【数学建模】第二十一章 目标规划

《【数学建模】第二十一章 目标规划》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【数学建模】第二十一章 目标规划（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 253 第二十一章 目标规划 1 目标规划的数学模型 为了具体说明目标规划与线性规划在处理问题的方法上的区别， 先通过例子来介绍 目标规划的有关概念及数学模型。 例1 某工厂生产 I，II 两种产品，已知有关数据见下表 I II 拥有量 原材料 kg 2 1 11 设 备 hr 1 2 10 利润 元/件 8 10 试求获利最大的生产方案。 解 这是一个单目标的规划问题，用线性规划模型表述为： 21 108maxxxz+= + + 0, 102 112 21 21 21 xx xx xx 最优决策方案为：62, 3, 4 * 2 * 1 =zxx元。 但实际上工厂

2、在作决策方案时，要考虑市场等一系列其它条件。如 （i）根据市场信息，产品 I 的销售量有下降的趋势，故考虑产品 I 的产量不大于 旗开得胜 读万卷书 行万里路 254 产品 II。 （ii）超过计划供应的原材料，需要高价采购，这就使成本增加。 （iii）应尽可能充分利用设备，但不希望加班。 （iv）应尽可能达到并超过计划利润指标 56 元。 这样在考虑产品决策时， 便为多目标决策问题。 目标规划方法是解决这类决策问题 的方法之一。下面引入与建立目标规划数学模型有关的概念。 1. 正、负偏差变量 设d为决策变量的函数，正偏差变量0 ,max 0 ddd= + 表示决策值超过目标值 的部分，负偏差

3、变量0 ,min 0 ddd= 表示决策值未达到目标值的部分，这里 0 d 表示d的目标值。因决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，即恒有 0= + dd。 2. 绝对约束和目标约束 绝对约束是指必须严格满足的等式约束和不等式约束； 如线性规划问题的所有约束 条件，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。目标约束是目标 规划特有的， 可把约束右端项看作要追求的目标值。 在达到此目标值时允许发生正或负 偏差，因此在这些约束中加入正、负偏差变量，它们是软约束。线性规划问题的目标函 数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变换为目标约束。也可根据问题的需要将 绝对约束变换为目标

4、约束。如：例 1 的目标函数 21 108xxz+=可变换为目标约束 56108 1121 =+ + ddxx。 绝 对 约 束112 21 + xx可 变 换 为 目 标 约 束 112 2221 =+ + ddxx。 3. 优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题常常有若干目标。 但决策者在要求达到这些目标时， 是有主次或轻重 旗开得胜 读万卷书 行万里路 255 缓急的不同。凡要求第一位达到的目标赋于优先因子 1 P，次位的目标赋于优先因子 , 2 P， 并规定KkPP kk , 2 , 1, 1 = + 。 表示 k P比 1+k P有更大的优先权。 以此类推， 若要区别具有相同优先

5、因子的两个目标的差别，这时可分别赋于它们不同的权系数 j w， 这些都由决策者按具体情况而定。 4. 目标规划的目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按各目标约束的正、负偏差变量和赋于相应的 优先因子而构造的。当每一目标值确定后，决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。因 此目标规划的目标函数只能是),(min + =ddfz。其基本形式有三种： （1）要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都要尽可能地小，这时 )(min + +=ddfz （2）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能地小， 这时 )(min + =dfz （3）要求超过目标值，即超过量不限，但必须是负偏差

6、变量要尽可能地小，这时 )(min =dfz 对每一个具体目标规划问题，可根据决策者的要求和赋于各目标的优先因子来构造目 标函数，以下用例子说明。 例 2 例 1 的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：首先是产品 II 的产 量不低于产品 I 的产量；其次是充分利用设备有效台时，不加班；再次是利润额不小于 56 元。求决策方案。 旗开得胜 读万卷书 行万里路 256 解 按决策者所要求的，分别赋于这三个目标 321 ,PPP优先因子。这问题的数学 模型是 + + 3322211 )(mindPddPdP = =+ =+ =+ + + + + + . 3 , 2 , 1, 0, 56108

