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1、旗开得胜 读万卷书 行万里路 1 第 8 节 函数与方程 最新考纲 结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二 次方程根的存在性及根的个数. 知 识 梳 理 1.函数的零点 (1)函数零点的概念 对于函数yf(x)，把使f(x)0 的实数x叫做函数yf(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系 方程f(x)0 有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点. (3)零点存在性定理 如果函数yf(x)满足：在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线； f(a)f(b)0)的图象与零点的关系 b24ac 0 0 0)的图象 旗开得胜 读万卷书 行万里路 2 与x轴的
2、交点 (x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点 零点个数 2 1 0 微点提醒 1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点.函数的 零点不是一个“点”，而是方程f(x)0 的实根. 2.由函数yf(x)(图象是连续不断的)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示，所以f(a)f(b)0 是yf(x)在闭区间a，b上有零点的充 分不必要条件. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”) (1)函数f(x)lg x的零点是(1，0).( ) (2)图象连续的函数yf(x)(xD)在区间(a，b)D内有零点， 则f(a
3、)f(b)0.( ) (3)二次函数yax2bxc(a0)在b24ac0 时没有零点.( ) 解析 (1)f(x)lg x的零点是 1，故(1)错. (2)f(a)f(b)0 是连续函数yf(x)在(a，b)内有零点的充分不必要条件，故(2)错. 答案 (1) (2) (3) 2.(必修 1P92A2 改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表： x 1 2 3 4 5 旗开得胜 读万卷书 行万里路 3 f(x) 4 2 1 4 7 在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为( ) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 解析 由所给的函数值的表格可以看
4、出，x2 与x3 这两个数字对应的函数值 的符号不同，即f(2)f(3)0，所以函数在(2，3)内有零点. 答案 B 3.(必修 1P112T1 改编)若函数f(x)唯一的零点同时在区间(0，16)，(0，8)，(0， 4)，(0，2)内，那么下列命题正确的是( ) A.函数f(x)在区间(0，1)内有零点 B.函数f(x)在区间(0，1)或(1，2)内有零点 C.函数f(x)在区间2，16)上无零点 D.函数f(x)在区间(1，16)内无零点 解析 由题意可确定f(x)唯一的零点在区间(0，2)内，故在区间2，16)内无零点. 答案 C 4.(2018济南月考)若函数f(x)x22xa没有零
5、点，则实数a的取值范围是 ( ) A.(，1) B.(1，) C.(，1 D.1，) 解析 因为函数f(x)x22xa没有零点，所以方程x22xa0 无实根，即 44a1. 答案 B 旗开得胜 读万卷书 行万里路 4 5.(2018全国卷)函数f(x)cos 3x 6 在0，的零点个数是_. 解析 由题意知， cos 3x 6 0， 所以 3x 6 2k， kZ， 所以x 9 k 3 ， kZ，当k0 时，x 9；当 k1 时，x 4 9 ；当k2 时，x 7 9 ，均满足题 意，所以函数f(x)在0，的零点个数为 3. 答案 3 6.(2019西安调研)方程 2x3xk的解在1，2)内，则k
6、的取值范围是_. 解析 令函数f(x)2x3xk，则f(x)在 R 上是增函数.当方程 2x3xk的解 在(1，2)内时，f(1)f(2)0，即(5k)(10k)0，解得 5k10. 又当f(1)0 时，k5.则方程 2x3xk的解在1，2)内，k的取值范围是5， 10). 答案 5，10) 考点一 函数零点所在区间的判定 【例 1】 (1)设f(x)ln xx2，则函数f(x)零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) (2)设函数yx3与y 1 2 x2 的图象的交点为(x0，y0)， 若x0(n，n1)，nN， 则x0所在的区间是_. 解析 (
7、1)因为yln x与yx2 在(0，)上都是增函数， 旗开得胜 读万卷书 行万里路 5 所以f(x)ln xx2 在(0，)上是增函数， 又f(1)ln 11210， 根据零点存在性定理， 可知函数f(x)ln xx2 有唯一零点， 且零点在区间(1， 2)内. (2)设f(x)x3 1 2 x2 ， 则x0是函数f(x)的零点， 在同一坐标系下画出函数yx3 与y 1 2 x2 的图象如图所示. 因为f(1)1 1 2 1 10， 所以f(1)f(2)0，所以x0(1，2). 答案 (1)B (2)(1，2) 规律方法 确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法： (1)利用函数零点的存在性定
8、理： 首先看函数yf(x)在区间a，b上的图象是否连 续，再看是否有f(a)f(b)0.若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点. (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判 断. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 6 【训练 1】 (1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(x a)的两个零点分别位于区间( ) A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，) (2)函数f(x)ln x 2 x2的零点所在的区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3)
