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1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 第十六届全国物理竞赛复赛试题解答 一、1只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸汽的压强之 和。 0 p总 = 0 p空+ 饱 p = 3.0 大气压 （1） 第一次膨胀后 01 V2V = += 11 pP 空总饱 p = 2.0 大气压 （2） 由于第一膨胀是等温过程，所以 0 p空 0 V = 1 p空 1 V = 2 1 p空 0 V （3） 解（1）、（2）、（3）得 饱 p= 1.0 大气压 （4） 0 p空 = 2.0 大气压 （5） 1 p空 = 1.0 大气压 （6） 由于 饱 p=1.0 大气压，可知汽缸中气体的温
2、度 K373T0= （7） 根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。 2设水蒸汽为 水 摩尔。经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为 饱 p，这时对 于水蒸气和空气分别有 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 饱 p 1 V = 水 R 0 T （8） 1 p空 1 V = 空 R 0 T = 2 R 0 T （9） 同此二式及（5）、（6）式可得 水 = 2 摩尔 （10） 3在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有 22V p总 = 11V p总 （11） 由题意知，,V2V,V4V 0102 =再将（2）式代入，得 0 . 1p 2 = 总 大气压 （12） 评分标准 本题
3、20 分。第 1 问、正确求得（7）式占 9 分；第 2 问、正确求得（10）式占 7 分；第 3 问、正确求得（12）式占有 4 分。 二、1在图复解 16 2 - 1 所示的光路图中，入射光 AB 经透镜 1 L折射后沿 BC 射向 2 L，经 2 L折射后沿 CD 出射。AB、BC、CD 与透镜主轴的交点分别为 P、 P 和 P ，如果 P 为物点，因由 P 沿主轴射 1 O的光线方向不变，由透镜性质可知， P 为 P 经过 1 L所成的像， P 为 P 经 2 L所成的 像，因而图中所示的 1 u、 1 v、 2 u、 2 v之间有下列关系： 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 u1v1
4、 u2 v2 d L1L2 B P A h D O1 O2P h C P 图复解16 - 2 - 1图复解16 - 2 - 1 d f1 + f2 12 222 111 vud f 1 v 1 u 1 f 1 v 1 u 1 += =+ =+ ( ) ( ) ( )3 2 1 当入射光线 PB 与出射光线平行时，图中的 =，利用相似三角形关系可求得 , u v h h 1 2 = 1 2 v u h h = 从而求得 1 2 1 2 v u u v = （4） 联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去 1 v、 2 u、 2 v，可得 )ff (d df u 21 1 1 + = （5）
5、 具体运算过程如下； 由（1）式可得 1 f v u v 1 1 1 1 = （a） 由（2）式可得 1 f u v u 2 2 2 2 = （b） 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 由（4）式可得 1 1 2 2 u v v u = （d） 由（a）、（b）、（d）式可得 1 1 2 2 2 2 1 1 v f f u, f u f v =即 以上式代入（3）式可得 21 1 1, 1 1 2 ff df vv f f 1d + = +=即 （c） 以（c）式代入（1）式得 )ff (d df fffdf df fv vf u 21 1 21 2 11 2 1 11 11 1 + = = =
6、 （5） 由于 d 、 1 f、 2 f均已给定，所以 1 u为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则 此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在 1 L的左方与 1 L相距 )ff (d df u 21 1 1 + =处。又由于 1 u与 无关，凡是通过该点射向 1 L的入射光线都和对应的出射光线相互平行。 2由所得结果（5）式可以看出，当 d 21 ff +时， 1 u0，此情况下的光路图就是图复解 16 2 1 所示。 当 d = 21 ff +时， 1 u，= 0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解 16 2 2 所示。 当 d 21 ff +时， 1 u0，这表
7、明 P 点在 1 L右方，对 1 L来说，它是虚物。由（1）式可知，此 时 1 v 0，由 1 1 2 2 v f f u=可知 2 u0，又由 1 1 2 2 u v v u =0 可知 2 u0，所以此时的光路图如图复解 16 2 3 。 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 L1L2 h h f1 f2 O1 O2 d P d = f1 + f2 L1 L2 h h O1 O2 P P d P d f1 + f2 图复解16 - 2 - 2图复解16 - 2 - 2图复解16 - 2 - 3图复解16 - 2 - 3 评分标准 本题 25 分。第 1 问 17 分，其中（1）、（2）、（3）
