《21年新高考[数学]考点：运用空间向量解决立体几何中的角与距离（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《21年新高考[数学]考点：运用空间向量解决立体几何中的角与距离（教师版）（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高考考点高考考点专项突破 真金试炼真金试炼备战高考备战高考 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考2 专题专题 5.3 运用空间向量解决立体几何中的角与距离运用空间向量解决立体几何中的角与距离 一、单选题 1、若直线 l 的方向向量为 a(1，0，2)，平面 的法向量为 n(2，0，4)，则( ) A. l B. l C. l D. l 与 斜交 【答案】B 【解析】a(1，0，2)，n(2，0，4)，n2a，即 an，l.故选 B. 2、 已知 A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面 ABC 法向量的是( ) A. (1，1，1) B. (1，1，1)
2、 C. D. ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3) ( 3 3 ， 3 3 ， 3 3) 【答案】C. 【解析】(1，1，0)，(1，0，1)，经计算得 C 项符合题意故选 C. AB AC 3、在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 为 BC 的中点，F 为 B1C1的中点，则异面直线 AF 与 C1E 所成角的 正切值为( ) A. B. C. D. 5 2 2 3 2 5 5 5 3 【答案】C. 【解析】以 D 为坐标原点，DC，DA，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角 坐标系，设正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2， 高考考点 | 专项突破
3、精品资源 | 备战高考3 第 3 题图 可得 A(0，2，0)，B(2，2，0)，C(2，0，0)，B1(2，2，2)，C1(2，0，2)，由中点坐标公式可得 E(2，1，0)， F(2，1，2)，则 AF(2，1，2)，C1E(0，1，2)，设两异面直线所成角为 ，则 cos |cos，C1E|，则 sin ，故异面直线 AF 与 C1E 所成角的正切 AF |AF C1E | |AF |C1E | |14| 9 5 5 3 2 3 值为.故选 C. 2 3 5 3 2 5 5 4、如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，已知 M，N 分别是 BD 和 AD 的中点，则 B1M 与
4、 D1N 所成角 的余弦值为() A.B 30 30 30 15 C. D. 30 10 15 15 【答案】C 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系设正方体的棱长为 2，则 B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0，0,2)， N(1,0,0)，(1，1，2)，(1,0，2)， B1M D1N 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考4 B1M 与 D1N 所成角的余弦值为. |B1M D1N | |B1M |D1N | |14| 114 14 30 10 5、.如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，ADAA11，AB3，E 为线段 AB 上一点，且 AE AB，则 1
5、 3 DC1与平面 D1EC 所成角的正弦值为() A. B 3 35 35 2 7 7 C. D. 3 3 2 4 【答案】A 【解析】如图，以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则 C1(0,3,1)，D1(0,0,1)，E(1,1,0)，C(0,3,0)， (0,3,1)，(1,1，1)，(0,3，1) DC1 D1E D1C 设平面 D1EC 的法向量为 n n(x，y，z)， 则Error!Error!即Error!Error!取 y1，得 n n(2,1,3) 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考5 cos，n
6、n， DC1 DC1 n |DC1 |n| 3 35 35 DC1与平面 D1EC 所成的角的正弦值为. 3 35 35 6、 （2020 届浙江省之江教育评价联盟高三第二次联考）在正方体中，是底面 1111 ABCDABC D O 的中心，是棱上的点，且，记直线与直线所成角为，直线与 1111 DCBA EAB 1 4 AEAB OEBCOE 平面所成角为，二面角的平面角为，则（ ） ABCD OABC ABCD 【答案】C 【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， DDAxDC y 1 DD z 设正方体中棱长为 4， 1111 ABCDABC D 则， 2 2 44104
7、 4()()00(4 04 0 0)()()OEBCA， ， OE2(4)1 ，(B)C4 0 0 ， ， |OE BC| |OE| |BC| cos 8 21 4 2 21 平面的法向量， ABCD 01()n0 ， ， |OE n | |OE| |n | sin 4 21 2 4 1 21 cos 5 21 ， (OB2 24) ，OA2(4)2 ， 设平面的法向量， OAB ()mxyz ， 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考6 则，取，得， 2240 2240 m OAxyz mOBxyz 2x 2 01()m ， ， |m n | |m| |n | cos 1 5 ，.
