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1、第七章 电磁感应 变化电磁场思考题7-1 感应电动势与感应电流哪一个更能反映电磁感应现象的本质？答：感应电动势。7-2 直流电流表中线圈的框架是闭合的铝框架，为什么？灵敏电流计的线圈处于永磁体的磁场中，通入电流线圈就发生偏转。切断电流后线圈在回复原来位置前总要来回摆动好多次。这时如果用导线把线圈的两个接头短路，则摆动会马上停止。这是什么缘故?答：用导线把线圈的两个接头短路，线圈中产生感应电流，因此线圈在磁场中受到一力偶矩的作用，阻碍线圈运动，使线圈很快停下来。7-3 让一块磁铁在一根很长的铅直铜管内落下，若不计空气阻力，试描述磁铁的运动情况，并说明理由。答：当磁铁在金属管中时，金属管内感应感生
2、电流，由楞次定律可知，感生电流的方向，总是使它所激发的磁场去阻止引起感应电流的原磁通量的变化，即：阻碍磁铁相对金属管的运动。磁铁在金属管内除重力外，受到向上的磁力，向下的加速度减小，速度增大，相应磁力增大。当磁力等于重力时，磁铁作匀速向下运动，达到动态平衡。7-4 用金属丝绕制的标准电阻是无自感的，怎样绕制才能达到自感系数为零的目的？答：如果回路周围不存在铁磁质，自感 L 的数值将与电流无关，仅由回路的几何性质、匝数以及周围磁介质的磁导率所决定。把一条金属丝接成双线绕制，就能得到自感系数为零的线圈。做纯电阻用的电阻器都是这样绕制的。7-5 举例说明磁能是贮藏在磁场中的。7-6 如果电路中通有强
3、电流，当你突然拉开闸刀断电时，就会有火花跳过闸刀。试解释这一现象。答：当突然拉开通有强电流电路中的刀闸而断电时，电路中电流迅速减小，电流的变化率很大，因而在电路中会产生很大的自感电动势。此电动势可以把刀闸两端间的空气击穿，因而在刀闸处会有大的火花跳过。7-7 变化的电场所产生的磁场，是否一定随时间而变化？变化的磁场所产生的电场，是否也一定随时间而变化？7-8 试比较传导电流与位移电流。答：位移电流具有磁效应-与传导电流相同。两者不同之处：产生机理不同，传导电流是电荷定向运动形成的，位移电流是变化的电场产生的；存在条件不同，传导电流需要导体，位移电流不需要导体，可以存在于真空中、导体中、介质中；
4、位移电流没有热效应，传导电流产生焦耳热。7-9 试由麦克斯韦方程组的积分形式，定性地说明怎样产生统一的电磁场；并说明静电场和稳恒磁场是统的一电磁场在一定条件下的一种特殊形式。7-10 麦克斯韦方程组积分形式中，两个高斯定理与静电场和稳恒磁场的高斯定理形式相同。其物理意义是否相同？解：上述两式形式上尽管相同，但在实质上却有原则区别，静电场中穿过任一闭合曲面的通量由静电荷的代数和决定。在电磁场中，穿过闭合曲面的通量除由静电荷的电力线外，还有变化的磁场产生的涡旋电场的电力线，而涡旋电场的电力线是闭合曲线，因而其通量总是零。习 题7-1 一导线 ab 弯成如图的形状（其中 cd 是一半圆，半径 r =
5、0.10m，ac 和 db 两段的长度均为 l =0.10m） ，在均匀磁场（B =0.50T）绕轴线 ab 转动，转速 n =60rev/s 。设电路的总电阻（包括电表 M 的内阻）为 1,000，求导线中的感应电动势和感应电流，它们的最大值各是多大？解：设 t=0 时， 半圆面的法向方向与 B 同向t 时刻时，=mBdS22coscosrrtnt2in.96i10Vt.96mV3si10.sin2AtI tR32.A7-2 如图所示，一长直导线载有 I =5.0A 的电流，旁边有一矩形线圈 ABCD（与此长直导线共面） ，长 l1 =0.20m，宽 l2 =0.10m，长边与长导线平行，A
