《【物理竞赛 精】竞赛训练（８）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【物理竞赛 精】竞赛训练（８）（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 质量为m的宇宙飞船绕地球中心0作圆周运动， 已知地球半径为R， 飞船轨道半径为2R。 现要将飞船转移到另一个半径为 4R 的新轨道上，如图 4-10-4 所示，求 （1）转移所需的最少能量； （2） 如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的， 如图中的 ACB 所示， 则飞船在两条轨道的交接处A和B的速度变化 各为多少？ 解: （1）宇宙飞船在 2R 轨道上绕地球运动时，万有引力提供向心力，令其速度为， 乃有 故得 此时飞船的动能和引力势能分别为 所以飞船在 2R 轨道上的机械能为 同理可得飞船在 4R 轨道上的机械能为 BA vv和 1 v R mv R GMm 2
2、)2( 2 1 2 = R GM v 2 1 = R GMm mvEk 42 1 2 11 = R GMm Ep 2 1 = R GMm EEE pk 4 111 =+= R R2 R4 AB C O 图4-10-4 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 以两轨道上飞船所具有的机械能比较，知其机械能的增量即为实现轨道转移所需的最少 能量，即 （2）由（1）已得飞船在 2R 轨道上运行的速度为 同样可得飞船 4R 轨道上运行的速度为 设飞船沿图示半椭圆轨道 ACB 运行时，在 A、B 两点的速度分别为。则由开普 勒第二定律可得 又由于飞船沿此椭圆轨道的一半运行中机械能守恒，故应有 联立以上两式解之可
3、得 故得飞船在 A、B 两轨道交接处的速度变化量分别为 R GMm EEE 8 12 = R GM v 2 1 = R GM v 4 2 = 21 vv 和 RvRv42 21 = R GMm vm R GMm vm 42 1 22 1 2 2 2 1 = R GMm v 3 2 1 = R GMm v 3 2 2 1 2 = 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 例如：三个钢球 A、B、C 由轻质的长为 的硬杆连接，竖立在 水 平 面 上 ， 如 图 4-10-5 所 示 。 已 知 三 球 质 量， ，距离杆处有一面竖直墙。因受微小扰动， 两杆分别向两边滑动， 使 B 球竖直位置下降。 致使
4、C 球与墙面发生碰 撞。设 C 球与墙面碰撞前后其速度大小不变，且所有摩擦不计，各球 的直径都比 小很多，求 B 球落地瞬间三球的速度大小。 解： （1）球碰墙前三球的位置 视 A、B、C 三者为一系统，A、C 在水平面上滑动时，只要 C 不与墙面相碰，则此系 统不受水平外力作用，此系统质心的水平坐标不发生变化。 以图 4-10-6 表示 C 球刚好要碰墙前三球的位置，以表示 此时 BC 杆与水平面间的夹角，则 AB 杆与水平面间的夹角 也为，并令 BA 杆上的 M 点与系统质心的水平坐标相同， 则应有 故得 R GM vvvA 2 1 3 4 11 = R GM vvvB 43 2 1 22
5、 = l mmA2= mmcmB= la 8 25 = l a a aBCmaMBmaAMm CBA coscoscos+= A B C a 图 4-10-5 A B C A v B v C v M 图 4-10-7 44 1l ABMB= 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 由上述知 M 点的水平坐标应与原来三秋所在的位置的水平坐标相同，故知此刻 M 点与 右侧墙面的距离即为， 即M点与C球的水平距离为， 由此有， 即 。 由上式解得，故有 （2）求三球碰墙前的速度 由于碰墙前 M 点的水平坐标不变，则在 A、C 沿水平面滑动过程中的任何时刻，由于 图中的几何约束，C 点与 M 点的水平距离总
6、等于 A 点与 M 点的水平距离的倍，可见任何 时刻 C 点的水平速度大小总为 A 点水平速度大小的倍。以、分别表示图 5-2-2 中三球的速度，则有 又设沿 BC 方向的分量为，则由于和分别为杆 BC 两端的小球速度，则此两 小球速度沿着杆方向的投影应该相等，即 。 再设沿 BA 方向的分量为，同上道理可得 aaaaBCaMB=+coscos lala l 8 25 coscos 4 =+ 2 2 cos=a 45=a 3 5 3 5 A v B v C v AC vv 3 5 = B v BC v B v C v avv CBC cos= B v BA v 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5
7、 注意到 BA 与 BC 两个方向刚好互相垂直，故得的大小为 以两式带入上式，乃得 由于系统与图 5-2-1 状态到图 5-2-2 状态的机械能守 恒，乃有 。 以式代入上式。解方程知可得 （3）求 C 球在刚碰墙后三球的速度 如图 4-10-8 所示，由于 C 球与墙碰撞，导致 C 球的速度反向而大小不变，由于杆 BC 对碰撞作用力的传递，使 B 球的速度也随之变化，这一变化的结果是：B 球速度沿 CB 方向的 分量与 C 球速度沿 CB 方向的分量相等，即 由于 BC 杆只能传递沿其杆身方向的力，故 B 球在垂直于杆身方向（即 BA 方向）的速度 不因碰撞而发生变化，A 球的速度也不因碰撞