8、coscoscos 故选：C. 7、在正方体 ABCD -A1B1C1D1中，点 E 为 BB1的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦 值为() A. B 1 2 2 3 C. D. 3 3 2 2 【答案】B 【解析】以 A 为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，设棱长为 1， 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考7 则 A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)， (1，0， 1 2) (0,1，1)， A1D ， A1E (1，0， 1 2) 设平面 A1ED 的一个法向量为 n n1(1，y，z)， 则Error!Error!即Error
9、!Error! Error!Error!n n1(1,2,2) 又平面 ABCD 的一个法向量为 n n2(0,0,1)， cosn n1，n n2 . 2 3 1 2 3 即平面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为 . 2 3 8、如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 2 BDE.则 M 点的坐标为() A(1,1,1) B( 2 3 ， 2 3 ，1) C. D. ( 2 2 ， 2 2 ，1) ( 2 4 ， 2 4 ，1) 【答案】C 【解析】设 AC 与 BD 相交于 O 点，连接 OE，由 AM平
10、面 BDE，且 AM平面 ACEF，平面 ACEF平 面 BDEOE，AMEO， 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考8 又 O 是正方形 ABCD 对角线交点， M 为线段 EF 的中点 在空间坐标系中，E(0,0,1)，F(， ，1) 22 由中点坐标公式，知点 M 的坐标. ( 2 2 ， 2 2 ，1) 9、 （2020 届浙江省十校联盟高三下学期开学）如图，矩形中，为的中 ABCD4AB 2AD ECD 点，沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部（不 ADEAEDDDABCDHABCE 含边界） ，设二面角的大小为，直线，与平面所成角分别为，则（ DBCED C
11、D BABC ） ABCD 【答案】C 【解析】 由， 24ABAD 可知，作中点， DEDAABP 则， DPAE 故在线段上， HDP 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考9 作交于，连接，如图， D MBCBCMHMHBHC 易知， tan D H HM tan D H HC tan D H HB 又， HMHBHC 故选：C 10、 （2020 届浙江省“山水联盟”高三下学期开学）如图正四棱锥，为线段上的一个动点， PABCDEBC 记二面角为，与平面所成的角为，与所成的角为，则（ ） PCDBPEABCD PECD ABCD 【答案】C 【解析】 以正方形的中心为原点，分别
12、以平行于所在直线为轴，所在直线为轴，建立 ABCDO ,AB AD, x y OP z 空间直角坐标系，如图所示 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考10 取中点，连接.则.连接，则. CDFPFPFOOE PEO 设，则. 0,0,2 , ,0 ,PhABa E a xaxa , ,0 , ,0C a aDa a 则. 22 tan,tan hhh a OEax 又， , ,2 ,0,0PEa xhCDa ， 2 222222 2 coscos, 2 PE CDaa PE CD PE CDaxhaaxh A . 2222 222 sin,tan xhxh a axh ， 2222
13、0,0,ahaxaaaxhxh ，即. 22 22 hhxh aa ax tantantan 由题意知都是锐角，. , 故选：. C 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考11 11、 （2018 年高考浙江卷）已知四棱锥 SABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段 AB 上的点（不 含端点） ，设 SE 与 BC 所成的角为 1，SE 与平面 ABCD 所成的角为 2，二面角 SABC 的平面角为 3，则（ ） A123 B321 C132 D231 【答案】D 【解析】设 O 为正方形 ABCD 的中心，M 为 AB 中点，过 E 作 BC 的平行线 EF，交 CD 于
14、F，过 O 作 ON 垂直 EF 于 N，连接 SO，SN，SE，SM，OM，OE，则 SO 垂直于底面 ABCD，OM 垂直于 AB， 因此 123 ,SENSEOSMO 从而 123 tan,tan,tan, SNSNSOSO ENOMEOOM 因为，所以即， SNSOEOOM，132 tantantan, 132 故选 D. 12、 （2019 年高考浙江卷）设三棱锥 VABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱 VA 上的点（不含端 点） 记直线 PB 与直线 AC 所成的角为 ，直线 PB 与平面 ABC 所成的角为 ，二面角 PACB 的平面角 为 ，则（ ） A，B， C，
15、 D， 【答案】B 【解析】如图，为中点，连接 VG，在底面的投影为，则在底面的投影在线段 GACVABCOPD 上，过作垂直于于 E，连接 PE，BD，易得，过作交于， AODDEACPEVGPPFACVGF 连接 BF，过作，交于，则，结合PFB， DDHACBGH ,BPFPBDPED 高考考点 | 专项突破 精品资源 | 备战高考12 BDH，PDB 均为直角三角形，可得，即； coscos PFEGDHBD PBPBPBPB 在 RtPED 中，即，综上所述，答案为 B. tantan PDPD EDBD 13、 （2018 年高考全国卷理数）在长方体中，则异面直线 1111 ABCDABC D 1ABBC 1 3AA 与所成角的余弦值为（ ） 1 AD 1 DB AB 1 5 5 6 CD 5 5 2 2 【答案】C 【解析】方法一：用一个与原长方体相同的长方体拼到原长方体的前面，如图，则，连接 11 B PAD ，易求得，则是异面直线与所成的角， DP 1 = 5DBDP 1 2B P 1 DB P 1 AD 1 DB 由余弦定理可得. 222 11 1 11 5455 cos 254 5 DBB PDP DB P DB PB 故选 C. 高考
