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1、3.4立体几何中的向量方法,空间“角”问题,空间的角：,空间的角常见的有：,线线角、线面角、面面角。,异面直线所成角的范围：,思考：,结论：,一、线线角：, 向量法,质疑：空间向量的夹角与异面直线的夹角有什么 区别？,A,D,C,B,D1,C1,B1,A1,E1,F1,方法小结, 几何法,已知F1与E1为四等分点，求异面直线DF1与BE1的夹角余弦值？,例1、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 求AC1和CB1的夹角，,分析：求异面直线的夹角,解法步骤：1、写出异面直线的方向 向量的坐标。 2、利用空间两个向量的 夹角公式求出夹角。,AC1和CB1的夹角为：,D,所以 与
2、 所成角的余弦值为,解：如图所示，建立空间直角坐标 系 ,如图所示，设 则：,所以：,练习：,斜线与平面所成的角,平面的一条斜线,和它在这个平面内的射影,所成的锐角,二、线面角,当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是90,当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角是0,斜线与平面所成的角,（ 0, 90）,直线与平面所成的角, 0, 90,异面直线所成的角,（ 0, 90,最小角原理,C,斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角。,例2、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中， 求A1B与平面A1B1CD所成的角,O,A,B,线面角或等于直线的
3、方向向量与平面的法向量所成角的补角的余角.,二、线面角向量法：,范围：,线面角等于直线的方向向量与平面的法向量所成角 的余角.,例2、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 1）求AC1和CB1的夹角， 2）求AC1和面ABB1A1所成角的正弦值,2）直线与平面所成的角,步骤： 1、求出平面的法向量 2、求出直线的方向向量 3、求以上两个向量的夹角， （锐角）其余角为所求角,设平面ABB1B的法向量：,所以AC1和面ABB1A1所成角的正弦值为,练习：,x,y,z,解：设正方体棱长为1，,正弦值,二面角,O,B,A,A,B,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。,
4、这条直线叫做二面角的棱。,这两个半平面叫做二面角的面。,3,定义:,二面角AB ,二面角 l ,二面角CAB D,5,AOB,表示方法：,A,B,A1,B1,A O B,A1O1B1,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,平面角是直角的二面角叫做直二面角,9,二面角的大小用它的平面角来度量,度量：,二面角的平面角必须满足：,以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,10,二面角的计算几何法：,1、找到或作出二面角的平面角,2、证明 1中的角就是所求的角,3、计算出
5、此角的大小,一“作”二“证”三“计算”,16,.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值是_.,练习,三、面面角：,二面角的范围：,向量法,注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角； 同进同出，二面角等于法向量夹角的补角,证明：以 为正交基底，建立空间直角坐标系如图。则可得,例4.已知正方体 的边长为2，O为AC和BD的交点，M为 的中点 （1）求证： 直线 面MAC; （2）求二面角 的余弦值.,由图可知二面角为锐角,设平面,小结：,1.异面直线所成角：,2.直线与平面所成角：,D,C,B,A,3.二面角：,一进一出，二面角等于法向量的夹角； 同进同出，二
6、面角等于法向量夹角的补角。,练 习：,如图，已知：直角梯形OABC中，OABC，AOC=90，SO面OABC，且 OS=OC=BC=1，OA=2。求： 异面直线SA和OB所成的角的余弦值， OS与面SAB所成角的正弦值 ， 二面角BASO的余弦值。,则A（2，0，0）；,于是我们有,=（2，0，-1）；,=（-1，1，0）；,=（1，1，0）；,=（0，0，1）；,B（1，1，0）；,令x=1，则y=1，z=2；,从而,（2）设面SAB的法向量,显然有,.由知面SAB的法向量 =（1，1，2）,又OC面AOS，, 是面AOS的法向量，,令,则有,由于所求二面角的大小等于,2.如图，60的二面角
7、的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB4，AC6，BD8，求CD的长.,下面我们来求面A1 C1C的法向量,设 =（x，y，z），,由于 =（3，3，0）,令y=1，则x=1，, =（1，1，0）,又所求二面角为的补角，,故二面角B1A1CC1的余弦值为,：在例2中，长方体AC1的棱AB=BC=3，BB1=4， 点E是CC1的中点 。 求:二面角B1A1CC1的大小。,=（0，0，4）,N,(本小题满分14分) 如图所示的几何体ABCDE中，DA平面EAB，CB/DA，EA=DA=AB=2CB，EAAB，M是EC的中点，() 求证：DMEB；
8、()求二面角M-BD-A的余弦值.,解: 分别以直线AE，AB，AD为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，设CB=a，则A(0，0，0)，E(2a，0，0)，B(0， 2a， 0)，C(0， 2a，a)，D(0，0，2a)，所以M(a，a， ), 4分,即二面角M-BD-A的余 弦值为 14分, 11分, 10分,此题用“坐标法”解简单易行！,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 1）求AC1和CB1的夹角， 2）求AC1和面ABB1B所成的夹角 3）求二面角BAB1C1的大小 4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离 5）求AM与B1C
9、1的距离,分析：1）求异面直线的夹角,解法步骤：1、写出异面直线的方向 向量的坐标。 2、利用空间两个向量的 夹角公式求出夹角。,AC1和CB1的夹角为：,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 1）求AC1和CB1的夹角， 2）求AC1和面ABB1B所成的夹角 3）求二面角BAB1C1的大小 4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离 5）求AM与B1C1的距离,2）直线与平面所成的角,解法1步骤：1、求出直线的方向向量的 坐标和直线在平面内的 射影的方向向量坐标。 2、求以上两个向量的夹角,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 1）求A
10、C1和CB1的夹角， 2）求AC1和面ABB1B所成的夹角 3）求二面角BAB1C1的大小 4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离 5）求AM与B1C1的距离,2）直线与平面所成的角,解法2步骤： 1、求出平面的法向量 2、求出直线的方向向量 3、求以上两个向量的夹角， （锐角）其余角为所求角,设平面ABB1B的法向量：,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 1）求AC1和CB1的夹角， 2）求AC1和面ABB1B所成的夹角 3）求二面角BAB1C1的大小 4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离 5）求AM与B1C1的距离,3）二面角的大小,解法
11、1步骤：1、在两个半平面内求垂直 于棱的两条直线方向向量 2、求以上两个向量的夹角,在两个半平面内作垂直于棱的两条垂线EB、FC1,3）二面角的大小,解法2步骤：1、求两个半平面的法向量 2、求两个法向量的夹角 3、当两个法向量同时指向二面角的内（外）部， 所求角是法向量的夹角的补角，否则所求角 是法向量的夹角,面BAB1的法向量,设面AB1C1的法向量为：,所求角为?,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 4）M是A1B1的中点，求点B1到面C1MB的距离,4）求点到面的距离,解法步骤：1、求平面的法向量； 2、求该点与平面内任意一点 所确定的向量； 3、求该向量在平面的法向量 上的射影长（即为所求）,1、设面C1MB的法向量为：,2、,3、,例、如图，正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为a,侧棱长为 5）求AM与B1C1的距离,5）求两异面直线的距离,M,解法步骤：1、求两异面直线的公共法向量 2、在两直线上各取一 点作为向 量的起点和终点，求该向量 3、求该向量在公共法向量上的 射影长（即为所求）,1、设面AM和B1C1的公共法向量为：,2、,五、方法小结,