9、D.(3，4) 解析 (1)ab0， f(b)(bc)(ba)0， 由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x) 是二次函数，最多有两个零点；因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)， (b，c)内. (2)易知f(x)ln x 2 x2在定义域(0，)上是增函数，又 f(1)20. 根据零点存在性定理，可知函数f(x)ln x 2 x2有唯一零点，且在区间(1，2)内. 答案 (1)A (2)B 考点二 确定函数零点的个数 【例 2】 (1)(一题多解)函数f(x) x2x2，x0， 1ln x，x0 的零点个数为( ) A.3 B.2 C.1
10、 D.0 旗开得胜 读万卷书 行万里路 7 (2)(2019安庆二模)定义在 R 上的函数f(x)， 满足f(x) x22，x0，1）， 2x2，x1，0）， 且f(x1)f(x1)，若g(x)3log2x，则函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内 的零点有( ) A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 解析 (1)法一 由f(x)0 得 x0， x2x20 或 x0， 1ln x0， 解得x2 或xe. 因此函数f(x)共有 2 个零点. 法二 函数f(x)的图象如图 1 所示， 由图象知函数f(x)共有 2 个零点. 图 1 (2)由f(x1)f(x1)，即f(x2)f(x)，知
11、yf(x)的周期T2. 在同一坐标系中作出yf(x)与yg(x)的图象(如图 2). 图 2 由于两函数图象有 2 个交点. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 8 所以函数F(x)f(x)g(x)在(0，)内有 2 个零点. 答案 (1)B (2)B 规律方法 函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令f(x)0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理， 要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线， 且f(a)f(b)0 (aR)，若函数f(x)在 R 上有两个零 点，则a的取值范围是( ) A.(，1) B.(，1) C.(1，0) D.1，0) (2)(2018全国卷)已知函数f(x)
12、ex，x0， ln x，x0，g(x)f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，则a的取值范围是( ) A.1，0) B.0，) C.1，) D.1，) 解析 (1)当x0 时，f(x)3x1 有一个零点x 1 3. 因此当x0 时，f(x)exa0 只有一个实根，aex(x0)，则1a0. (2)函数g(x)f(x)xa存在 2 个零点，即关于x的方程f(x)xa有 2 个 不同的实根，即函数f(x)的图象与直线yxa有 2 个交点.作出直线yx a与函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，a1，解得a1，故选 C. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 10 答案 (1)D (2)C 规律方法
13、1.已知函数的零点求参数，主要方法有：(1)直接求方程的根，构建方 程(不等式)求参数；(2)数形结合；(3)分离参数，转化为求函数的最值. 2.已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图 象的交点个数问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数 范围. 【训练 3】 (2018浙江卷)已知R，函数f(x) x4，x， x24x3，x. (1)当2 时，不等式f(x)0 的解集是_. (2)若函数f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_. 解析 (1)若2，当x2 时，令x40，得 2x4；当x2 时，令x24x 30，解得 1x2.综上可知，1x4，
14、所以不等式f(x)0 的解集为(1，4). (2)令f(x)0，当x时，x4， 当x时，x24x30， 解得x1 或x3. 因为函数f(x)恰有 2 个零点， 结合如图函数的图象知，14. 旗开得胜 读万卷书 行万里路 11 答案 (1)(1，4) (2)(1，3(4，) 思维升华 1.转化思想在函数零点问题中的应用 方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数 范围问题可转化为函数值域问题. 2.判断函数零点个数的常用方法 (1)通过解方程来判断. (2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断. (3)将函数yf(x)g(x)的零点个数转化为函数yf(x)与yg(x
15、)图象公共点的 个数来判断. 易错防范 1.函数的零点不是点，是方程f(x)0 的实根. 2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函 数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这 个区间上存在零点的充分不必要条件. 基础巩固题组 旗开得胜 读万卷书 行万里路 12 (建议用时：35 分钟) 一、选择题 1.已知函数f(x) 2x1，x1， 1log2x，x1，则函数 f(x)的零点为( ) A. 1 2，0 B.2，0 C. 1 2 D.0 解析 当x1 时，令f(x)2x10，解得x0； 当x1 时，令f(x)1log2x0，解得x 1 2， 又因为x1，所以此时方程无解. 综上函数f(x)的零点只有 0. 答案 D 2.(2019岳阳二模)已知函数f(x) x 22x，x0， 1 1 x，x0， 则函数yf(x)3x的零点个 数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3