8、而发生变化，即其仍为。故得此时 B 球速度 沿 BA 方向的分量满足 avv ABA cos= B v avvvvv ACBABCB cos 2222 +=+= AB vv 9 17 = 222 2 1 2 1 2 1 sin CCBBAABB vmvmvmalgmglm+= glvA) 2 2 1 ( 10 3 = BC v avavv CCBC coscos= A v BA v A B C A v BC v C v BA v 图 4-10-8 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 如图 2-3-5 所示，从A点以的初速度抛出一个小球，在离A点水平距离为s处有一堵 高度为h的墙BC，要求小球能越
9、过B点。 问小球以怎样的角度抛出，才能使最小？ 将斜抛运动看成是方向的匀速直线运动和另一个自由落体运动的合运动，如图 2-3-6 所示。 在位移三角形 ADB 在用正弦定理 轨迹：由直角坐标的位移公式消去时间参数 t 便可得到直 角坐标系中的平抛运 由式中第一个等式可得 将式代入式中第二个等式 0 v 0 v 0 v )sin( 1 sinsin 2 1 0 2 + = a tv a gt sin sin2 0 g av t = )sin(sin sin2 2 0 2 + = a l g av aa gl v sin)sin( sin 2 2 2 0 + = cos)2cos( sin 2 2
10、 0 + = a gl v A B C h D 图 2-3-6 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 当有极大值 1 时，即时，有极小值。 因为 ， 所以 当小球越过墙顶时，y方向的位移为零，由式可得 式代入式：我们还可用另一种处理方法 以 AB 方向作为 x 轴（图 2-3-7）这样一取，小球在 x、y 方向上做的都是匀变速运动了， 和 g 都要正交分解到 x、y 方向上去。 小球运动的方程为 )2cos(+a=+a2 0 v =+a2 =+ 2 2a 2 1 4 =a = = 2 0 2 0 cos 2 1 sin sin 2 1 cos tgatvy tgatvx cos sin2 0 g
11、av t = 0 v 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 当最大，即时，有极小值 = = 2 2 2 1 2 1 tgvy tgtvx yoy xox 200 0 ) cos sin2 (sin 2 1 cos sin2 cos g av g g av avx= )sinsincos(cos cos sin2 2 0 aa g av = )cos(sin cos 2 2 2 0 +=aa g v sin)2sin( cos2 2 0 +=a g v sin)2sin( cos2 2 0 + = a xg v )2sin(+a 2 2 =+a 2 1 4 =a 0 v )sin1/(cos2 2
12、0 = xgv )sin1/()sin1 (cos 22 += xg )sin1 (+= xg )1 ( x h xg+= )( 22 shhg+= A B C x y g 图 2-3-7 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 ， 乃得刚碰撞后 B 球速度大小为 （4）求 B 球落地时三球的速度大小 碰撞后，三球速度都有水平向左的分量，可见此后系统质心速度在水平方向的分量应该方向向左，且由于此 后系统不受水平外力，则应维持不变。由上解得的三球速度，可得应该满足 。 以、诸式代入上式可解得 当 B 球落地时，A、B、C 三小球均在同一水平线上，它们沿水平方向的速度相等，显然，这一速度也就是系统 质心
13、速度的水平分量。而 B 小球刚要落地时，A、C 两球的速度均沿水平方向（即只有水平分量） ，B 球的速度则还 有竖直分量，以 落表示此刻 B 球速度的大小。则由图 4-10-8 所示的状态到 B 小球刚要落地时，系统的机械能守 恒，由此有 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 sin MXCBBMXABCCBBAA vmvmvmglmvmvmvm+=+ 落 以、各式代入上式可解得 落= 综合上述得本题答案为：当 B 小球刚落地时，A、B、C 三球的速度大小分别为 、和。 avv ABA cos= AACBABCB vvvvvv 9 17 2222 =+=+= Mx v Mx v Mx v CCBABCBAAMxCBA vmavavmvmvmmm+=+)sincos()( glvv AMx )22(15 8 1 4 5 = Mx v B v B v gl)24538( 8 1 + gl)22(15 8 1 gl)24538( 8 1 +gl)22(15 8 1
