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1、2 2021021 研究生入学考试考研数学试卷（数学研究生入学考试考研数学试卷（数学二二） 一、选择题：110 小题，每小题 5 分，共 50 分下列每题给出的四个选项中， 只有一个选项是符合题目要求的请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上 1. 2 3 0 1 x t edt 是 7 x的 （A）低阶无穷小 （B）等价阶无穷小 （C）高阶无穷小 （D）同阶但非等价无穷小 2. 1, 0 ( ) 1,0 x e x f x x x 在0 x 处 （A）连续且取得极大值 （B）连续且取得极小值 （C）可导且导数为零 （D）可导且导数不为零 3. 有一圆柱体，底面半径与高随时间的变化率分别为2/
2、cm s，3/cm s，当底面半径为 10cm，高为5cm时，圆体的体积与表面积随时间的变化速率为 （A） 32 125/ ,40/cmscms （B） 32 125/ , 40/cmscms （C） 32 100/ ,40/cmscms （D） 32 100/ , 40/cmscms 4. 函数( )ln (0)f xaxbx a有 2 个零点，则 b a 的取值范围是 （A） ( ,)e （B） (0, ) e （C） 1 0, e （D） 1 , e 5. 设函数( )secf xx在0 x 处的 2 次泰勒多项式为 2 1 abx，则 （A） 1 1, 2 ab （B） 1 1, 2
3、ab （C） 1 0, 2 ab （D） 1 0, 2 ab 6. 设函数( , )f u v可微且 2 (1,)(1) x f xex x， 22 ( ,)2lnf x xxx，则(1,1)df （A）dxdy （B）dxdy （C）dy （D）dy 7. 设函数( )f x在区间0,1上连续，则 1 0 ( )f x dx 2021研究生入学考试考研数学试卷（数学二） 1 （A） 1 211 lim 22 n n k k f nn （B） 1 21 1 lim 2 n n k k f nn （C） 2 1 1 1 lim 2 n n k k f nn （D） 2 1 2 lim 2 n n
4、 k k f n n 8. 二次型 222 123122331 ( ,)()()()f x x xxxxxxx的正惯性指数和负惯性指数分 别为 （A） 2，0 （B）1，1 （C）2，1 （D）1，2 9. 设 3 阶矩阵 123123 ,AB ，若向量组 123 , 可以由向量组 123 , 线性表示出，则 （A）0Ax 的解均为0Bx 解 （B）0 T A x 的解均为0 T B x 解 （C）0Bx 的解均为0Ax 解 （D）0 T B x 的解均为0 T A x 解 10. 已知矩阵 101 211 125 A ，若三角可逆矩阵P和上三角可逆矩阵Q，使得PAQ为 对角矩阵，则P、Q分别
5、取 （A） 100101 010 , 013 001001 （B） 100100 210 , 010 321001 （C） 100101 210 , 013 321001 （D） 100123 010 , 012 131001 二、填空题：1116 小题，每小题 5 分，共 30 分请将答案写在答题纸 指定位 置上 11. 2 3 x xdx 12. 设函数( )yy x由参数方程 2 21 4(1) t t xet ytet 确定，则 2 0 2 t d y dx 2021研究生入学考试考研数学试卷（数学二） 2 13. 设 函 数( , )ZZ x y由 方 程(1 )l na r c t
6、 a n ( 2)1xzyzx y确 定 ， 则 (0,2) z x 14. 已知函数 2 1 ( )sin tt x x f tdxdy y ，则() 2 f 15. 微分方程有0yy的通解为 16. 多项式 12 121 ( ) 211 211 xxx x f x x x 的 3 x项的系数为 三、解答题：1722 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤请将答案写在答题纸 指定位置上 17. 求极限 2 0 1 1 lim 1sin x t x x e dt ex . 18. 设函数( ) 1 x x f x x ，求函数( )f x的凹凸性及渐近线. 19. 设函数(
7、 )f x满足 2 ( )1 6 f x dxxxc x ，L为曲线( )(49)yf xx. 记L的长 度为S，L绕x轴旋转的旋转曲面的面积为A，求S和A. 20. ( )(0)yy x x是微分方程 66xyy满足 310y的解. （1）求( )y x； （2） 设p为曲线( )y x上的一点， 记p处法线在y轴上的截距为 p I. p I最小时， 求p的 坐标. 21. 设D由曲线 2 2222 0,0 xyxyxy与x轴围城，求 D xydxdy . 2021研究生入学考试考研数学试卷（数学二） 3 22. 设矩阵 210 120 1 A ab 仅有两个不同特征值， 若A相似于对角矩阵