8、式各 2 分，（4）式分， （5）式 3 分，结论 4 分；第 2 问 8 分，其中图复解 16 2 - 1，16 2 - 3 各给 3 分，图复解 16 2 - 2 给 2 分。 三、根据题中所给的条件，当圆环内通过电流 I 时，圆环中心的磁感强度 B = r2 I 0 穿过圆环的磁量可近似为 B C = Ir 2 I 0 （1） 根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小 t r 2t 0 = = （2） 圆环的电阻 R = t2 r 0 = （3） 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 根据题设条件 r = 0.05 m, 27 0 AN104 =, I = 100 A, t 6
9、 10安培/ 年 3 14 10安 培/秒，代入（3）式得 R 3 23 10 （4） 由电阻与电阻率、导线截面积 S、长度 l 的关系 R = S l 及已知导线的直径 d = 1mm ,环半径 r = 5mm ，得电阻率 = m105 . 7 r8 d R l S R 29 2 = 。 评分标准 本题 25 分。求得（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各得 5 分；其中（5） 式只要数量级对即可。 四、1、双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度率为 v，向心加速度满足下面的方 程： 2 22 L GM 2/L v M= （1） L2 GM v = （2） 周期 )( GM L2
10、 L v 2/L2 T = 计算 （3） 2根据观测结果，星体的运动周期 计算观测 T N 1 T= 计算 T （4） 这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其它指向中心的作用力。按 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等 于球内暗物质的总质量 M 位于中点处的质点相同。考虑暗物质作用于后双星的速度即为观察到的 速度 观 v，则有 () () L2 M4MG v 2/L MM G L GM 2/L v M 22 2 2 + = += 观 观 ( ) ( )6 5 因为在轨道一定时，周期和速度成
11、反比，由（4）式得 v 1 N 1 v 1 = 观 （7） 把（2）、（6）式代入（7）式得 M 4 1N M = （8） 设所求暗物质的密度为，则有 () () 3 3 L2 M1N3 M 4 1N 2/L 3 4 = = 故 （9） 评分标准 本题 20 分。第 1 问 5 分；第 2 问 15 分。求得（6）式给 8 分，求得（9）式给 7 分。 五本题可能有多种解法，在此提供两种解法。 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 解法一 1（1）电阻图变形。 此题连好的线路的平面图如图复解 165-1 所示。现将电阻 环改画成三角形，1、3、5 三点为顶点，2、4、6 三点为三边中 点，如图复解
12、 165-2 与图复解 165-3 所示，整个连好的线路 相当于把 n D的三个顶点分别接到 1n D 的三个中点上，图复解 16 5-1 变为图复解 1654 。这样第 1 问归结为求图复解 165-4 中最外层三角环任意两顶点间的等效电阻。 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 56 图复解16 - 5 - 2图复解16 - 5 - 2图复解16 - 5 - 3图复解16 - 5 - 3 （2）递推公式。 D5 D4 D3 D2 D1 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 图复解16 - 5 - 1图复解1
13、6 - 5 - 1 图复解16 - 5 - 4图复解16 - 5 - 4 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 为使图形简化，讨论如何将接好的两个电阻环化简成为一个单环。由六个阻值为 r 的电阻构成 一个三角环，将其顶点接在另一由六个阻值为 R 的三角环的中点上（如图复解 165-5 所示）。 图复解 165-6 是由六个阻值为 R 的电 阻构成的三角环。若图复解 165-5 顶点 1、3 间的电阻与图复解 165-6 顶点 1、3 间的电阻阻值相等，我们称图复解 165-6 中的 R 为等效单环电阻。 用符号表示电阻的并联，如： A R BA B R/1R/1 1 R + = 由图复解 165-
14、5 中的对称性可知，1、3 两顶点间的电阻 3 , 1 R等于图复解 16-5-7 中 1、0 时 的电阻 0, 1 R的 2 倍，即 ( )() R/r 3 1 RR Rr R3r4 3 1 R/ R3r2 R3rR4 2R/R r2 1 r 1 R 1 1 2 R/Rr2/r/R2R2R 2 0, 13 , 1 += + + = + + = + + = += （1） 同理，图复解 165-6 中 1、3 两顶点间的电阻 3 , 1 R为 ()R 3 4 R/R22R 3 , 1 = = （2） 由（1）、（2）式得等效单环电阻 R为 R/r 4 1 R 4 3 R+= （3） 1 R R R r r r 0 图复解16 - 5 - 7图复解16 - 5 - 7 13 R RR R RR
