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1、数字图像处理 Digital Image Processing 1 北京航空航天大学 仪器科学与光电工程学院 School of Instrumentation Science & Optoelectronics Engineering 2 第三章 灰度变换与空间滤波 引言 空间域指图像平面本身。 这类图像处理方法直接以图像中的像素操作为基础。 3 空间域处理主要分为灰度变换和空间滤波两类。 灰度变换在图像的单个像素上操作，主要以对比度和阈值处理 为目的。 空间滤波涉及改善性能的操作，通过图像中每一个像素的邻域 处理来锐化图像。 4 5 3.1 背景知识 灰度变换和空间滤波基础 空间域处理：
2、其中f(x,y)是输入图像，g(x,y)是处理后的图像，T是在点(x,y) 的邻域上定义的关于f的一种算子。 ( , )( , )g x yT f x y= 6 7 空间域一幅图像 中关于点(x,y)的一 个33邻域。 邻域在图像中从 一个像素到另一 个像素移动来生 成一幅输出图像。 原点Origin y Spatial domaim Image f 3 3 neighborhood of (x,y) (x,y) x 处理过程由以下几步组成： 1.邻域原点从一个像素向另一个像素移动，对邻域 中的像素应用算子T，并在该位置产生输出。 2.对于任意指定的位置(x,y)，输出图像g(x,y)在这些
3、坐标处的值就等于对f(x,y)中以(x,y)为原点的邻域 应用算子T的结果。 3.然后，邻域的原点移动到下一个位置，重复前面 的过程，产生下一个输出图像g(x,y)的值。 8 4.一般情况下，从输入图像的左上角开始处理，以水 平扫描的方式逐像素地处理，每次一行 5.当该邻域的原点位于图像的边界上时，部分邻域将 位于图像的外部。此时，可以用0或者其它指定的灰 度值填充图像的边缘，被填充边界的厚度取决于邻 域的大小。 以上处理称为空间滤波，邻域与预定义的操作一起 称为空间滤波器。 9 10 3.2 一些基本的灰度变换函数 灰度级变换不依赖于像素在图像中的位置。 一个变换T，将原来在范围p0, pk
4、内的亮度p变换为一个新范围q0, qk内的亮度q，q=T(p)。 11 对比度增强的灰度级变换函数 12 DarkLight m r DarkLight ( )sT r= ( )T r DarkLight m r DarkLight ( )sT r= ( )T r L-1 3L/4 L/2 L/4 0 0L/4L/23L/4L-1 Input gray level, r Output gray level, s Negative Log nth root nth power Inverse log Identity 用于图像增强的基本灰度变换 函数（线性、对数、幂次） 13 线性的：正比和反比
5、 对数的：对数的和 反对数变换 幂次的：n次幂和n次 方根变换 n次方根 n次幂 对数 反对数正比 反比 3.2.1 图像反转 14 a p1p2 b c 反转变换 分段线性变换 亮度阈值化 图像反转变换 15 rLs=1 3.2.2 对数变换 对数的灰度级变换：是一种常用的技术，它模拟了人的眼睛对于 光线强度的对数敏感性。 16 对数的灰度级变换 对数的灰度级变换：是一种常用的技术，它模 拟了人的眼睛对于光线强度的对数敏感性。 对数变换将输入中范围较窄的低灰度值映射为 输出中较宽范围的灰度值，可以扩展图像中暗 像素的值，同时压缩高灰度级的值。 反对数变换的作用与此相反。 )1log(rcs+
6、= 17 傅里叶频谱及其对数变换 傅立叶频谱的对数变换，c=1 18 )1log(rcs+= 3.2.3 幂律（伽马）变换 19 1= = c crs L-1 3L/4 L/2 L/4 0 0L/4L/23L/4L-1 Input gray level, r Output gray level, s 0.04= 0.10= 0.20= 0.40= 0.67= 1= 1.5= 2.5= 5.0= 10.0= 25.0= Image as viewed on monitor Monitor Gamma Correction Monitor Image as viewed on monitor 伽马
7、校正 a.线性楔形灰度图像 b.对线性楔形灰度图 像的监视器响应 c.伽马校正楔形图像 d.监视器输出 20 s=r2.5 s=r1/2.5=r0.4 人体脊椎骨折的核磁共振图像 (MRI)的幂律变换增强 a.原始图像 b.C=1, =0.6 c.C=1, =0.4 (最佳) d.C=1, =0.3 21 1= = c crs 航拍图像的幂律变换增强 a.原始图像 b.C=1, =3.0 c.C=1, =4.0 (最佳) d.C=1, =5.0 22 1= = c crs Input gray level, r Ouput gray level, s L/4L/23L/4L-1 L-1 3L/
8、4 L/2 L/4 0 0 (r1, s1) T(r) (r2, s2) 3.2.4 对比度拉伸 a.对比度拉伸变换 函数 b.低对比度图像 c.对比度拉伸结果 d.阈值化结果 23 电子显微镜扫描 的放大约700 倍 的花粉图像 24 对比度拉伸函数原始图像对比度拉伸结果 3.2.5 灰度级分层 a.加亮A, B范围的 灰度级，所有其它 灰度减小为一个恒 定灰度级； b.加亮A, B范围的 灰度级，保持所有 其它灰度级不变； c.原始图像； d.使用(a)变换结果。 25 突出图像中特定 灰度范围的亮度 L - 1 L - 1 s AB0 T(r) L - 1 L - 1 s AB0 T(r
