《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（十） 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 探究导学课型 版含答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教A版高中数学选修1-1课时提升作业（十） 2.1.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质 探究导学课型 版含答案（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 温馨提示： 此套题为 Word 版， 请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴， 调节合适的观看比例， 答案解析附后。 关闭 Word 文档返回原板块。 课时提升作业(十) 椭圆的简单几何性质 (25 分钟 60 分) 一、选择题(每小题 5 分，共 25 分) 1.已知 F1，F2为椭圆x 2 a2+ y2 b2 =1(ab0)的两个焦点，过 F2作椭圆的弦 AB，若AF1B 的周 长为 16，椭圆离心率 e=3 2 ，则椭圆的方程是 ( ) A.x 2 4 +y 2 3 =1 B.x 2 16+ y2 4 =1 C.x 2 16+ y2 12=1 D.x 2 16+
2、 y2 3 =1 【解析】选 B.由题意知 4a=16，即 a=4， 又因为 e=3 2 ，所以 c=23， 所以 b2=a2-c2=16-12=4， 所以椭圆的标准方程为x 2 16+ y2 4 =1. 2.(2015西安高二检测)两个正数 1，9 的等差中项是 a，等比中项是 b 且 b0，则曲线 x2 a +y 2 b =1 的离心率为 ( ) A.10 5 B.210 5 C.2 5 D.3 5 【解析】选 A.因为 a=9+1 2 =5，b=1 9=3， 所以 e=2 5= 10 5 . 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 3.(2015怀化高二检测)过椭圆x 2 25+ y2 16=
3、1 的中心任作一直线交椭圆于 P，Q 两点，F 是椭圆 的一个焦点，则PQF 周长的最小值是 ( ) A.14 B.16 C.18 D.20 【解析】选 C.如图设 F 为椭圆的左焦点，右焦点为 F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|=|PF2|， |OP|=|OQ|，所以PQF的周长为 |PF|+|FQ|+|PQ|=|PF|+|PF2|+2|PO|=2a+2|PO|=10+2|PO|，易知 2|OP|的最小值为椭圆的 短轴长，即点 P，Q 为椭圆的上下顶点时，PQF 的周长取得最小值 10+24=18，故选 C. 4.设 F1， F2是椭圆 E：x 2 a2+ y2 b2 =1(ab0)的左、右
4、焦点，P 为直线 x=3a 2 上一点， F2PF1是底角为 30的等腰三角形，则 E 的离心率为 ( ) A.1 2 B.2 3 C.3 4 D.4 5 【解析】选 C.如图， F2PF1是底角为 30的等腰三角形|PF2|=|F2F1|=2(3 2 a c)=2ce=c a= 3 4. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 5.过椭圆x 2 a2+ y2 b2 =1(ab0)的左焦点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于点 P，F2为右焦点，若 F1PF2=60，则椭圆的离心率为 ( ) A.2 2 B.3 3 C.1 2 D.1 3 【解析】 选 B.将 x=-c 代入椭圆方程可解得点 P(c, b
5、2 a )， 故|PF1|=b 2 a ， 又在 RtF1PF2 中F1PF2=60， 所以|PF2|=2b 2 a ，根据椭圆定义得3b 2 a =2a， 从而可得 e=c a= 3 3 . 【一题多解】选 B.设|F1F2|=2c，则在 RtF1PF2中，|PF1|=23 3 c，|PF2|=43 3 c. 所以|PF1|+|PF2|=23c=2a，离心率 e=c a= 3 3 . 二、填空题(每小题 5 分，共 15 分) 6.已知椭圆x 2 5 +y 2 m=1 的离心率 e= 10 5 ，则 m 的值为_. 【解析】当焦点在 x 轴上时，a2=5，b2=m， 所以 c2=a2-b2=
6、5-m. 又因为 e=10 5 ，所以5m 5 =(10 5 ) 2 ，解得 m=3. 当焦点在 y 轴上时，a2=m，b2=5， 所以 c2=a2-b2=m-5. 又因为 e=10 5 ，所以m5 m =(10 5 ) 2 ，解得 m=25 3 . 故 m=3 或 m=25 3 . 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 答案：3 或25 3 【误区警示】认真审题，防止丢解 在求椭圆方程或利用方程研究椭圆性质时，一定要注意椭圆的位置是否确定，若没有确定， 则应该有两解. 7.已知椭圆的短半轴长为 1，离心率 00，所以 a21， 所以 1a2，故长轴长 2b0). 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6
7、 如图所示， A1FA2为等腰直角三角形， OF 为斜边 A1A2的中线(高)， 且|OF|=c， |A1A2|=2b， 所以 c=b=4，所以 a2=b2+c2=32， 故所求椭圆的标准方程为x 2 32+ y2 16=1. 10.设 P 是椭圆x 2 a2+ y2 b2 =1(ab0)上的一点，F1，F2是其左、右焦点.已知 F1PF2=60，求椭圆离心率的取值范围. 【解题指南】利用椭圆的定义得到 a，b，c 的不等式，再化为离心率求范围. 【解析】根据椭圆的定义，有|PF1|+|PF2|=2a， 在F1PF2中，由余弦定理得 cos 60=|PF1| 2+|PF2|2|F1F2|2 2