6、D 边与导线相距 a =0.10m，线圈共 1,000 匝。令线圈在速度 v 垂直于长导线向右运动，v =3.0m/s，求线圈中的感应电动势。解：以直导线上某点作为坐标原点 o，沿水平方向建立 x轴。在矩形框内距离原点 x 处取长为 、宽为 dx 的矩形条1l作为面积元。则穿过此面积元的磁通量为012mIdBSldt 时刻穿过矩形框的磁通量为 2200121() lnalvtalvtmIIavtlx此时的感应电动势为012()()2)()idtvNIltNatvt时, 0t 3012().0V()iNIvla7-3 如果上题中的线圈保持不动，而在长直导线中通有交变电流 ，t A)10sin(I
7、以秒计，则线圈中的感应电动势如何？解： 012mIdBSldx2012lnalS Ia701240.10.lnlncos(10)0.4ln2cos()V=8.7cos()VmiN tdtdtt t 7-4 如图所示，质量为 M、长度约为 l 的金属棒 ab 从静止开始沿倾斜的绝缘框架下滑，设磁场 竖直向上，求棒内的动生电动势与时间的函数关系。假定摩擦可以忽略不计。B解：金属棒所受重力加速度沿斜面方向的分量为 ，棒的速度 。sin/gtgvsin磁场沿垂直于棒运动方向（垂直于斜面）的分量为 co故棒的动生电动势为 lvBi 2sin1sinlgBltgt7-5 如图所示，金属杆 AB 以匀速 v
8、 平行于一长直导线移动，此导线通有电流 。I问：此杆中的感应电动势为多大？杆的哪一端电势较高？解:在 上距长直导线为 处任取一微元 , 其ABldl方向指向 B，根据动生电动势的定义式，可得： 00()ln2abIvdIabvdll电动势的方向由 A 指向 B，B 端的电势高。7-6 有一均匀磁场，磁感强度为 ， 的量值以恒定的变化率 在变化，把一块质量为 m 的铜，拉成截面半dt径为 r 的导线，并用它做成一个圆形回路（半径为 R） 。圆形回路的平面与 垂直。试证：B这回路中的感应电流为 。式中 为铜的电阻率，d 为铜的密度。tBdi4证明：磁感强度以恒定的变化率 在变化，在周围产生感生电场
9、，半径为 R 的圆形回路上感生电场的大小为 ，2REdt感应电动势大小为 2dBlRtA感应电流的大小为 ，2/dBiRt其中 是圆形回路的电阻R 2rRSl是导线截面的半径，与质量的关系为 ，r dVm22dm， 证毕。d22 224BBiRt t7-7 长度为 L 的铜棒，以距端点（ A） a 处为支点，并以角速率 绕通过支点垂直于铜棒的轴转动。设磁感强度为 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差。解:以支点作为坐标原点 0，在距 O 点为 处取一线元 ，其方向指向 B，则该线元相对磁ldl场的运动速度 垂直于 和 ，其大小为 vdlBv故在 内产生的动生电动势为dl ()i B所以 212
10、LaLailla7-8 在如本题图所示的平面内，无限长直导线通有稳恒电流 I 。一长为 L 的金属棒，绕其一端 O 在此平面内按顺时针方向匀速转动，角速度为 。当金属棒转至与长直导线垂直（ON ）位置时，棒内感应电动势的大小和方向。解：建立坐标系，在 ON 上取线元 dl ，则 ，02IBl， ，()idvBdlvl()r0 000 000( ln(1)22rL rLrLilII ILdlr 方向 O-N7-9 一电阻为 R =2.0 的闭合回路，处于变化的磁场中（见题 7-9 图） 。若通过回路的磁通量与时间的关系为 m = (5t2+8t+2)10-3 Wb，求 t = 2s 时回路中的感
