第六章 平面向量及其应用1、平面向量的概念 - 1 -2、向量的加法运算 - 6 -3、向量的减法运算 - 11 -4、向量的数乘运算 - 17 -5、向量的数量积 - 22 -6、平面向量基本定理 - 27 -7、平面向量的正交分解及坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 - 34 -8、平面向量数乘运算的坐标表示 - 39 -9、平面向量数量积的坐标表示 - 44 -10、平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例 - 50 -11、余弦定理 - 56 -12、正弦定理 - 60 -13、正弦定理习题课 - 65 -14、余弦定理、正弦定理应用举例 - 69 -章末综合测验 - 78 -1、平面向量的概念一、选择题1．下列说法不正确的是( )A．向量的模是一个非负实数B．任何一个非零向量都可以平行移动C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同D [根据向量的有关概念易判断，D项错误．]2．下面几个命题：①若a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝0，则a＝0；③若|a|＝|b|，则a＝b；④若向量a，b满足则a＝b.其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3B [①正确．②错误．|a|＝0，则a＝0.③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．]3．在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是( )A．单位圆 B．一段弧C．线段 D．直线A [平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．]4.如图是34的格点图(每个小方格都是单位正方形)，若起点和终点都在方格的顶点处，则与平行且模为的向量共有( )A．12个 B．18个C．24个 D．36个C [每个正方形的边长为1，则对角线长为，每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量，一共有12个正方形，故共有24个所求向量．]5.如图所示，在正三角形ABC中，P，Q，R分别是AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量是( )A．与 B．与 C．与 D．与B [向量相等要求模相等，方向相同，因此与都是和相等的向量．]二、填空题6．已知D为平行四边形ABPC两条对角线的交点，则的值为________．1 [因为四边形ABPC是平行四边形，D为对角线BC与AP的交点，所以D为PA的中点，所以的值为1.]7．将向量用具有同一起点M的有向线段表示，当与是平行向量，且||＝2||＝2时，||＝________.3或1 [当与同向时，||＝||＋||＝3；当与反向时，||＝||－||＝1.]8．若a为任一非零向量，b为模为1的向量，下列各式：①|a|＞|b|；②a∥b；③|a|＞0；④|b|＝1.其中正确的是________(填序号)．③ [①错误，|a|＝时，|a|＜|b|；②错误，a与b的方向关系无法确定；③正确；④错误，|b|＝1.]三、解答题9.O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与，相等的向量；(2)找出与共线的向量；(3)找出与模相等的向量；(4)向量与是否相等？[解] (1)＝，＝.(2)与共线的向量有：，，.(3)与模相等的向量有：，，，，，，.(4)向量与不相等，因为它们的方向不相同．10．已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2 000 km到达B地，再从B地按南偏东30方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 000 km到达D地．画图表示向量，，，并指出向量的模和方向．[解] 以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系．据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量，，如图所示，由已知可得，△ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又∠ACD＝45，CD＝1 000 km，所以△ADC为等腰直角三角形，所以AD＝1 000 km，∠CAD＝45.故向量的模为1 000 km，方向为东南方向.11．(多选题)已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，下列关系中正确的是 ( )A．C⊆A B．A∩B＝{a}C．C⊆B D．(A∩B)⊇{a}ACD [因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量，所以B中的关系错误．]12．(多选题)四边形ABCD，CEFG，CGHD都是全等的菱形，HE与CG相交于点M，则下列关系一定成立的是( )A．||＝|| B．与共线C．与共线 D．与共线ABD [∵三个四边形都是菱形，∴||＝||，AB∥CD∥FH，故与共线．又三点D，C，E共线，∴与共线，故A，B，D都正确．故选ABD．]13.如图所示，已知四边形ABCD是矩形，O为对角线AC与BD的交点，设点集M＝{O，A，B，C，D}，向量的集合T＝{|P，Q∈M，且P，Q不重合}，则集合T有________个元素．12 [根据题意知，由点O，A，B，C，D可以构成20个向量．但它们有12个向量各不相等，由元素的互异性知T中有12个元素．]14．(一题两空)如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)与向量相等的向量有________；(2)若||＝3，则||＝________.(1)， (2)6 [(1)根据向量相等的定义以及四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，可知与向量相等的向量有，.(2)因为||＝3，||＝2||，所以||＝6.]15．