8、|PF1|PF2| =1 2， 即|PF1|2+|PF2|2-4c2=|PF1|PF2|. 式平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|PF2|=4a2. 由得|PF1|PF2|=4b 2 3 . 由和运用基本不等式， 得|PF1|PF2|(|PF1|+|PF2| 2 ) 2 ，即4b 2 3 a2. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 由 b2=a2-c2，故4 3(a 2-c2)a2，解得 e=c a 1 2. 又因为 e1，所以该椭圆离心率的取值范围为1 2 ,1). 【一题多解】设椭圆与 y 轴交于 B1，B2两点， 则当点 P 位于 B1或 B2时，点 P 对两个焦点的张角最大，
9、故F1B1F2F1PF2=60，从而OB1F230. 在 RtOB1F2中，e=c a=sinOB 1F2sin 30= 1 2. 又因为 eb0)上的一点，若 PF1 PF2 =0，tanPF1F2=1 2，则此椭圆的离心率为 ( ) 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 A.1 2 B.2 3 C.1 3 D.5 3 【解析】选 D.由PF1 PF2 =0，得PF1F2为直角三角形，由 tanPF1F2=1 2，设|PF 2|=m， 则 |PF1|=2m， 又|PF2|2+|PF1|2=4c2(c=a2 b2) ， 即 4c2=5m2， c= 5 2 m， 而 |PF2|+|PF1|=2a=3
10、m， 所以 a=3m 2 .所以离心率 e=c a= 5 3 . 【补偿训练】设 e 是椭圆x 2 4 +y 2 k =1 的离心率，且 e(1 2 ,1)，则实数 k 的取值范围是 ( ) A.(0，3) B.(3, 16 3 ) C.(0，3)(16 3 ,+) D.(0，2) 【解析】选 C.当 k4 时，c=k 4， 由条件知1 4 k4 k 16 3 ； 当 0k4 时，c=4 k， 由条件知1 4 4k 4 1， 解得 0kb0)的焦距为 2c， 以 O 为圆心， a 为半径作圆， 过点(a 2 c ,0)作圆的两切线互相垂直，则离心率 e=_. 【解析】如图，切线 PA，PB 互
11、相垂直，半径 OA 垂直于 PA， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 9 所以OAP 是等腰直角三角形，故a 2 c =2a， 解得 e=c a= 2 2 . 答案：2 2 4.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1，则椭圆长轴的最小值为 _. 【解析】设椭圆方程为x 2 a2+ y2 b2 =1(ab0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶 点为椭圆短轴端点， 所以 S=1 22cb=bc=1 b2+c2 2 =a 2 2 . 所以 a22.所以 a2，所以长轴长 2a22. 答案：22 【拓展延伸】基本不等式在椭圆中的应用 在椭圆定义和性质中，有|PF1|+|PF2|=
12、2a 和 a2=b2+c2两个等式，为基本不等式中“和定积 最大”准备了条件. 三、解答题(每小题 10 分，共 20 分) 5.(2015成都高二检测)已知 F 是椭圆 C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长 线交 C 于点 D，且BF =2FD .求椭圆 C 的离心率. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 10 【解题指南】由BF =2FD ，建立关于参数 a，c 的等量关系，求其离心率便可. 【解析】不妨设椭圆方程为x 2 a2+ y2 b2 =1(ab0)，其中 F 是左焦点，B 是上顶点，则 F(-c， 0)，B(0，b)，设 D(x，y)，则(-c，-b)=2(x+c，
13、y)， 所以2(x + c) = c, 2y = b, 解得 x=-3 2c，y=- b 2. 又因为点 P 在椭圆 C 上. 所以 (3 2c) 2 a2 + (b 2) 2 b2 =1. 整理得c 2 a2= 1 3，所以 e= c a= 3 3 . 6.已知椭圆 C 的中心在原点，一个焦点为 F(-2，0)，且长轴长与短轴长的比是 23. (1)求椭圆 C 的方程. (2)设点 M(m，0)在椭圆 C 的长轴上，点 P 是椭圆上任意一点.当|MP |最小时，点 P 恰好 落在椭圆的右顶点，求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)由题意知 c = 2, a b = 2 3 , a2= b2
14、+ 4, 解得a 2 = 16, b2= 12. 所以椭圆 C 的方程为x 2 16+ y2 12=1. (2)设 P (x0，y0)，且x0 2 16+ y0 2 12=1， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 11 所以|MP |2=(x0-m)2+y0 2 =x0 2-2mx 0+m2+12(1 x0 2 16) =1 4 x0 2-2mx 0+m2+12 =1 4(x 0-4m)2-3m2+12. 所以|MP |2为关于 x0的二次函数，开口向上，对称轴为 4m. 由题意知，当 x0=4 时，|MP |2最小， 所以 4m4，所以 m1. 又点 M(m，0)在椭圆长轴上，所以 1m4. 关闭 Word 文档返回原板块
