四、晶带及晶带定律在晶体结构或空间点阵中，平行于同一个方向的所有晶面族称为一个晶带，该方向则称为晶带轴例如，正方晶系中[01]晶带所包括的晶面族有：(10)、(01)、(10)、(1-20)等等 根据晶带的定义，同一晶带中所有的晶面的法线都与晶带轴垂直设晶带轴[uvw]的矢量为r＝ua+vb+wc；晶面(HKL)的法线矢量可用倒易矢量ghkl=Ha*+Kb*+Lc*来表示若两矢量点乘，则有：(ua + vb + wc )⋅( a* + Kb* + Lc* )= 0由此可得：uH + vK + cL = 0凡是属于同一晶带[uvw]的晶面，其晶面指数(HKL) 都必须满足上式此式称为晶带定律如果已知两个晶面(h1kl1)和 (h2kl2) ，可以利用晶带定律求出其晶带轴指数 [uvw]按晶带定律，有：h1u + k1v + l1c = 0h2u k2v l2c 0解出[uvw]为：1111 11222222:: kl lhhkuvwkl lhhk= = ＝ 正点阵中的一个晶带与倒易点阵中的一个过原点的面相对应或者，倒易点阵中一个过原点的平面代表着正点阵中的一个晶带请问：正点阵中的一个晶带与倒易点阵中的什么图案对应，这个图案有什么特点？五、主要晶体学关系的计算（一）晶面法线的计算正点阵的中的晶面(hkl)与其法线[uvw]一般并不同名，然而它总与其倒易点阵中的同名矢量[hkl]*垂直。
既然[]与[hkl]*是同一晶面法线在两个坐标系中的表达，所以在不考虑矢量绝对长度时有ghkl=ruvw，即ha* + kb* + lc* = a + vb + wc将上式两边点乘a* ，有：u = a*•h + a*• b*k + a*• c* l两边分别点乘b* 或c*得：v = b*•ah + b*• b*k + b*• c* lw = c*•ah c*• b*k c*• c* l上述三个式子可写成矩阵形式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ ••• ••• •••=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ lkhwvu *c*c *b*c *a*c *c*b *b*b *a*b *c*a *b*a *a*a可见，如果某晶面(hkl)的指数为已知，要想得知其晶面法线指数[uvw] ，必须得知其倒易点阵的基矢a*、b*、 c* 如果已知正点阵中某一方向[uvw]的指数，求与其垂直的晶面指数(hkl)按倒易点阵的定义，同样有ua + vb + wc = ha* + kb* + lc* 将上式两边点乘a、b、c，有：h = a• u + a•b v + a•c wk = b• u • v b•c l = c•a u + c•b v + • w上述三个式子可写成矩阵形式：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ ••• ••• •••=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ wvulkh c bc ac cb b ab ca ba aa⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ ••• ••• •••= c bc ac cb b ab ca ba a][G 令⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ ••• ••• •••= *c*c *b*c *a*c *c*b *b*b *a*b *c*a *b*a *a*a*][G[G]、[G*]分别代表正点阵及倒易点阵基矢量的标量积矩阵，也是晶面指数与其法线指数之间的转换矩阵 例1 立方晶系的晶面指数(hkl)与其法线指数[uvw]之间的关系 立方晶系倒易单胞基矢群间的关系：a*• = b*•b* = c*•c = 1/a2a*•b* = a*•c = ....... = 0⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= /1 0 0 0 /1 0 0 0 /1*][ 222 aaaG ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ ••• ••• •••=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ lkhalkhGlkhwvu 21*][*c*c *b*c *a*c *c*b *b*b *a*b *c*a *b*a *a*a即立方晶系的晶面指数与其法线指数同名。
如，(111)面的法线为[111]方向； (123)面的法线为[123]方向等例2 六方晶系的晶面指数(hkl)与其法线指数[uvw]之间的关系 图中给出了六方晶系正、倒点阵的基矢群间a、b、c和a*、b*、c* 对于正点阵，三基矢之间的关系为：a• = b• = a2， c• = c2a•b = a2cos120o= -a2/a•c = b•c = 0对于正点阵，三基矢之间的关系为：c c*bb*a*a 60o30o30o⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡− −= 0 0 0 /2 0 /2 ][ 222 22 caa aaG22 3430cos90sin90sin)(**** aabcbccbacbbbaa ooo =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ו=•=• 22 360cos30cos)()(** aabbcacbaccbacbba oo =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=ו•×•=•221** 0**** cabcabcc cbca =⎟⎠⎞⎜⎝⎛=• =•=• ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= /1 0 0 0 )/(34 )/(32 0 )/(32 )/(34*][ 222 22 caa aaGlcW khaV khaUlkhcaa