7、 102 0 112 21 3321 2221 1121 21 iddxx ddxx ddxx ddxx xx ii 目标规划的一般数学模型为 += = + = K k klkklk L l l dwdwPz 11 min = = =+ + = = + Kkdd mibxa Kkgddxc kk n j ijij n j kkkjkj , 2 , 1, 0, , 1,),( , 2 , 1, 1 1 建立目标规划的数学模型时，需要确定目标值、优先等级、权系数等，它都具有一定的 主观性和模糊性，可以用专家评定法给以量化。 2 多标规划的 Matlab 解法 多目标规划可以归结为 , min x

8、使得 旗开得胜 读万卷书 行万里路 257 goalweightxF)( beqxAeqbxA=, 0)(, 0)(=xceqxc ubxlb 其中lbbeqbgoalweightx,和ub是向量，A和Aeq是矩阵；)(),(xceqxc和)(xF 是向量函数，他们可以是非线性函数。)(xF是所考虑的目标函数，goal是欲达到的目 标，多目标规划的 Matlab 函数 fgoalattain 的用法为 x,fval= fgoalattain(fun,x0,goal,weight) x,fval= fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b) x,fval= fgoal

9、attain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq) x,fval = fgoalattain(fun,x0,goal,weight,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon) 其中 fun 是用 M 文件定义的目标向量函数，x0是初值，weight 是权重。A,b 定义不 等式约束 A*xb， Aeq,beq 定义等式约束 Aeq*x=Beq， nonlcon 是用 M 文件定义的 非线性约束 c(x)0，ceq(x)=0。返回值 fval 是目标向量函数的值。 要完整掌握其用法，请用 help fgoalattain 或 type fgoalattain

10、查询相关的 帮助。 例 3 求解多目标线性规划问题 422 43211 23 min 708090100 max xxZ xxxxZ += += 旗开得胜 读万卷书 行万里路 258 = + + + + 4 , 1 , 0 4823 12023 30 30 42 31 43 21 ix xx xx xx xx i 解 （i）编写 M 函数 Fun.m: function F=Fun(x); F(1)=-100*x(1)-90*x(2)-80*x(2)-70*x(4); F(2)=3*x(2)+2*x(4); （ii）编写 M 文件 a=-1 -1 0 0 0 0 -1 -1 3 0 2 0 0

11、 3 0 2; b=-30 -30 120 48; c1=-100 -90 -80 -70; c2=0 3 0 2; x1,g1=linprog(c1,a,b,zeros(4,1) %求第一个目标函数的目标值 x2,g2=linprog(c2,a,b,zeros(4,1) %求第二个目标函数的目标值 g3=g1;g2 %目标goal的值 x,fval=fgoalattain(Fun,rand(4,1),g3,abs(g3),a,b,zeros(4,1) %这里权重weight=目标goal的绝对值 就可求得问题的解。 旗开得胜 读万卷书 行万里路 259 习题二十一 1. 试求解多目标线性规划

12、问题 += += 212 211 2 3 max xxz xxz s.t. + 0, 5 5 7 21 2 1 21 xx x x xx 2一个小型的无线电广播台考虑如何最好地安排音乐、新闻和商业节目时间。依 据法律，该台每天允许广播12小时，其中商业节目用以赢利，每分钟可收入250美元， 新闻节目每分钟需支出40美元，音乐节目每播一分钟费用为17.50美元。法律规定，正 常情况下商业节目只能占广播时间的20%，每小时至少安排5分钟新闻节目。问每天的 广播节目该如何安排？优先级如下： 1 p：满足法律规定的要求； 2 p：每天的纯收入最大。 试建立该问题的目标规划模型。 3. 某工厂生产两种产品,每件产品I可获利10元，每件产品II可获利8元。每生产一 件产品I， 需要3小时； 每生产一件产品II， 需要2.5小时。 每周总的有效时间为120小时。 若加班生产，则每件产品I的利润降低1.5元；每件产品II的利润降低1元。决策者希望在 允许的工作及加班时间内取最大利润，试建立该问题的目标规划模型，并求解。