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1、第6次 数值积分-插值型积分-误差-求积公式的收敛性与稳定性,计算方法 (Numerical Analysis),第四章 数值积分,数值积分引论 机械求积方法 以简单函数近似逼近被积函数方法-插值型求积公式 插值型求积公式的例子 求积公式的收敛性和稳定性,数值积分引论,第四章 数值积分,4.0 引言 若函数f(x)在区间a, b上连续且其原函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式:,求定积分的值。,评论：Newton-Leibnitz公式 无论在理论上还是在解决实际问题上都起了很大作用，但它并不能完全解决定积分的计算问题。,(1) 被积函数f(x)没有用初等函数的有限 形式表示
2、的原 函数F(x)，例如：,(2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示， 但表 达式太复杂，例如 的原函数：,则无法应用Newton-Leibnitz公式。,在实际计算中经常遇到以下三种情况：,(3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数 关系由表格或图形表示。,对于以上情况，通过Newton-Leibniz公式求原函数计算积分的准确值都是十分困难的。 因而需要研究一种新的积分方法：数值解法来建立积分的近似计算方法。 将积分区间细分,在每一个小区间内用简单函数代替复杂函数进行积分，这就是数值积分的思想， 用代数插值多项式去代替被积函数f(x)进行积分是本章讨论数值积分的主要内容
3、。,Home,机械求积方法,4.1 数值积分概述,图4-1 数值积分 的几何意义,积分值 的几何表示：由x=a, x=b, y=0以及y=f(x)这四条边所围的曲边梯形面积。该面积难于计算是因为它有一条曲边y=f(x)。,4.1.1 数值积分的基本思想,y = f(x),y,a,b,最常用的建立数值积分公式的两种方法：,本段讲授机械求积方法.,即所求的曲边梯形的面积恰好等于底为(b-a)，高为 的矩形面积。但点的具体位置是未知的, 因而 的值也是未知的。,第1种：机械求积方法.,第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法,由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在积分区间a, b内存在一点，
4、使得,谜,三个求积分公式,y,构造出一些求积分值的近似公式。,则分别得到如下的梯形公式和中矩形公式。,梯形公式中的,y,中矩形公式中的,例如分别取：, 梯形公式,x,a,b,y=f(x),a,b,用梯形面积代表积分值, 中矩形公式,y=f(x),a,b,y,x,(a+b)/2,a,b,用区间中点的函数值为高的矩形面积代表积分值,y=f(x),y, Simpson公式,a,b,Simpson公式是以函数f(x)在a, b, (a+b)/2这三点的函数值的加权平均值作为平均高度f().,(a+b)/2,Home,以简单函数近似逼近被积函数方法 插值型求积公式,先用某个简单函数 近似逼近f(x),
5、用 代替原被积函数f(x)，即,函数 应该对f(x)有充分的逼近程度,并且容易计算其积分。,第2种：使用简单函数近似代替被积函数的方法,以此构造数值算法。,通常，将 选取为f(x)的插值多项式, 这样f(x)的积分就可以用其插值多项式的积分来近似代替。,要求：,4.1.2 插值求积公式,其中，对k=0,n,其中,称为求积系数。,取 作为 的近似值，即,记为,定义4.1 求积公式,当其系数 时，则称求积公式为插值（型）求积公式。,(4.1),记(4.1)的余项为 ，由插值余项定理得,其中,注意：当f(x)是次数不高于n的多项式时， 因此，求积公式(4.1)成为准确的等式。,例1 给定插值节点,为
6、定积分,构造插值求积公式。,解：以这三点为插值节点的Lagrange插值基函数为,从而，得到插值型求积公式如下：,例2 设积分区间a, b为0, 2，取,解: 梯形公式和辛卜生的计算结果与准确值比较如下表所示,计算其积分结果并与准确值进行比较。,分别用梯形和辛卜生公式：,可以看出，当f(x)是 x2 , x3 , x4 时,辛卜生公式比梯形公式更精确。,同学们，自己验证,某求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式，是衡量该公式的精确程度的重要指标。,代数精度的定义：如果求积公式（4.1）对于一切次数小于等于m的多项式,是准确的，而对于次数为m+1的多项式是不准确的，则称该求积公式具有m
7、次代数精度。,在公式4.1中， 令f(x)=1, x, x2, x3,xn,若求积公式（4.1）的代数精度为n，则其系数 应满足:,定理4.1 n+1个节点的求积公式,为插值型求积公式公式至少具有n次代数精度。,证:必要性.设n+1个节点的求积公式,插值型求积 公式判断条件,为插值型求积公式，求积系数为：,又 ，当f(x)为不高于n次的多项式时, f(x)=P(x), 其余项R(f)=0。因而这时求积公式至少具有n次代数精度。,充分性： 若求积公式至少具有n次代数精度, 则对n次多项式,精确成立，即,从而,所以由（*）和(*)知： ,即求积公式为插值型求积公式 。,其中,(*),(*),重要结
