第2讲、函数概念的深入理解

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1、 第 1 页（共 14 页） 第二讲、函数概念的深入理解板块一、映射知能点全解：知能点一：映射的概念设 、 是两个非空的集合，如果按某个确定的对应关系 ，对于集合 中的任意一ABfA个元素，在集合 中都有唯一确定的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合 、 ，B以及对应关系 ）叫做集合 到集合 的映射，记作： 。fAB:B知能点二：像与原像的概念给定一个集合 A 到集合 的映射，且 ，如果元素 和元素 对应，那么我,abab们把元素 叫做元素 的像，元素 叫做元素 的原像。ba特别提醒：1、对于映射 来说，则应注意理解以下四点：:fB（1）集合 中每一个元素，在集合 中必有唯一的象；（2）集合

2、 中不同元素，在集合 中可以有相同的象；A（3）允许集合 中的元素没有象；（4）集合 中的元素与集合 中的元素的对应关系，可以是： “一对一” 、 “多对一” ，但不能是“一对多” 。2、集合 、 及对应法则 是确定的，是一个系统；Bf3、对应法则 有“方向性” 。即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应f关系一般是不同的； 例 1：给出下列关于从集合 到集合 的映射的论述，其中正确的有_。AB 中任何一个元素在 中必有原象； 中不同元素在 中的象也不同； 中任何一个元素在 中的象是唯一的； 中任何一个元素在 中可以有不同的象；B中某一元素在 中的原象可能不止一个；集合

3、 与 一定是数集；记号与 的含义是一样的Af:f:答案：及时演练， ， ， ， 在 的作用下， 的原象是NRB12:xyf AyBf13多少？14 的象是多少？ 解：由 ，解得 ，故 的原象是 6; 又 ，故 14 的象是132x63297497知能点三：一一映射一般地，设 ， 是两个非空的集合， 是集合 到集合 的映射，如果在AB:fABB这个映射下，对于集合 中的不同的元素，在集合 中有不同的象，而且 中每一个元素都有原象，那么这个映射叫做 到 的一一映射。特别提醒：对一一映射概念的理解应注意以下两点： 第 2 页（共 14 页） 1、对于集合 中的不同元素，在集合 中有不同的象，也就是说

4、，不允许 “多对一” ；AB2、集合 B 中的每一个元素都有原象，也就是说，集合 中不允许有剩余的元素。例 2：下列集合 到集合 的对应中，判断哪些是 到 的映射? 判断哪些是 到 的AAB一一映射?(1) ，对应法则 ；ZN, :f Byxyx,(2) ， ， ， ， ；RA1(3) ， ，对应法则 取正弦；900B:f(4) ， ，对应法则 除以 2 得的余数；1,:f(5) ， ，对应法则4,1,:f；yAxyx2(6) ， ，对应法则三 角 形平 面 内 边 长 不 同 的 等 边 平 面 内 半 径 不 同 的 圆B作等边三角形的内切圆。:f解：(1)是映射，不是一一映射，因为集合

5、中有些元素(正整数)没有原象；(2)是映射，是一一映射不同的正实数有不同的唯一的倒数仍是正实数，任何一个正数都存在倒数；(3)是映射，是一一映射，因为集合 中的角的正弦值各不相同，且集合 中每一个值都B可以是集合 中角的正弦值；(4)是映射，不是一一映射，因为集合 中不同元素对应集A A合 中相同的元素；(5)不是映射，因为集合 中的元素(如 4)对应集合 中两个元素(2BA和-2)；(6)是映射，是一一映射，因为任何一个等边三角形都存在唯一的内切圆，而任何一个圆都可以是一个等边三角形的内切圆。边长不同，圆的半径也不同拓展知识点：1、设集合 有 个元素，集合 有 个元素，那么映射 的个数为 ；

6、映mBn:fBmn射 的个数为 。:fBAn2、设集合 、 都有 个的元素，那么 到 的一一映射的个数为A!例 3：已知集合 ，那么 到 的映射的个数为 256 个；,abcdefgh到 的一一映射的个数为 24 个。板块二、函数的相关概念知能点全解：知能点一：函数的概念 设 、 是两个非空的数集，如果按某一个确定的对应关系 ,使对于集合 中的任AB fA意一个数 ,在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合xfx:B到集合 的一个函数，记作 。其中 叫自变量， 的取值范围 A 叫做,yfAx函数 的定义域；与 的值相对应的 的值叫做函数值，函数值的集合)(fyxy叫做函数 y=

7、f(x)的值域.f|特别注意：1、函数实际上就是集合 到集合 的一个特殊映射 ，其特殊处主要在于集合 , 为非ABB空的数集；其中定义域 ，就是指原象的集合，值域 ，就是象的集合。Axf|)(2、函数符号 表示“ 是 的函数” ，应理解为：)(xfyyx（1） 是自变量，它是关系所施加的对象； 是对应关系，它可以是一个或几个解析式，x f可以是图像、表格，也可以是文字描述； 第 3 页（共 14 页） （2）符号 仅仅是函数符号， 不是表示“ 等于 与 的乘积” ， 也不一定yfxyfx)(xf是解析式，再研究函数时，除用符号 外，还常用 等符号来表示。)(xf(),()gFG3、判断两个变量

