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1、4183概率论与数理统计复习资料第一章 随机事件与概率 一.随机事件关系与运算 1!0,)!(!,)!( CAnrnnrn 。组 合排 列/A=BAB,包含与相等 BA则, A 发生必须导致 B 发生/ A+B和事件 。则 A,B 中至少有一个发生,/ AB积事件 A则 A,B 同时发生A-B 差事件 ;BA则 A 发生而 B 不发生AB互不相容 A 与 B 不能同时发生对立事件 A-B=AB=A-AB 1A 的逆事件二.概率 P(A)1.P(A)概率特征)()31)(,0(2)111KkAP。P事 件 互 不 相 容 时2. 古典概型3.概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A
2、B)当 A、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B)事件的独立性:定义:P(AB)=P(A)P(B)性质:.P(A)0,则 P(B)=P(B/A); P(B)0 则 P(A)=P(A/B)P(BA)=P(B)-P(AB)P（A-B）=P（AB）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)P(B)P(C)P(AB)=P(AUB)=1-P(AUB)=1-(P(A)+P(B)P(A)=1-P(A4.条件概率公式 5.概率的乘法公式6.全概率公式：从原因计算结 果7.Bayes 公式：从结果找原因)(|(BPA)|()( )|(ABPnkkkBAP1
3、)|()kkkii )|基 本 事 件 总 数所 包 含 的 基 本 事 件 数P)( )(|( )/()/(ABCPC第二章 随机变量及其概率分布定义/分布 性质/公式/概率密度 分布函数 期望 E(x) 方差 D(x)PxkXp 1)2(,10)(kkpPPk),(,)(, xFpk分 布 函 数 )(0()(4),3 (2 2121xF。xF。则函 数 ).(1.3,),(bFXPbaa。x其 中求 重 要 事 件 概 率已 知X 服从参数为 P 的 0-1 分布 XP(0,1) pqXP1,0 p pq二项分布 XB(n,p) np npq离散型随机变量泊松分布 XP() XdtfxF
4、)( 怎样计算概率均匀分布 XU(a,b)求概率 Pabcdxc bxaF,1,0)( 2ba12)(a指数分布 XE ( ) 0,)(e12连续型随机变量正态分布 XN（ ）2, xxfex,21)(2)( txF2)(1)(),.10()()( nkCknkn， ,.!eXP， 。bxabxf,01)(,)(fx)(4,)()3( 2)(0fFbadxfFxfba badxfXP)()(分布函数对离散型随机变量对连续型随机变量分布函数与密度函数的重要关系：“一般正态分布函数 F(x)”转换为“标准正态分布函数 ”的关系)。x设 XN（ ）则2,1. xXpFx)2. abxaPbxabaP
5、ba3. 1)(2,1 XX连续型随机变量函数的概率分布 定理:记 x=h(y)为 y=g(x)的反函数，则 Y=g(X)的概率密度：。yhyyfXY,0),()( 1） 设 XU(- ),令 Y=tanX,求 Y 的概率密度2柯西分布： yyhyfXY ,1)()( 22)设 XN( ),求 的概率密度2,e对数正态分布： 0, 0,2)(ln210,1)(ln)( 2yyyyefXY 3 直接变换法： )()(21)()(yffFf XXYY ee yx x。y。y 2ln,lnxkXPxF)()()dtf)()()xdtfXPxF)()() )(fxF第三章多维随机变量及其概率分布二元随
6、机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数 联合分布函数离散联合分布函数的概率： 0),(),(),(),(, 1211222121 yxyxyx FFYXP性质 ,0,),(),( Fy离散边缘分布律：ijjipYPjpii 1.2,jipji联合密度二维边缘密度二维连续随机变量的分布1.均匀分布(X,Y)U D1)设 D 为平面上的有界区域，S 表面积 。odxcbacdb。yxyxf Ryx,01, ,)(1,0)(1),( 222.正态分布 ),()(2121NYXeyyxf xx 22121 )(2),( )()()1(21离散型随机变量的独立性 )(),(yFYxy连续型随机
7、变量的独立性),(yxf ),(yxF0),(yxfd),(0YXPx。dyxff),()(yY,jYPiXjiX)(),(ffYX 第四章 随机变量的数字特征数学期望离散型随机变量，数学期望定义连续型随机变量，数学期望定义期望性质: E(a)=a，其中 a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X)，其中 a、b 为常数 ， E(CX)=CE(X),其中 C 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X、Y 为任意随机变量 E(XY)=E(X)E(Y),X,Y 相互独立方差的性质D(a)=0，其中 a 为常数D(a+bX)=b2(X)，其中 a、b 为常数D(X+Y)=D(X)+D(Y) 当 X