在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD，AB的中点，如图所示．(1)写出与向量共线的向量；(2)求证：＝.[解] (1)与向量共线的向量有，，.(2)证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，因为E，F分别是CD，AB的中点，所以ED∥BF且ED＝BF，所以四边形BFDE是平行四边形，故＝.2、向量的加法运算一、选择题1．下列等式不正确的是( )①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；③＝＋＋.A．②③ B．② C．① D．③B [②错误，＋＝0，①③正确．]2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向( )A．与向量a方向相同 B．与向量a方向相反C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反A [因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．]3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示( )A．向东北方向航行2 kmB．向北偏东30方向航行2 kmC．向北偏东60方向航行2 kmD．向东北方向航行(1＋)kmB [＝a表示“向东航行1 km，＝b表示“向北航行 km”，根据三角形法则，∴＝a＋b，∵tan A＝，∴A＝60，且＝＝2(km)，∴a＋b表示向北偏东30方向航行2 km.]4.如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝( )A． B．C． D．C [设a＝＋，以OP，OQ为邻边作平行四边形(图略)，则夹在OP，OQ之间的对角线对应的向量即为向量a＝＋，则a与长度相等，方向相同，所以a＝.]5．a，b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( )A．a∥b，且a与b方向相同B．a，b是共线向量且方向相反C．a＝bD．a，b无论什么关系均可A [根据三角形法则可知，a∥b，且a与b方向相同．]二、填空题6．设a0，b0分别是a，b的单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.③ [单位向量不一定相等或相反，也不一定共线，但其模为1，故只有③正确．]7．(一题两空)如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________，＋＝________. (或) [利用三角形法则和平行四边形法则求解．]8.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于________．2 [正六边形ABCDEF中，＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝，∵||＝1，∴||＝2.]三、解答题9．如图所示，P，Q是△ABC的边BC上两点，且＋＝0.求证：＋＝＋.[证明] ∵＝＋，＝＋，∴＋＝＋＋＋.又∵＋＝0，∴＋＝＋.10．(多选题)若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则下列结论正确的是( )A．a∥b B．a＋b＝aC．a＋b＝b D．|a＋b|＜|a|＋|b|AC [∵a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即A对；0＋b＝b，即B错，C对；D中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即D错．故选AC．]11．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是( )A．正三角形 B．锐角三角形C．斜三角形 D．等腰直角三角形D [设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知|＋|＝2||，又|＋|＝，故||＝，又BO＝CO＝，所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．]12．(一题两空)如图所示，设O为正六边形ABCDEF的中心，则：(1)＋＝________；(2)＋＝________.(1) (2) [(1)由题图可知，四边形OABC为平行四边形．由向量加法的平行四边形法则，得＋＝.(2)由题图可知，＝＝＝，∴＋＝＋＝.]13．若P为△ABC的外心，且＋＝，则∠ACB＝________.120 [因为＋＝，则四边形APBC是平行四边形．又P为△ABC的外心，所以||＝||＝||.因此∠ACB＝120.]14.如图，已知向量a，b，c，d.(1)求作a＋b＋c＋d；(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．[解] (1)在平面内任取一点O，做＝a，＝b，＝c，＝d，则＝a＋b＋c＋d.(2)在平面内任取一点O，作＝a，＝e，则a＋e＝＋＝，因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，||即|a＋e|最大，最大值是3.3、向量的减法运算一、选择题1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )A．－＝0 B．－＝C．－＝ D．＋＝0C [因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，－＝0，－＝＋＝，－＝，＋＝＋＝0，故只有C错误．]2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于( )A．a＋b B．－a＋(－b)C．a－b D．b－aB [如图，∵＝＋＝a＋b，∴＝－＝－a－b.]3．已知非零向量a与b同向，则a－b( )A．必定与a同向B．必定与b同向C．必定与a是平行向量D．与b不可能是平行向量C [a－b必定与a是平行向量．]4．(多选题)下列各式中能化简为的是( )A．(－)－B．－(＋)C．－(＋)－(＋)D．－－＋ABC [选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0＝。