8、之间是否具有函数关系，只要检验：（1） 的取值集合是否为空集（2）根据给出的对应关系，自变量 在其定义域内的每一个值，是否都有唯一确定的函数值与之对应。例 4：下列各式能否确定 是 的函数？yx（1） ；（2） ；（3）21x2032yxx解：（1）不能。由 得出 ，所以当 时， ，故不符21y01y合函数的定义；（2）能；（3）不能。因为 。x知能点二：函数的值表示当 时，函数 的值，这个值就由“ ”这一对应关系来确定；faxaf f与 是不同的，前者表示以 为自变量的函数，后者为常数)(x例 5：已知 ，则 ； ； 231ff5f2f； ； 。ff答案：-1；41； ； ； 。2a2410

9、a知能点三：函数的三要素 我们通常把对应法则 、定义域 A、值域 称为函数的三要素。由函数的定fAxf|)(义可知，由于函数值域被函数的定义域和对应关系完全确定，这样确定一个函数只需两个要素：定义域和对应法则。如果两个函数的定义域和对应法则分别相同，我们就说这两个函数是同一函数。例 6：下列各组函数中，把表示同一函数组的序号填在横线上 。 ； ； ； 2,yx22,yx21,xy；01,x答案：知能点四：区间的概念和记号名称 定义 符号 数轴表示闭区间 xab,ab开区间 左闭右开区间 x,左开右闭区间 abab无穷区间 x,无穷区间 第 4 页（共 14 页） 无穷区间 xa,a无穷区间 特

10、别注意：书写区间记号时：有完整的区间外围记号，有两个区间端点，且左端点小于右端点；两个端点之间用“， ”隔开；无穷大是一个符号，不是一个数；以“ ”或“ ”为区间一端时，这一端必是小括号。例 7：将下列集合用区间表示：（1） ； （2） ； （3） 。0x12xx或 1,xR答案：（1） ；（2） ；（3） 。,1,知能点五：分段函数有些函数在它的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，对应法则不同，这样的函数通常称为分段函数。如函数0 xy特别注意：1、分段函数是一个函数，而不是几个函数；2、它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值 时，一定首先要判断 属于定义0()fx0x域的哪个子集，然

11、后再代相应的关系式；3、分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。例 8： 已知 ，分别求 的值。10)(xf)(1,01fff答案： ()2 )0 () ffff； ； ； ；知能点六：复合函数如果 ，那么 叫做 和 的复合函数，其中 为,yugxygxfggx内函数， 为外函数。 f例 9：已知 求21 1,ffx解： ； 2fgxx 21g板块三、函数的定义域与解析式知能点全解： 第 5 页（共 14 页） 知能点一：函数定义域的常见题型及解题常用方法1、给出函数解析式，求其定义域如果给出函数解析式却没有单独指明函数的定义域，那么该函数的定义域就是能使这个式子有意义

12、的自变量 的取值范围。使解析式有意义的常见形式：x分式的分母不得为零； 偶次根式中被开方数不小于零； 零的零次幂无意义；对数的真数大于零； 指数和对数的底数必须大于零且不等于 1；三角函数中正切函数 且 ；tan,yR2xk当函数 由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。yfx特别提醒：1、求函数的定义域之前，不要对函数的解析式进行化简或变形，以免引起定义域的变化。2、当解析式是整式时，其定义域为 。R3、当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合。例 10：求下列函数的定义域，并用区间法表示：（1） （2） （3） 21

13、43)(xf )(xfx1xf0)()解：（1）要使函数有意义，必须： 13402143x且或 314x或 或定义域为： ,1,（2）要使函数有意义，必须： 01xx210x定义域为： 1,0,2要使函数有意义，必须： x1x定义域为： ,1,02、抽象函数的定义域： 第 6 页（共 14 页） 所谓抽象函数就是指没有给出具体解析式的函数。此类题目的关键是注意对应法则，在同一对应法则作用下，不管接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，即都在同一取值范围内。该类型题目中最常见的是求复合函数的定义域，其有三种情况：（1）已知 的定义域是 ，求 的定义域。该类题目实质上是由不等fx,abfgx式 所求 的取值范围就是 的定义域。agb例 11（1）：已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域f0,92f解：由题意知： 解得： 即函数 的定义域为 。20x3x2fx3,（2）已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。该类型题目的实质fg,ab()f是由 的取值范围所求得的 的取值范围就是函数 的定义域。x例 11（2）：已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。32fx,3()fx解： 即函数 的定义域为 。91,1（3）已知函数 的定义域是 ，求函数 的定义域。该类题目的解fg,abfh决方法是：先由函数 的定义