8、、Y 相互独立时随机变量 g(X)的数学期望常用公式：二维随机变量的期望离散连续g(X) jijii dxyfyxgYXGEpyxgYXgE ,),(,),(),(),(方差定义式离散: PiXxDnii21)()(连续常用计算式kkPxXE)(df)(dxfgXEpxgEkk )()()()(ijjJiiijiji pypyYExxX)()(dfxy,)()( )()(YEXYEijijipyxXY)(f),()(,独 立 时与当dxfE)()(222)()XXD常用公式协方差与相关系数 dxyfYEXxYXCov ),()(),(协方差 Cov(X,Y)的性质当 X 与 Y 相互独立时，则
9、 Cov(X,Y)=0相关系数 的性质。XY。 。abaXb。aXY0.3 0,1,12. 独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立标准正态分布的概率计算公式 )()()( aZPaZP1a)()()(b12aZaP一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算公式)()(2)()( YEXEYDXYD )()(YDXYD)()(),(Cov,DXY)()()()( E)()(),(22DE,YXabCovov)(),(),( ZZC),0(),(2NXNX)()()(aPa第五章 大数定律及中心极限定理1.切比雪夫不等式：设随机变量 X 的期望 E(X)及方差 D（X）存在，则对
10、任意小正数 a0,22 )(1)()()( aEPaDXEP 2独立同分布序列的中心极限定理 )(21)( 1limlilimxdtxnXPxYPxinnn eF 3棣莫费-拉普拉斯中心极限定理 )(21li xdtxmpqnZen 第六章 统计量及其抽样分布样本方差 样本标准差,)(122niixs2s统计量样本 K 阶原点矩 样本 K 阶中心矩nikika1 nikikxb1)(卡方分布卡方分布的密度函数 0,2()1212。yenyf t 分布F 分布正态总体条件下 ),(1),(nmnaA)(1)()( aXPab)()1,0(21nXNXnii， 则若 )(1),(222YNYnii
11、则若 ),(/),(),(212212 nFVUnVnU则若 则若 ),(),10(2X)(/tYX样本均值的分布：样本方差的分布：两个正态总体的方差之比第七章 参数估计点估计：参数的估计值为一个常数矩估计 niixs122)(最大似然估计 P147似然函数单个正态总体参数的置信区间 2.4,.3,21 )1()(,1)1)(.3)1(,)1(.2 ,.1222222122 2222 anx。x。 ssnasnPnsmxsnx。nxxanxXP Utt uuaaaaa aaa 置 信 区 间的 置 信 区 间已 知 时第八章 假设检验假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H
12、1 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值),(2nNX)1,0(/NnX)1()1(22nSn)1(/ntsX)1,(/2121nFS);(1inixfL );(1inixpL正 态 分 布 的 分 位 点大 样 本 要 求样 本 容 量 代 替准 差通 常 未 知 ， 可 用 样 本 标标 准 差样 本 均 值2/ )50( )znn sx正 态 分 布 的 分 位 点大 样 本 要 求样 本 容 量样 本 比 例2/ )50(znnp 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第 1 类(弃真)错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类
13、(取伪)错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验 单正态总体均值的检验 大样本情形z 检验 正态总体小样本、方差已知z 检验 正态总体小样本、方差未知 t 检验 单正态总体方差的检验 正态总体、均值未知卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式双边检验左边检验右边检验单正态总体均值的 Z 检验拒绝域的代数表示双边检验左边检验右边检验比例特殊的均值的 Z 检验单正态总体均值的 t 检验单正态总体方差的卡方检验拒绝域双边检验左边检验右边检验第九章 回归分析最小二乘法0100:)1( H20100:)3(nX/0 代 替 ）未 知 时 用（ 大 样 本 情 形 S2/np/)1(0样 本 比 例总 体 比 例p0SXt/0202)1(n2/122/ 或 /12/ iixyiniyiiixini ynxynyxxnlLLl 1,)()( 10212212 最 小 二 乘 估 计性质 2120)(,)().2,. xxLDLnDE
