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1、2013J-l一2月下旬(高中)。 解题研究 一l中小学数学灌 文3开篇指出：有不少“错例分析”的文章在 对错例分析的过程中，或给出“正解”的同时，仍然出 现错误，然后举出三例进行分析，最后指出：“慎思、明 辨是真理的源头活水”，明辨是非的前提在于慎思、深 思对于错例，我们应慎思、深思，对于错例的辨析过 程，更应慎思和深思，不要让类似的错误在辨析的过 程中再次出现受该文启发，笔者思考：这些错例，学 生易错，教师在写“错例分析”的文章中仍然出错，说 明这种解法本身易错，纠错固然重要，这有利于培养 思维的深刻性和批判性但若如此“与其昏昏，使人昭 昭”纠缠不清，倒不如换个角度思考，另想它法另谋 出路
2、，也许柳暗花明峰回路转本文先以3的例1、 例2和笔者最近发现的两个新题为例谈谈换个角度 思考数学问题，解法可能更精彩 例1 已知_厂( )： I n I一2，当 0，1 时 )s，而n2等 l，无 解 综上所述，所求点P的坐标为(2，0) 下面再举最近笔者发现的两个新题来进一步解 读换个角度思考问题给我们带来的精彩 例3 方程赤+ 有多少个 1 1 解? 这是莫斯科大学每年为中学生举办一次的名为 罗蒙诺索夫数学竞赛的预赛题的第4题文4将此 124 方程的解的个数问题转化为两个函数 )： + ，g( )= 2图像的交点个数问 题，然后运用数形结合和分类讨论思想进行求解其 中g(x)是一个幂函数画
3、图问题不大，但函数，( )较 为陌生，其图像也不好画，这使得数形结合的思想大 打折扣另外，对自变量 的取值范围分为四种情形 讨论，解答显得较为繁琐 解题应该追求简单自然，解题的过程实际上是化 归转化的过程本题已知的是一个分式方程，所求的 不是方程的根而是问方程有多少个解，而我们熟悉的 是整式方程和整式函数，因此有如下解题计划：第一 步，将分式方程转化为整式方程；第二步，将整式方程 解的个数问题转化为一个整式函数的图像与 轴的 交点个数问题，或转化为两个整式函数图像的交点个 数问题下面笔者给出两种简单解法与读者交流 简解1：将原方程直接去分母化为整式方程得， 6x321 +24 一8=0 设_
4、)=6x 一21x +24x一8，贝0， ( )：18x 一42x+24=6( 一1)(3z一4) 由此知，当 0；当1 4时 ，( )0 所以I厂( )在(一。，1)上递增，在(1，)上递 减，在(睾，+ )上递增 一方面，因为 0)=一80，由零 点存在性定理知，函数厂( )在(0，1)内至少有一个零点， 又_厂( )在(一 ，1)上单调递增，所以l厂( )在(一 ，1) 上有唯一零点 另一方面，又因为_厂( )在(1，)上递减，在(1， + )上递增，所以当 1，+ )时，( )在 =了4 处取得最小值，所以当 1，+。)时 X) )=争0故当 1时，函数 )的图像在 轴上方，所以函数_
5、厂( )在1，+ )上没有零点 20131-2月下旬(高中) 解题研究 上日J知，幽数 【 )只 一个零点，从廊6x 一 21x +24x一8=0只有一个根，进而原分式方程只有 一个解，且这个解在区间(0，1)内 简解2：由 + ： 得， 一 ： 一 j_左右两边分别通分得， 一 一 = _红囱网边 刑迥竹侍 ：一 去分母整理得，(2 一1 2 ( 一) ( 一) 1)( 一2) =一4( 一1) 设_厂()=(2x一1)( 一 2) ，g( )：一4( 一1) ，由轴 根法在同一坐标系中画出这 两个函数的大致图像(这里图 2是用几何画板画出的，用手 画出的大致图像也有同样效 果)由图知两函数
6、有唯一交 J V 一 )：( 一1 O 7 g( )=一4( 一 图2 ( 一2) 点，且交点横坐标在区间(，1)内，从而原分式方程 1 只有一个解，且这个解在区间(下1，1)内 上述两种简解，虽然扩大了自变量的取值范围， 但这并不影响问题的解决，相反，这样将舞台变大，使 得英雄更有用武之地 例4 已知_厂( )= + +2， R，若方程 -厂( )+f l I=2在区间(0，2)上有两个解 ， ：， 则b的取值范围是 【 】 (A)一 56一1 (c)一 6一l (B)一 b一1 (D)一 56一1 这是华师一附中2012-2013学年度上学期高三 期中检测数学理科第10题，本题解法较多，有
7、难有易 有繁有简，一般解法是去掉绝对值，下面介绍_种不 去掉绝对值的简单解法 解：依题意，方程l xZ一1 I+ +bx：0在区间 (0，2)内有两个不等实根 ， 设g( )：I 。一1 I+ ，h(x)=一 ，则问题等 价于这两个函数的图像在区间(0，2)内有两个交点 且两交点横坐标分别为 ， 中小学教*II 因 ( )：I 321 I+32：f2x2一 ， L在 L1I I1 同一坐标系中画这两个函数 的图像如图3所示由图可 知，要这两个函数的图像在区 间(0，2)内有两个交点，则当 且仅当 一b ，即1 1 1 一b，所以一b 一1故应选(C) =kz_1 )= II adA(1， ：
8、D 图3 将方程的根的问题转化为两个函数图像的交点 问题是一种常见的重要方法，两个函数的选择决定问 题解决的繁难简易，其分的原则是便于画图、识图和 用图，便于揭示问题本质或便于运用参数的几何意义 解题该解法图形直观斜率几何意义明显解法简洁明 了，充分体现了化归与转化思想和数形结合思想的伟 大魅力 西方有一句谚语说“毫无意义的坚持就是一种愚 蠢的固执”所以不要一根筋，一条路走到黑，应该审 时度势激流勇退换个角度看待问题就会是另外一个 样子，一种豁然开朗的感觉善于转变角度看待问题， 有利于我们培养思维的灵活性、变通性和创造性 - 是在坚持中改进方法，还是在困境中激流勇退， 转变观念换个角度重新审视
9、问题，这都需要有一定的 认识高度和对问题尺度的把握很欣赏央视十台那段 公益广告的广告词：“高度开阔视野，角度转变观念， 尺度把握人生”换个角度看世界原来世界很精彩，认 识世界如此，认识人生如此，解数学题亦如此，换个角 度思考数学问题解法可能更精彩 参考文献： 1黄桂君不要被恒成立问题中的“或”迷惑 J中学数学教学参考(上旬)，2009(11)：3536 2任勇，朱通怎样避免“范围失控”J中学 数学教学参考(上旬)，2006(7)：2223 3汤先键，汤敬鹏错例分析：应防止新错误的 出现J中学数学教学参考(上旬)，2012(11)：384o 4王玉怀2011莫斯科大学罗蒙诺索夫奥林匹 克J数学教学，2012(10)：4042 125