8、论： 梯形公式具有1次代数精度； 辛卜生公式有3次代数精度（同学们自己验证）。,取f(x)=1，显然上式两端相等。,取f(x)=x,取f(x)=x2 ,所以梯形公式只有1次代数精度。,下面以梯形公式为例进行验证,Home,插值型求积公式的例子,例3 试确定一个至少具有2次代数精度的公式,解: 要使公式具有2次代数精度，则对f(x)=1, x, x2 ，求积公式准确成立，即得如下方程组。,解之得：,所求公式为：,插值型求积公式,系数的值与 1）积分区间a,b有关， 2）节点的选取有关； 3）和具体的f(x)无关,例4 试确定求积系数A, B, C，使得,可验证，该公式对于f(x)= x3 也成立
9、(意外收获)，而对x4 不成立。因此，该求积公式有3次代数精度。,A=1/3, B=4/3, C=1/3,具有最高的代数精度。,解:分别取f(x)=1, x, x2 ，使求积公式准确成立,得:,Simpson 求积公式,做法：选定n+1个插值节点，按照插值公式构造求积公式后，应验算该求积公式是否还有n+1次或更高的代数精度。,问题：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度究竟有多高？,回答：n+1个节点的插值求积公式保证了至少有n次代数精度。,结论：n+1个节点的插值型求积公式的代数精度至少为n，但是有可能比n还大？,解：该插值求积公式具有3个节点，因此至少有2次代数精度。,例5 已知插值求积公
10、式（按照插值公式构造的系数）,将f(x)=x3代入公式两端，左端=右端=(b4-a4)/4, 公式两端严格相等， 再代入f(x)=x4两端不相等， 故该求积公式具有3次代数精度。,讨论该公式的代数精度。,Simpson 公式,是否有3次代数精度呢？,的代数精度。,例6 考察求积公式,评论：三个节点不一定具有2次代数精度，因为不是插值型的！,解：可验证, 对于f(x)=1, x时公式两端相等, 再将f(x)=x2代入公式，经过计算，左端=2/3， 右端=1。 所以该求积公式具有 1 次代数精度.,课堂练习,例7 给定求积公式如下：,试证此求积公式是插值型的求积公式。,证明:,从而求积公式至少有2
11、次代数精度，由定理4.1，此求积公式是插值型求积公式。可验证，该公式有3次代数精度。,课堂练习,上的插值基函数、和插值求积公式如下：,另外一种验证方法-具体地计算出以下插值型求积公式中的积分系数,A, B, C. 实际上，在例1中，已经求出了在插值节点,这和题目中所给定的求积公式相同，因此题目中的积分公式是插值型求积公式。 这个方法比较复杂。,例8 求证,不是插值型的。,证明: 设 x0 = -1, x1 =0, x2 =1,从而求积公式拥有3个节点，但是仅有1次代数精度，由定理4.1，此求积公式不是插值型求积公式。,课堂练习,例9 给定求积公式,试确定求积系数A-1, A0 ,A1, 使其有
12、尽可能高的代数精度，并指出其代数精度。,解：令求积公式对f(x)=1, x, x2准确成立，则有,课堂练习,解之得:,其代数精度至少为2,将f(x)=x3代入求积公式两端相等；,将f(x)=x4代入求积公式两端不相等；,所以其代数精度为3次,构造插值求积公式有如下特点：,1）复杂函数f(x)的积分转化为计算多项式的积分；,2）求积系数Ak只与积分区间及节点xk有关，而与被 积函数f(x)无关，无论f(x)如何，永远可以预先 算出Ak的值；,3）n+1个节点的插值求积公式至少有n次代数精度；,4）求积系数之和 可用此检验计算求积系数的正确性。,(1) 在积分区间a,b上选取节点xk,(3) 利用
13、f(x)=1, x, , xn,验算代数精度,构造插值求积公式的步骤：,(2) 求出f(xk)及利用 或解关于Ak的线性方程组求出Ak，得到:,例10 对 , 构造至少有3次代数精度的求积 公式。同学自己完成。,解: 3次代数精度需4个节点, 在0, 3上取0, 1, 2, 3四个节点构造求积公式,确定求积系数Ak(k=0, 1, 2, 3), 利用求积系数公式,因为求积公式有4个节点，所以至少具有3次代数精度，只需将f(x)=x4代入来验证其代数精度。将f(x)=x4代入两端不相等，所以只有3次代数精度。,Home,求积公式的收敛性和稳定性,4.1.5、求积公式的收敛性和稳定性,一般地，求积
14、公式,通常称为机械求积公式。,若f(x)在a, b上有n+1阶连续导数，则插值型求积公式的余项的表达式为：,误差估计公式,例1 使用以下的插值型求积公式，,计算,并且估计误差。,解：利用以上求积公式，得,误差估计:,用牛顿-莱布尼茨公式计算，得精确解：,本题近似计算结果=2.3619,计算x(1-x2 )在0, 1上的定积分，得到误差估计： |Rf| = e/12 = 0.2266,实际误差 R = | 2.3619 - 2.3504 | = 0.0115,问题：为什么实际误差比使用公式得到的误差估计 值要小？,求积公式的收敛性定义,定义2 在求积公式(1.3)中，若,其中 ，则称求积公式(1.3) 是收敛的。,求积公式的稳定性定义,则称公式（1.3）是稳定的。,不会由f(xk )的微小误差而导致积分值产生大的变化,定理2 若求积公式（1.3）中的系数Ak0, k = 0, 1,n，则求积公式是稳定的。,证明：,按照稳定性定义，求积公式是稳定的。,作业 习题 1(1) (3), 2(1),Home,
