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1、 1 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 专题 1：求极限的方法和技巧 (一) 求极限的常用方法 方法 1 利用基本极限求极限 1)常用的基本极限 1 sin lim 0 = x x x , , ex x x =+ 1 )1 (lim 0 , , e x x x =+ ) 1 1 (lim a x a x x ln 1 lim 0 = ),0( a , 1lim= n n n ),0( , 1lim= aa n n + cba 【解】原式 x xxx cba + += 3 3 1lim 111 x cba xxx x ) 3 3 (lim 111 + x
2、 cba xxx x1 ) 1() 1() 1( lim 3 1 111 + = )lnln(ln 3 1 cba+= 3 lnabc= 原式 3 ln3 abce abc = 【例 5】 （2016 年，数二，数三，10 分）求极限.)sin22(coslim 4 1 0 x x xxx+ 3 1 e 【解 1】 3 【解 2】 【例 6】(2010 年 1) 极限._ )( lim 2 = + x x bxax x (A) 1. (B) (A) 1. (B) e. (C) . (C) ba e. (D) . (D) ab e. . 【解 1】 【解 2】 【例 7】._ ) 12() 12
3、( )23() 32( lim 4850 3020 = + + xxx xx x ) 2 3 ( 30 【例 8】已知, 0 ) 12( ) 15)(14)(13)(12)(1( lim= + x xxxxx x ，则（ ） （A）. 5, ! 5= （B）. 5, 2 ! 5 5 = （C）. 5, 2 1 5 = （D）. 4, 2 5 5 = )(B 【例 9】已知,16 ) 15)(14)(13)(12)(1( lim 0 = + x baxxxxxx x ，则（ ） （A）. 1, 1=ba （B）. 1, 2=ba （C）. 1, 5=ba （D）. 1, 1=ba )(D 4 【
4、例 10】设函数 1 lim)( 2 212 + + = + n n n x bxaxx xf，问ba,取何值时，)(xf在),(+上连续. 【解】 = + = + = + 【解】令,maxaai=则 nn n n m nn nn maaaaa+L 21 aamaa nn n nn n = lim,lim 则 aaaa n n m nn n =+ L 21 lim 【注】这是一个常用结论. 【例 3】 （2008 年 4）设ba + x x x n nn n 【解】 =+ 2 , 1max) 2 (1lim 22 x x x x n nn n = ,2, 2 , 21, , 10, 1 2 x
5、 x xx x 【例 5】 n n n 1 2 1 1lim+ L 1 20 【例 6】 .) 1 1 () 2 1 1 () 11 (lim 2 2 n nnn n n + L e 【例 7】 )1ln( 1 2 1 1 lim n n n + + L 1 【例 8】 （I）比较+ 1 0 d)1ln(|ln|ttt n 与 1 0 d|ln|tttn ), 2 , 1(L=n的大小，说明理由； （II）记 += 1 0 d)1ln(|ln|tttu n n ), 2 , 1(L=n，求极限 n n u lim 【解】 （I）当10 t时，因为tt + )1ln(，所以|ln|)1ln(|l
6、n|tttt nn +，因此 .d|ln|d)1ln(|ln| 1 0 1 0 +tttttt nn （II）由（I）知 += 1 0 1 0 d|ln|d)1ln(|ln|0ttttttu nn n . 因为 , ) 1( 1 d 1 1 dlnd|ln| 2 1 0 1 0 1 0 + = + = n tt n tttttt nnn 所以0d|ln|lim 1 0 = tttn n . 从而. 0lim= n n u 练习题练习题 1. = + n k n knkn n 1 2 ) 1)( 1 lim 2 3 2. 2 !lim n n n 1 3. .) 1 1 2 1 1)( 1 1
7、1 (lim 22 n n n n + （）L 1 21 4. ._ 1 )1 (ln lim 1 0 2 = + + dx x x n n 0 5. 设函数 = x ttxS 0 d|cos|)(， （1） 当n为正整数，且) 1( +nxn时，证明) 1(2)(2+ + n x x xx n n n ，证明：数列 n x极限存在并求此极限. 【证】由), 2 , 1( , 1 2 , 0 10 L=+= + n x x xx n n n 知, 0 n x即 n x下有界. 又 2 1 2 2 1 2 22 1 = + = + n n n n n x x x x x 而 0 2 2 2 1
8、= + n n nn x x xx 或者由1 1 2 1 2 1 += + nn n xx x 知 n x递减， 故 n n x lim存在，不妨设 Axn n = lim 等式 n n n x x x 1 2 1 += + 两端取极限得 A A A 1 2 +=，由此解得2=A或2=A（舍去） 则 2lim= n n x. 方法 9 利用中值定理求极限 【例 1】; sin lim sin 0 xx ee xx x 1 23 【例 2】);0()(lim 1 11 2 + + aaax xx x lna 【例 3】;sin1sinlimxx x + + 0 【例 4】;cos1coslimn
9、n n + 0 【例 5】);0( 1 arctanarctanlim 2 + a n a n a n n a 【例 6】; arctan) 1arctan(lim 2 xxx x + + 1 【例 7】 4 0 )cos(sincos lim x xx x ； 6 1 【例 8】 xx xx x 3 22 0 sin )sin1ln()1ln( lim + 3 1 24 【例 9】 3 22 0 )cos()cos( lim x xexe xx x 4 【例 10】 . sin )21 ()1 ( lim 2 11 0 x xx xx x + 2 e 【例 11】 . )1 ( lim 2
10、)1 ( 0 1 x xe x e x x x + + 【解】原式= 2 1 0 )1ln( )1( lim x x xe xe x x + + 2 )1ln( 0 )1ln( lim x x xe e e x x x e + = + 2 2 2 )( 32 1 0 )( 32 1 lim 2 2 x x xx ee e x xx x e + = + 2 2 2 2 22 0 1 )( 32 1 )( 832 1 lim x x xx x xxx e x e + = + 1 8 1 + = e e 【例 12】设函数)(xf连续，且, 0)0(f求极限. )( )()( lim 0 0 0 x
11、 x x dttxfx dttftx 2 1 25 【例 13】设函数)(xf连续，且, 0)0(f求极限. )( )( lim 0 0 0 x x x dttxtf dttxfx 2 1 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 2021 考研武忠祥教授 17 堂课 专题 1：求极限的方法和技巧 (一) 求极限的常用方法 方法 1 利用基本极限求极限 1)常用的基本极限 1 sin lim 0 = x x x , , ex x x =+ 1 )1 (lim 0 , , e x x x =+ ) 1 1 (lim a x a x x ln 1 lim 0 = ),0( a , 1lim= n n
12、n ),0( , 1lim= aa n n + cba 【解】原式 x xxx cba + += 3 3 1lim 111 x cba xxx x ) 3 3 (lim 111 + x cba xxx x1 ) 1() 1() 1( lim 3 1 111 + = )lnln(ln 3 1 cba+= 3 lnabc= 原式 3 ln3 abce abc = 【例 5】 （2016 年，数二，数三，10 分）求极限.)sin22(coslim 4 1 0 x x xxx+ 3 1 e 【解 1】 3 【解 2】 【例 6】(2010 年 1) 极限._ )( lim 2 = + x x bxax x (A) 1. (B) (A) 1. (B) e. (C) . (C) ba e. (D) . (D) ab e. . 【解 1】 【解 2】 【例 7】._ ) 12() 12( )23() 32( lim 4850 3020 = + + xxx xx x ) 2 3 ( 30 【例 8】已知, 0 ) 12( ) 15)(14)(13)(12)(1( lim= +
