《高中数学人教A版【精品习题】选修1-1课时提升作业 十四 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用 精讲优练课型 含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版【精品习题】选修1-1课时提升作业 十四 2.2.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用 精讲优练课型 含答案（15页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 温馨提示： 此套题为 Word 版， 请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴， 调节合适的观看比例， 答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业 十四 双曲线方程及性质的应用 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2015全国卷)已知 M(x0,y0)是双曲线 C:x 2 2 -y2=1 上的一点,F1,F2是 C 的两个焦点,若 MF1 MF2 0,则 y0的取值范围是 ( ) A.( 3 3 , 3 3 ) B.( 3 6 , 3 6 ) C.( 22 3 , 22 3 ) D.( 23 3 , 23 3 ) 【解析】选 A.因为
2、F1(-3,0),F2(3,0), x0 2 2 -y0 2=1, 所以MF1 MF2 =(-3-x0,-y0)(3-x0,-y0)=x0 2+y 0 2-30, 即 3y0 2-10,解得-3 3 y02,所以当l与双曲线的两交点在左、 右两支上 时应该有两条,共三条. 3.(2016泉州高二检测)若曲线 C 上存在点 M,使 M 到平面内两点 A(-5,0),B(5,0)距离之差为 8,则称曲线 C 为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是 ( ) A.x+y=5 B.x2+y2=9 C.x 2 25+ y2 9 =1 D.x2=16y 【解析】选 B.因为 M 到平面内两点 A(-5,0
3、),B(5,0)距离之差为 8,所以 M 的轨迹是以 A(- 5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支,方程为x 2 16- y2 9 =1(x4),A:直线 x+y=5 过点(5,0)满足题 意;B:x2+y2=9 的圆心为(0,0),半径为 3,与 M 的轨迹没有交点,不满足题意;C:x 2 25+ y2 9 =1 的右 顶点(5,0),满足题意;D:方程代入x 2 16- y2 9 =1,可得 y-y 2 9 =1,即 y2-9y+9=0,所以 y=3,满足题意. 4.(2016青岛高二检测)过双曲线x 2 a2- y2 b2 =1(a0,b0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直
4、线 与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B,C.若AB =1 2 BC ,则双曲线的离心率是 ( ) A.2 B.3 C.5 D.10 【解析】选 C.右顶点为 A(a,0), 则直线方程为 x+y-a=0, 可 求 得 直 线 与 两 渐 近 线 的 交 点 坐 标B( a2 a+b , ab a+b) ,C( a2 ab , ab ab) , 则 BC =( 2a2b a2b2 , 2a2b a2b2) , AB =( ab a+b , ab a+b). 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 又 2AB =BC ,所以 2a=b,所以 e=5. 【补偿训练】 已知 F1, F2分别是双曲线x 2
5、 a2- y2 b2 =1(a0,b0)的左、 右焦点,过 F1作垂直于 x 轴 的直线交双曲线于 A,B 两点.若ABF2为直角三角形,则双曲线的离心率为 ( ) A.1+2 B.12 C.2 D.21 【解析】选 A.因为ABF2是直角三角形, 所以AF2F1=45,|AF1|=|F1F2|,b 2 a =2c. 所以 b2=2ac,所以 c2-a2=2ac, 所以 e2-2e-1=0. 解得 e=12.又 e1,所以 e=1+2. 5.(2016沈阳高二检测)已知双曲线 E 的中心在原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线l与 E 相 交于 A,B 两点,且 AB 中点为 N(-
6、12,-15),则 E 的方程为 ( ) A.x 2 3 -y 2 6 =1 B.x 2 4 -y 2 5 =1 C.x 2 6 -y 2 3 =1 D.x 2 5 -y 2 4 =1 【解析】选 B.由已知条件易得直线l的斜率 k= 150 123 =1,设双曲线方程为 x2 a2 - y2 b2 =1(a0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2), 则 x1 2 a2 - y1 2 b2 =1, x2 2 a2 - y2 2 b2 =1, 两 式 相 减 并 结 合 x1+x2=- 24,y1+y2=-30 得 y1y2 x1x2= 4b2 5a2,从而 4b2 5a2=1,又因为 a
7、 2+b2=c2=9,故 a2=4,b2=5,所以 E 的方 程为x 2 4 -y 2 5 =1. 【拓展延伸】解决与双曲线弦的中点有关问题的两种方法 (1)根与系数的关系法:联立直线方程和双曲线方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,将端点坐标分别代入双曲线方程,然后作差,构造 出中点坐标和斜率的关系,可求斜率 k= y1y2 x1x2.这是解决与中点有关问题的简便而有效的方 法.求弦中点轨迹问题,此方法依然有效. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 6.(
8、2016济南高二检测)已知双曲线x 2 a2- y2 b2 =1(a0,b0)和椭圆x 2 16+ y2 9 =1 有相同的焦点,且 双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 . 【解析】 由题意知,椭圆的焦点坐标是(7,0),离心率是7 4 .故在双曲线中c=7,e=27 4 =c a, 故 a=2,b2=c2-a2=3,故所求双曲线的方程是x 2 4 -y 2 3 =1. 答案:x 2 4 -y 2 3 =1 7.已知双曲线 C:x 2 a2- y2 b2 =1(a0,b0)的右焦点为 F,过 F 且斜率为3的直线交双曲线 C 于 A,B 两点.若AF =4FB ,则双曲线 C