8、.求, a b.求逆矩阵p， 使得 1 P AP . 2021研究生入学考试考研数学试卷（数学二） 4 2 2021021 考研数学试卷考研数学试卷答案速查答案速查（数学（数学二二） 一、选择题 （1） （C） （2） （D） （3） （C） （4） （A） （5） （D） （6） （C） （7） （B） （8） （B） （9） （D） （10） （C） 二、填空题 （11） 1 ln3 （12） 2 3 （13）1 （14） 2 cos 2 （15） 1 2 123 33 cossin 22 x x yC eeCxCx （16）5 三、解答题 （17） 【解析】原式 2 0 0 1sin1
9、lim (1)sin x tx x x e dtxe ex （2 分） 2 0 00 sin sin1 limlim (1)sin(1)sin x t x xx xx xe dt xe exex （4 分） 2 222 0 2 00 1 () 11() 2 limlim x t xx xo xxxo x e dt xx （7 分） （9 分） 1 2 （10 分） （18） 【解析】 2 2 2 2 2 ,0 (1) ( )0,0 2 ,0 (1) xx x x fxx xx x x ， 3 3 2 ,0 (1) ( ) 2 ,0 (1) x x fx x x .（4 分） 凹区间：(, 1)
10、(0,) ； 凸区间：( 1,0)（6 分） 11 lim( )lim 1 xx x x f x x ，垂直渐近线：1x .（7 分） 2 22 2 00 1 () 2 limlim x xx xo x e x 2021研究生入学考试考研数学试卷（数学二） 5 2 + ( ) limlim1 (1) xx f xx xxx ， 22 + lim( )lim1 1 xx xxx f xx x ,（9 分） 2 ( ) limlim1 (1) xx f xx xxx ， 22 lim( )lim1 1 xx xxx f xx x ,（11 分） 斜渐近线：1yx和1yx .（12 分） （19）
11、【解析】等式左右两边对x求导， ( )1 1 3 f x x x ， 31 22 1 ( ) 3 f xxx（2 分） 长度 22 1111 999 2 2222 444 1111 1( )1 2222 sfx dxxxdxxxdx （5 分） 9 1131 9 2222 4 4 11122 2233 xxdxxx .（7 分） 面积 3111 99 2 2222 44 111 2( ) 1( )2 322 Af xfx dxxxxxdx （10 分） 9 9 232 4 4 1211425 1 33939 xxdxxxx .（12 分） （20） 【解析】 （1）求解微分方程： 66 yy
12、xx ， （1 分） 则： 66 666 66 1 dxdx xx yeedxCxx dxCCx xx ， （4 分） 且 310y，故： 6 1 ( )1 3 y xx，(0)x .（6 分） （2）设p点的坐标为：( , )x y ，法线： 1 () ( ) YyXx y x ， 过p点的法线方程为： 5 1 () 2 YyXx x ， （8 分） 0X 时， y轴上的截距： 6 44 111 1 223 p IYyx xx ， （9 分） 令 5 5 2 20 p Ix x ，得驻点：1x ，唯一的极值点为最值点， （11 分） 则 p I最小时，p的坐标为 4 (1, ) 3 .（12
13、 分） （21） 【解析】 cos2cos2 3 44 0000 cossincos sin D xydxdydrrrdrdr dr 2021研究生入学考试考研数学试卷（数学二） 6 （6 分） 22 44 00 11 cos sincos 2sin2cos 2 48 dd （9 分） . （12 分） （22） 【解析】 2 210 120() (2)1 =()(3)(1)=0 1 EAbb ab （2 分） （1）当1b 时， 123 1,=3，A相似于对角矩阵，则() 1r EA，1a （4 分） 110110 ()110000 10000 EA a ， 12 10 =1,= 0 01
14、110112 (3)110011 112000 EA ， 3 1 = 1 1 令可逆矩阵 123 (,)P ，使得 1 1 1 3 P AP .（7 分） （2）当3b 时， 123 3,=1，A相似于对角矩阵，则(3)1rEA，1a （9 分） 110110 (3)110000 10000 EA a ， 12 10 = 1 ,= 0 01 110112 ()110011 112000 EA ， 3 1 =1 1 令可逆矩阵 123 (,)P ，使得 1 3 3 1 P AP .（12 分） 4 23 4 0 0 111 cos 2cos2cos 2 164848 d 2021研究生入学考试考研数学试卷（数学二） 7