11、应电动势及感应电流。解: , midt由 法 拉 第 电 磁 感 应 定 律23(58)10Wbmt 时 Vist22.电流大小为 方向/.4AiIR为顺时针方向7-10 两线圈的自感分别为 L1 和 L2，它们之间的互感为 M。（1）将两线圈顺串联，如图(a)所示。求 1 和 4 之间的自感。（2）将两线圈反串联，如图(b)所示。求 1 和 3 之间的自感。解：（1）将导线顺着串联，设通有电流 I，线圈内的磁通量为 ，总磁通链数为 ，mN其中由两线圈自感 L1，L2 产生的磁通链数为 ， 。由两线圈之间ILN1IL22互感产生的磁通链数为 ， ，所以，总磁通链数MN1221,由 ，则M1 I
12、L21（2）将两导线反串联，设通有电流 I，线圈总磁通链数为 ，其中由两线圈自感L1，L2 和它们之间互感产生的磁通链数分别为 ， ，IL1IL22， ，所以，IN121N221121由 ，则LML7-11 已知两共轴螺线管，外管线圈半径为 r 1 ，内管半径为 r 2 ，线圈匝数分别为 N1 及N2 。试证它们的互感系数为 。式中 L1 和 L2 分别为两螺线管的自感系数，2k，称为两螺线管的耦合系数。1rk证明: 设管长为 ，内管通有电流 ，可知管内磁感强度及磁通链数分别为：l1I110,IBl 220011NIrBSrll由 得内管的自感系数为1L1LI同理得外管的自感系数为 由 可得
13、202rl21MI（1）102111NIrNBSMIIl又因为 （2）2200112rrkLll(1)、 （2）两式右边相同, 故 21Lk7-12 一螺绕环，横截面的半径为 a ，中心线的半径为 R，R a ，其上由表面绝缘的导线均匀地密绕两个线圈，一个 N1 匝，另一个 N2 匝。试求：（1）两线圈的自感 L1 和 L2；（2）两线圈的互感 M；（3）M 与 L1 和 L2 的关系。解：（1）设线圈 1 中通有电流 ，因为 R a， 故螺线管内的磁场近似为匀强磁场，磁感1I应强度为 ，通过某个横截面的磁通量为002NBnI，21011INSB自感系数为 RaIL201同理可得 N2（2）设
14、线圈 1 中通有电流 I1，则螺绕环中的磁感应强度200BnR在线圈 2 中的磁通链数为 211120NSIaaIM012（3）由它们的表达式可见 21LM7-13 两根平行长直导线，横截面的半径都是 a ，中心相距为 d ，属于同一回路。设两导线内部的磁通量都可略去不计。证明：这样一对导线，其长为 l 的一段的自感为：dln0解：两根长直导线在它们之间所产生的磁场沿 y 轴正方向，该磁场的大小为 . 忽略导线内部磁通量，一对导线长为 l 的一段的自感为.001()n2dall daLxI 7-14 一螺线管的自感系数为 0.010H，通过它的电流为 4A，试求它贮藏的磁场能量。解: 22.4
15、81BwIJ7-15 一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为 I，试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为 。解：载流长直导线内磁场线是以对称轴为圆心的一系列同心圆，取半径为 的圆为安培环路 L，有22rRIrHldL 2RIrH在长直导线内取半径为 ，厚度为 ，高为单位长的薄壁圆筒体积元 ，如图所rdr示，体积元内磁能密度为2418mIwHR直导线内总磁能为223240 016RVrIIWdrd 7-16 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一个 0.50T 的均匀磁场中的磁场能量密度相等，该电场的电场强度为多少？解:真空中，电场能量密度 磁场能量密度201Ewe02Bwm两者相等 202EB 87120.5.5V/48B7-17 试证：平行板电容器中的位移电流可写为 。式中 C 是电容器的电容，dtUIU 是两板板间的电势差。证明：对任意形状的电