9、的离心率为 . 【解析】设 A,B 两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 由 y = 3(x c), x2 a2 y2 b2 = 1, 得(b2-3a2)y2+23b2cy+3b4=0, 因为 b2-3a20, 所以 y1+y2=23b 2c 3a2b2 ,y1y2= 3b4 b23a2 , 由AF =4FB 得 y1=-4y2, 所以-3y2=23b 2c 3a2b2 ,-4y2 2= 3b4 b23a2 , 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 所以 y2= 2b2c 3(b23a2) , 代入-4y2 2= 3b4 b23a2 ,得 16c2=27a2-9b2,又 b2=c2-a2
10、, 所以 16c2=27a2-9c2+9a2, 所以 36a2=25c2,所以 e2=36 25, 所以 e=6 5. 答案:6 5 8.已知直线l:x-y+m=0 与双曲线 x2-y 2 2 =1 交于不同的两点 A,B,若线段 AB 的中点在圆 x2+y2=5 上,则 m 的值是 . 【解析】由 x y + m = 0, x2 y2 2 = 1, 消去 y 得 x2-2mx-m2-2=0. =4m2+4m2+8=8m2+80. 设 A(x1,y1),B(x2,y2). 则 x1+x2=2m,y1+y2=x1+x2+2m=4m, 所以线段 AB 的中点坐标为(m,2m), 又因为点(m,2m
11、)在圆 x2+y2=5 上, 所以 5m2=5,所以 m=1. 答案:1 【补偿训练】双曲线x 2 9 -y 2 16=1 的两个焦点为 F 1,F2,点 P 在双曲线上,若 PF1PF2,则点 P 到 x 轴的距离为 . 【解析】设|PF1|=m,|PF2|=n(mn),所以 a=3,b=4,c=5. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 由双曲线的定义知,m-n=2a=6,又 PF1PF2. 所以PF1F2为直角三角形. 即 m2+n2=(2c)2=100. 由 m-n=6,得 m2+n2-2mn=36, 所以 2mn=m2+n2-36=64,mn=32. 设点 P 到 x 轴的距离为 d,
12、SPF1F2=1 2d|F 1F2|= 1 2|PF 1|PF2|, 即1 2d2c= 1 2mn.所以 d= mn 2c =32 10=3.2, 即点 P 到 x 轴的距离为 3.2. 答案:3.2 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 9.双曲线的中心为原点 O,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为l1,l2,经过右焦点 F 且垂直于l1的 直线分别交l1,l2于 A,B 两点.已知|OA |,|AB |,|OB |成等差数列,且BF 与FA 同向. (1)求双曲线的离心率. (2)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程. 【解析】(1)设 OA=m-d,AB=m,
13、OB=m+d,双曲线方程为x 2 a2- y2 b2 =1. 由勾股定理可得(m-d)2+m2=(m+d)2, 得 d=1 4m,tanAOF= b a, tanAOB=tan2AOF=AB OA= 4 3. 由倍角公式得 2b a 1(b a) 2= 4 3, 解得b a= 1 2,则离心率 e= 5 2 . 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 (2)直线 AB 的方程为 y=-a b(x-c),与双曲线方程 x2 a2- y2 b2 =1 联立消 y 并将 a=2b,c=5b 代入, 化简有 15 4b2 x2-85 b x+21=0. x1+x2=325b 15 ,x1x2=28b 2 5
14、 , 设交点 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则|AB|=1 + (a b) 2 |x1-x2| =1 + (a b) 2(x 1+ x2)2 4x1x2=4, 将数值代入,得 4=5(325b 15 ) 2 4 28b2 5 , 解得 b=3,故所求的双曲线方程为x 2 36- y2 9 =1. 10.已知直线 y=ax+1 与双曲线 3x2-y2=1 交于 A,B 两点. (1)若以 AB 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值. (2)是否存在这样的实数 a,使 A,B 两点关于直线 y=1 2x 对称?若存在,请求出 a 的值;若不存在, 请说明理由. 【解析
15、】(1)由y = ax + 1, 3x2 y2= 1. 消去 y 得, (3-a2)x2-2ax-2=0. 依题意3 a 2 0, 0. 即-6a0,b0)左右两支分别交于 M,N 两点,F 是双曲线 C 的右焦点,O 是坐标原点,若|FO |=|MO |,则双曲线的离心率等于 ( ) A.3+2 B.3+1 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 C.2+1 D.22 【解析】选 B.由题知|MO|=|NO|=|FO|, 所以MFN 为直角三角形,且MFN=90, 取左焦点为 F0,连结 NF0,MF0,由双曲线的对称性知,四边形 NFMF0为平行四边形. 又因为MFN=90,所以四边形 NFMF0为矩形, 所以|MN|=|F0F|=2c, 又因为直线 MN 的倾斜角为 60,即NOF=60, 所以NMF=30, 所以|NF|=|MF0|=c,|MF|=3c, 由双曲线定义知|MF|-|MF0|=3c-c=2a, 所以 e=c a=3+1. 【补偿训练】过双曲线 M:x2-y 2 b2 =1(b0)的左顶点 A 作斜率为 1 的直线l.若l与双曲线 M 的两条渐近线分别相交于点 B,C,且 B 是 AC 的中点,则双曲线 M 的离心率为 ( ) A.5 2 B.10 3 C.5 D.10 【解析】 选 D.由题意可知 A(-1,0),故直线l的