aaWVU222222 221 )2(3 )2(3/1 0 0 0 )/(34 )/(32 0 )/(32 )/(34= += +=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡即于是，在三轴坐标中(hkl)面的法线[UVW]是：也就说，在三指数系统中，(hkl)面的法线是[2h+k h+2k 3a2l/2c2]与[UVW]方向垂直的面指数(hkl) 是：也就说，在三指数系统中，与[UVW]方向垂直的面指数为(2U-V 2V-U 2c2W/a2]⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡− −=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ wvucaa aalkh 0 0 0 /2 0 /2 222 22 Wcl UVak VUah222 )2( )2(= −= −=如果以a1、a2、a3、c四轴系表示六方晶系中的晶面和晶向，则 (hkli)与[uvtw]之间有：lcw kaUVv haVUu2 221 3)2(31 3)2(31= =−= =−= wcl vak uaVUah22 223 23)2(== =−=这表明，六方晶系在讨论晶面与其法向指数时用四指数表达比用三指数表达更简单。
⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡ wacuvtuvtw lcahkihkil 2222 32][ ;23)(:晶向的垂直平面为的法向为即（二）晶面间距的计算 任意晶系晶面距d与晶面指数(hkl)和点阵a、b、c、α、β、γ之间的关系，可利用正、倒点阵的倒易关系dhkl=1/|ghkl|求出：g•=1/d2=( ha* + kb* + lc* )• ( ha* + kb* + lc* ) =h2a*2 + k2b*2 + l2c*2 + hka*• b* + 2klb*• c* + 2lhc*• a*w = c*•ah + c*• b*k + c*• c* l对立方晶系： a*=b*c*，α*=β* = γ* =90o222 lkhad ++=对六方晶系： a*=b*≠c*，α*=β*=90o ，γ*=60o222222 )(341 clkhkhad +++=（三）二晶面间夹角φ的计算 如果晶面(h1kl1)与(h2kl2)的夹角为φ，则两晶面法线间的夹角也为φ，即g(h1kl1)与g(h2kl2) 的夹角为φ )( )222222111122211 2221122211 22211222111;1 **)(**)( **)(*** ******coscos12211221 1221221221221 222111 lkhlkhlkhlkh lkhlkhlkhlkh lkhlkh lkhlkhlkhlkhdgdg cblklkcalhlh bakhkhcllbkah clbkahclbkahgggg gg gggg == •++•++ •++= ++++=• •= =•φ φ对立方系222212121 212121cos lkhlkh llkh ++++ ++=φ例如(100)与(110)晶面的之间的夹角φ=arcos1/√2=45o； (100)与(111)晶面的之间的夹角φ=arcos1/√3=54.7o。
对六方系22222222122112121 212212212121 4343 43)(1cos lcakhkhlcakhkh llcakhkhkh ++++++ ++++=φ例如(100)与(210)晶面的之间的夹角φ=arcos2.5/√7=19.11o四）晶面(hkl)的法线与某方向[uvw]的夹角η的计算晶面(hkl)的法线由倒易矢g描述：g= ha* + kb* + lc*方向[uvw]由平移矢r描述：g= ua + vb + wcg与r间的夹角为η，有：lwkvhurg rgrgrgrg ++=• •==•其中：； ηηcoscos **2**2**2*** 222222222 222222 cklbchlabhkaclbkahg cvwbcuwabuvacwbvaurrr •+•+•+++= •+•+•+++=•=对立方系222222 222222cos 1 lkhwvu wlvkuhalkhg awvur ++++ ++= ++= ++=η(hkl)晶面与[hkl]方向的夹角：cosη=1， η=0o ， 即晶面法线与同名的方向一致而(110)晶面法线与 [100]方向的夹角： η=arcos1/√2=45o对六方系，有22222 22222 )(34 )( clkhkhag cwavuvur +++= ++−=在六方系中，晶面法线的指数不同于晶面指数。
课堂练习： 倒易面的绘制方法 由于倒易点阵是处理晶体学和晶体衍射问题的重要的数学工具．并且衍射谱与倒易阵点平面之间有着一定的对应关系．所以倒易面的绘制比较重要例：绘制立方系[111]晶带轴的过倒易点阵坐标原点的倒易阵点面（111）*01）用试探法，并根据晶带定律．可找出不共线的两个倒易点例如，[1-10]及[10-1]，代入晶带定律中．可得1 × 1 + 1 × (-1)+ 0 × 1 = 01 × 1 + 1 × 0 + 1 × (-1) = 0故这两个点都属于[111]晶带2）计算这两个点的倒易矢量的长度比及两个倒易点代表的晶面的夹角：oLKHLKH LKHrr aaLKHr aaLKHr 6021))((cos 2;2222212121 212121*110*0122 2222*11022 2222*01 ==++++ ++== =++==++= φφ �� ��3）按r* 1-0及r* 10-的长度与夹角，画出三个倒点：000， 1-10及10-1，这三个点构成了倒易面的单元4）根据点阵的周期性特征，利用矢量平移法和向量加法，画出整个倒易阵点平面上其它点r* 1-0r* 1-060o0001-1010-1 2-202-1-101-1-110-220-12-1-101-20220-211-202-2-1-120-2-2-2110-111-21立方晶系(111)*0倒易阵点平面第五节 X射线衍射几何原理1.布拉格定律2.劳厄方程X射线作为一电磁波投射到晶体中时，会受到晶体中原子的散射，而散射波就好象是。