 为未知参数， 为取自 X 的样本。试求 , 的极大似然估nX,21 计量。2、估计量的优劣例 76：设 n 个随机变量 独立同分布，nx,21 ,)(1,)( 2211 niii xSxD则

7、（A）S 是 的无偏估计量； （B）S 是 的最大似然估计量；（C）S 是 的相合估计量； （D） 相互独立。x与2例 77：设总体 X 的密度函数为 ,00),(6)(3其 他 xxf是取自 X 的简单随机样本。nX,21（1） 求 的矩估计量 ；（2） 求 的方差 D（ ） ；（3） 讨论 的无偏性和一致性（相合性） 。3、区间估计例 78：从一批钉子中随机抽取 16 枚，测得其长度（单位：cm）为2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.102.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11假设钉子的

8、长度 X 服从正态分布 ,在下列两种情况下分别求总体均值 的置信)(2N度为 90%的置信区间。（1） 已知 =0.01.（2） 未知.例 79：为了解灯泡使用时数的均值 及标准差 ，测量 10 个灯泡，得 =1500 小时，xS=20 小时。如果已知灯泡的使用时数服从正态分布，求 和 的 95%的置信区间。例 710：设总体 XN（3.4, 62） ，从中抽取容量为 n 的样本，若要求其样本均值 位于区间1.4, 5.4内的概率不小于 0.95，问样本容量 n 至少应取多大？第四节 历年真题数学一：1（97，5 分） 设总体 X 的概率密度为 其 他,01)1()xxf其中 是来自总体 X

9、的一个容量为 n 的简单随机样本，n,.121是 未 知 参 数分别用矩估计法和极大似然估计法求 的估计量。2（99，6 分） 设总体 X 的概率密度为 其 他）（ ,0)(63xxf是取自总体 X 的简单随机样本。nX,21（1） 求 的矩估计量 ；（2） 求 D（ ） 。3（00，6 分） 设某种元件的使用寿命 X 的概率密度为xexf,02);()(其中 0 为未知参数。又设 的一组样本观测值，求参数 的最大似然n是,21估计值。4（02，7 分） 设总体 X 的概率分别为 21)(230p其中 （00 是未知参数，从总体 X 中抽取简单随机样本 ，记 =min（nX,21 ） 。nX,

10、21（1） 求总体 X 的分布函数 F（ x） ；（2） 求统计量 的分布函数 ；)(如果用 作为 的估计量，讨论它是否具有无偏性。7（04，9 分） 设总体 X 的分布函数为,1,0),(xxF其中未知参数 为来自总体 X 的简单随机样本，求：nX,12（I） 的矩估计量；（II） 的最大似然估计量.8 （06，9 分）设总体 的概率密度为X 其 它是 未 知 参 数其 中0 ,1021 10, xxF为来自总体 的简单随机样本，记 为样本值 中小于 1 的个nX,21 Nnx,21数，求 的最大似然估计。数学三：1（91，5 分） 设总体 X 的概率密度为 0,0,),(1xeaxfx其中

11、 是已知常数。试根据来自总体 X 的简单随机样本0,0是 未 知 参 数，求 的最大似然估计量 。nX,21 2（92，3 分） 设 n 个随机变量 独立同分布，nX,21，则niiiSD1211 )(,（A） 的无偏估计量。是S（B） 的最大似然估计是。是（C） 的相合估计量（即一致估计量） 。是（D） 相互独立。 XS与3（93，3 分） 设总体 X 的方差为 1，根据来自 X 的容量为 100 的简单随机样本，测得样本均值为 5。则 X 的数学期望的置信度近似等于 0.95 的置信区间为 。4（96，3 分） 设由来自正态总体 容量为 9 的简单随机样本，得样).0,(2N本均值 的置信

12、区间是 。95.的 置 信 度 为则 未 知 参 数 5（00，8 分） 设 0.51, 1.25, 0.80, 2.00 是来自总体 X 的简单随机样本值。已知Y=lnX 服从正态分布 。)1,(N（1） 求 X 的数学期望 EX（记 EX 为 b） ；（2） 求 的置信度为 0.95 的置信区间；（3） 利用上述结果求 b 的置信度为 0.95 的置信区间。6（02，3 分） 设总体 X 的概率密度为 xexfx若若,0);()(则 是来自总体 X 的简单随机样本，则未知参数 的矩估计量为 。nX,217（04，13 分） 设随机变量 的分布函数为，xxF0,1),(其中参数 . 设 为来

13、自总体 的简单随机样本,1,0nX,2() 当 时, 求未知参数 的矩估计量;() 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量; () 当 时, 求未知参数 的最大似然估计量. 28 （05，4 分）设一批零件的长度服从正态分布 ，其中 均未知。现从),(2N2,中随机抽取 16 个零件，测得样本均值 ，样本标准差 ，则 的置信)(20cmx)(1cms度为 0.90 的置信区间是（A） 164,1642005.5. tt（B） 2,1.01.0tt（C） 54,5420.0. tt（D） 12,1.0.0tt9 （05，13 分）设 为来自总体 的简单随机样本，其2,21nX ),0(2N样本均值为 。记 ， 。XXYiini,21求：（I） 的方差 ， ；iiD,（II） 与 的协方差 。1n)(1nYCov（III ）若 是 的无偏估计量，求常数 。2)(Ycc10 （06，13 分）设总体 的概率密度为 ，其中 是未知X其 它,021,xxf参数 ， 为来自总体的随机样本，记 为样本值)10(n,2 N中小于 1 的个数，求：nX,21（I） 的矩估计；（II） 的最大似然估计。