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1、二、回归分析,一 、方差分析,第九章,方差分析及回归分析,二、统计分析,一 、总平方和的分解,第一节,单因素试验的方差分析,例1 假定某型号的电子管的使用寿命服从正态分布，并且原料差异只影响平均寿命，不影响方差 。现用三种不同来源的材料各试生产了一批电子管。从每批中各抽取若干只做寿命实验，得数据如下表。,试问测试结果是否说明这批电子管的寿命有明显差异？,1.引例,三个水平,因素,试验指标,例2 设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？,水平,因素,试验指标,设在试验中，因素A有m个不同水平,在水平
2、下的试验结果,其中 和 是未知参数。在水平 下作 次独立实验，其结果如表1所示。,2. 数学模型,表1,是来自总体 的容量为 的 一个 样本，其观察值为,(1),由于 相互独立，且,若记,则,且相互独立,要判断因素的各水平间是否有显著差异，也就是要 判断各正态总体的均值是否相等，即检验假设,式(5)表明：样本由总平均值 因素的水平效应 随机误差三部分叠加而成。 因而式(5)也称为线性可加模型。,(5),由于当 为真时，,=各水平的效应,=统计假设模型(1)等价于,(6),基本任务：根据样本提供的信息，对假设 (6)进行检验，并估计未知参数,检验此假设的方法就是方差分析,3. 总离差平方和的分解
3、:,样本总平均,通过分解，构造统计量,组内平均,(7),(8),两者间的关系,称为总离差平方和。,引入记号,(10),总离差平方和分解,全部数据与总平均之间的差异，又叫总变差,其中,为各水平下的样本与该水平下样本均值的离差平方和，反映了各水平下样本值的随机波动情况，称为组内平方和。 它是由试验的随机误差引起的，故又称误差平方和。,为各水平下的样本均值与样本总均值的（加权）离差平方和，反映了各水平间的样本值的差异，称为组间平方和。 形成它的主要原因是因素A的各水平下的不同效应，故又称为效应平方和。,常见统计量,1、样本均值,2、样本方差,设,是来自总体X的一个样本，,常用来估计EX.,复习,结论
4、：设为来自总体 的一个样本，,4. SE，SA的统计特性,故,(12),(13),记,(14),(15),的均方,的均方,4. SE，SA的统计特性,(14),(15),(14)及(15)两式表明：,是 的无偏估计，,仅当,成立时才是 的无偏估计，,否则它的期望值要大于,在 成立时应接近于1，,而当 H1成立时总有偏大的倾向。,如果比值,比1大得多，就应拒绝假设,为此，我们采用,(16),作为检验统计量。,当 成立时，,与,相互独立，且分别服从自由度,(n-m)，(m-1)的 分布，故,复习：F 分布的分位点,对于给定的正数,称满足条件,的点,为,分位点,分布的上,对给定的显著性水平 ，由,得
5、检验问题(1.1)或(1.6)的拒绝域为,(17),上述分析的结果可排列成表2的形式称为方差分析表,在实际计算时，通常使用下列公式,其中,例1,设对四种玉米品种进行对比实验，每个品种都在同一块田的五个小区各做一次实验，实验结果如下表所示。试问不同品种对玉米的平均产量是否有显著影响？(=0.01),解,分别以 表示不同品种玉米平均产量总体的均值，按题意需检验假设,品种,地块,产量,1 32.3 33.3 30.8 29.3,172.1 173.9 168.5 141.9 656.4,5 36.5 34.5 35.8 28.8,4 35.0 36.8 32.3 28.0,3 34.3 36.3 3
6、5.3 29.8,2 34.0 33.0 34.3 26.0,5923.682 6048.242 5678.45 4027.122 21677.50,29618.41 30241.21 28392.25 20135.61,5933.03 6060.07 5696.15 4035.97 21725.22,注意到,可得方差分析表,方差分析表,方差来源,误差E,因素A,总和,均 方,自由度,平方和,显著性,F 比,当 时，,由F分布表可查得,由于,故拒绝,即认为,这四个品种对玉米平均产量的影响高度显著。,3,19,16,若检验结果为原假设H0不成立，,有时需要对,则 的置信度为1 的置信区间为,由上
7、面讨论，可得未知参数,的估计,是 的无偏估计。,5.未知参数的估计,如果检验结果为拒绝 ，,即,不全相等。,有时需要对第i个水平及第k个水平均值差 作出区间估计。,为此，我们可以取,作为 的点估计，,注意到,又,是 的无偏估计，,而,可以证明 与 相互独立。,的置信度为 的置信区间为,求例2中未知参数 的点估计及均值差的置信度为0.95的区间估计。,解,的点估计为,及 的无偏估计分别为,例2,当,时，,的置信度为0.95的置信,区间分别为,因素A分3个水平，对每个水平进行4次试验，结果如下表：,假定样本都是从同方差的正态总体中抽取的。,（1）在显著性水平 下，检验假设,组均值相等。,（2）求未
8、知参数,及,的点估计以及均值差的置信区间（置信度为95%）,例3,解,（1）用下表进行计算,方差分析表,查表得,拒绝,即在显著性水平下，可以认为组平,均值在整体上是有显著差异的。,（2）,查表,的置信度为95%的置信区间分别为,一共进行了13次试验，假设样本都是从同方差的正态总体中抽取的，试验结果如下表：,（1）在显著性水平 下检验假设,（2）求 及 的点估计及均值,差的95%置信区间。,例4,解,用下表进行计算，得,方差分析表,（1）查表得,拒绝,在显著性水平下，,可以认为3个水平下的期望有显著差异。,（2）,又,由,得,的置信区间为,即 (67.1, 7.1)。,由,可得,的置信区间为,即 (78.6, 7.4)。,由,可得,的置信区间为,即 (38.9，26.9)。,