9、) rr 26 大动脉血管 造影图像 变 换 a ， 产 生二值图像 变换b，所选区域 为黑色，其它区 域灰度保持不变 目的是使用灰度级分层来突出主要血管和肾脏， 使其更亮一些，如同注射造影剂的效果那样。 27 3.3 直方图处理 直方图的定义 图像的亮度直方图(histogram)hf(z)给出图像中亮度值z出现的频率。 一幅有L个灰阶的图像的直方图由具有L个元素的一维数组表示。 28 算法：计算亮度直方图 灰度级范围为0, L-1的数字图像的直方图是离 散函数，其中rk是第k级灰度值，nk是 图像中灰度为rk的像素个数。 在实践中，经常用乘积MN表示的图像像素的 总数除它的每个分量来归一化
10、直方图，通常M 和N是图像的行和列的维数。 因此，归一化后的直方图由给出， 其中k0, 1, , L-1。 ( ) kk h rn= ( )/ kk p rnMN= 29 p(rk)是灰度级rk在图像中出现的概率的一个估计。 归一化直方图的所有分量之和应等于1。 直方图是多种空间域处理技术的基础。 30 每个直方图的水平轴对应于灰度值rk，垂直轴对应于值 或归一化后的值。 这样，直方图就可以简单地被看成是 对应于rk或对应于rk的图形。 ( ) kk h rn= ( )/ kk p rnMN= 31 ( ) kk h rn=( )/ kk p rnMN= 在暗图像中，直方图的分量集中在灰度级的
11、低（暗）端。 亮图像直方图的分量则倾向于灰度级的高端。 低对比度图像具有较窄的直方图，且集中于灰度级的中部。 32 高对比度图像中直方图的分量覆盖了很宽的 灰度级范围。 若一幅图像的像素倾向于占据整个可能的灰 度级并且分布均匀，则该图像会有高对比度 的外观并展示灰色调的较大变化。 最终效果将是一幅灰度细节丰富且动态范围 较大的图像。 33 不 同 亮 度 和 对 比 度 的 图 像 及 其 灰度直方图 34 Dark image Bright imageHigh-contrast image Low-contrast image Lena及其灰度直方图 35 Peppers及其灰度直方图 36
12、 局部灰度直方图 37 3.3.1 直方图均衡化 使对比度增强的灰度级变换一般可以利用直方图均衡化技术自动 地找到。 目的是创建一幅在整个亮度范围内具有相同分布的亮度图像。 38 输入的直方图用H(r)表示，输入的灰度级范围是r0, rk。 我们的目的是找到一个单调的像素亮度变换s=T(r)使得输出的直 方图G(s)在整个输出亮度范围s0, sk内是均匀的。 39 假设变换函数T(r)满足以下条件： s=T(r)在区间0rL-1中为单调递增函数。 当0rL-1时，0T(r)L-1。 40 单调递增的灰度级变换函数 41 ( ) kk ST r= t ( )T r k r0 1 r S 非单调递
13、增函数 42 将多个值映射 为单个值 0 Single value, Sq Single value, Sk L-1 Single value Multiple values L-1 ( )T r r ( )T r 直方图均衡化 43 r s H(r)G(s) s=T(r) 直方图均衡化方法的推导 一幅图像的灰度级可以看成是区间0, L-1内的随机变量。 随机变量的一个最重要的基本描述是其概率密度函数（PDF）。 令pr(r)和ps(s)分别代表r和s的概率密度函数。 44 由基本概率理论得到一个基本结果：如果pr(r)和T(r)已知，且T(r) 满足在区间0rL-1中为单值且单调递增，那么变
14、换变量s的概率 密度函数ps(s)可由以下简单公式得到： 45 d ( )( ) d sr r psp r s = 因此，变换变量s的概率密度函数由输入图像的灰度级PDF和所 选择的变换函数决定。 图像处理中一个尤为重要的变换函数，即单值单调递增的灰度 级变换函数的定义为： () 0 ( )1( )d r r sT rLp ww= 46 其中w是积分变量，上式的右边为随机变量r的累积分布函数 (CDF)。 因为概率密度函数永远为正，并且函数积分是一个函数曲线下的 面积，所以它遵循该函数是单值单调增加的条件。 47 可见上式给出的ps(s)形式为均匀概率密度函数。 ()() 0 dd ( )d
15、1( )1( ) ddd r rr sT r Lp w dwLpr rrr = () d11 ( )( )( )01 d1( )1 srr r r psp rp rsL sLp rL = 48 莱布尼茨准则：关于上限的定积分的导数是被积函数在该上限的值。 因此可以证明给出的变换函数会得到一 随机变量s，其特征为一均匀概率密度函数。 注意T(r)取决于pr(r)，但是ps(s)的结果始终是均匀的，与pr(r)的 形式无关。 () 0 ( )1( )d r r sT rLp ww= 49 一个r的任意 的PDF ( ) r pr A 0 r 1L 50 具有均匀PDF的输出图像灰度s与输入图像灰
16、度r的PDF的形式无关。 对所有灰度级r应用 直方图均衡化变换 的结果。 () 0 ( )1( )d r r sT rLp ww= 1 1L 0 s 1L ( ) s ps 一个简单的例子 假设图像中的（连续）灰度值有如下PDF： 51 = 其他, 0 10, ) 1( 2 )( 2 Lr L r rpr 1 d 1 2 d)() 1()( 2 00 = = L r ww L wwpLrTs r r r 1 1 2 ) 1( ) 1( 2 1 d d ) 1( 2 d d ) 1( 2 d d )()( 2 1 2 2 1 2 = = = = = Lr L L r L r r L r r s L r s r rpsp rs 对于离散值，我们处理其概率与和，而不是概率密度函数与积 分。 一幅图
