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1、章末小结与提升类型1勾股定理典例1如图,已知ABD=C=90,AD=12,AC=BC,DAB=30.求BC的长.【解析】ABD=90,DAB=30,BD=12AD=1212=6.在RtABD中,AB2=AD2-BD2,AB=122-62=63.在ABC中,C=90,AC=BC,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即2BC2=AB2=108.BC=36.【针对训练】1.如图,P为等腰ABC内一点,过点P分别作三条边BC,CA,AB的垂线,垂足分别为D,E,F,已知AB=AC=10,BC=12,且PDPEPF=133,则AP的长为(B)A.43B.203C.7D.82.(绵阳中考)如图,沿AC
2、方向开山修建一条公路,为了加快施工进度,要在小山的另一边寻找点E同时施工,从AC上的一点B取ABD=150,沿BD的方向前进,取BDE=60,测得BD=520 m,BC=80 m,并且AC,BD和DE在同一平面内,那么公路CE段的长度为(C)A.180 mB.2603 mC.(2603-80) mD.(2602-80) m3.(荆州中考)九章算术中的“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去根六尺,问折高者几何?意思是:一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部6尺远,问折断处离地面的高度是多少?设折断处离地面的高度为x尺,则可列方程为(D)A.x
3、2-6=(10-x)2B.x2-62=(10-x)2C.x2+6=(10-x)2D.x2+62=(10-x)24.(陕西中考)如图,将两个大小、形状完全相同的ABC和ABC拼在一起,其中点A与点A重合,点C落在边AB上,连接BC.若ACB=ACB=90,AC=BC=3,则BC的长为(A)A.33B.6C.32D.215.如图,ABC中,AB=AC=20,BC=32,D是BC上一点,AD=15,且ADAC,求BD长.解:ADAC,AC=20,AD=15,CD=202+152=25,BD=BC-CD=32-25=7.类型2勾股定理的逆定理典例2在ABC中,a=2n2+2n,b=2n+1,c=2n2
4、+2n+1(n0)为三边,这个三角形是直角三角形吗?【解析】c-a=(2n2+2n+1)-(2n2+2n)=10,c-b=(2n2+2n+1)-(2n+1)=2n20,c边为三角形的最大边,又c2=(2n2+2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,a2+b2=(2n2+2n)2+(2n+1)2=4n4+8n3+8n2+1,a2+b2=c2.根据勾股定理的逆定理可知,ABC为直角三角形.【针对训练】1.在ABC中,a=3,b=7,c2=58,则SABC=10.5.2.已知在ABC中,ADBC于点D,若AB=13,AC=8,则BD2-DC2=105.3.如图,在ABC中,D为边BC的中点,AB=
5、5,AD=6,AC=13.求证:ABAD.解:延长AD至点E,使DE=AD,连接CE,BE.D为BC的中点,CD=BD.又AD=DE,ADC=BDE,ADCEDB,BE=AC=13.在ABE中,AE=2AD=12,AE2+AB2=122+52=169.又BE2=132=169,AE2+AB2=BE2,ABE是直角三角形,且BAE=90,即ABAD.类型3逆命题与逆定理典例3写出下列各命题的逆命题,并判断逆命题的真假.(1)如果a,b都是无理数,那么ab也是无理数;(2)三边分别相等的两个三角形全等.【解析】(1)逆命题:如果ab是无理数,那么a,b都是无理数,此命题是假命题.(2)逆命题:如果
6、两个三角形全等,那么它们的对应边分别相等,此命题是真命题.【针对训练】1.下列命题:若ba1,则ab;若a+b=0,则|a|=|b|;等边三角形的三个内角都相等;底角相等的两个等腰三角形全等.其中原命题与逆命题均为真命题的有(A)A.1个B.2个C.3个D.4个2.命题:“若a=b,则a2=b2”,写出它的逆命题:若a2=b2,则a=b.3.说出定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题并证明这个逆命题是真命题.【解析】“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上”.此逆命题为真命题.已知:如图,CA=CB.求证:点C在线段AB的垂直平分线上.证明:解:作CDAB,ADC=BDC=90,在RtADC和RtBDC中,CD=CD,AC=BC,RtADCRtBDC,AD=BD,CD垂直平分AB,即点C在线段AB的垂直平分线上.
