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1、1,王克协 郭 立 吉林大学物理学院 2003年8月,以引入非线性动力学与混沌理论为切入点，用当代的观点和方法进行理论力学教学内容与体系的改革 理论力学教学改革的实践与体会,2,主要内容,一、现状与教改的出发点 二、改革内容与主要情况 三、难点与措施 四、收获和问题 五、教学改革引出的思考,3,现状与教改的出发点,理论力学是物理专业四大力学之一，在物理专业基础理论教学中的地位和重要性应当是公认的。但从多年教学安排的演变看该课的地位和作用似乎模糊。 五、六十年代两学期课八、九十年代60学时，甚至更少 教本由大部头变成简明教程 内容一压再压，分析力学比例越来越低 甚至有的物理类专业将该课一度取消,
2、4,由于学科的发展，物理专业增加一些新课（如计算机课），调整各课学时是正常的。但这其中是不也有个“理论力学”课在物理专业中的地位和作用究竟有多大的问题。 （现代高科技依赖于近代物理，讲授经典物理的力学是否要花那么多学时？甚至要不要设置的问题。）,现状与教改的出发点,5,一般认为作为经典物理的力学理论是成熟的，教学内容是稳定的。只要按学时要求安排课程内容就是了，这里有两个问题： 即使是经典力学,其内容是不是也有个与时俱进的问题。 物理专业的理论力学课究竟重点应放在哪里，是否仍以牛顿力学的体系和框架为主？确实有个在物理教学中的定位问题。,现状与教改的出发点,6,内容和体系多年不变或变化不大，是课程
3、不被重视和自己也缺乏自信的自身原因。这种形势在学时一再减少的情况下更为明显。除了因数学基础提高而能解一些复杂的难题外，在理论体系上感到重复（所谓第四次循环）就不足为奇了。学生上课伊始对课程不重视是由来已久的。,现状与教改的出发点,7,八十年代以来我们就对理论力学的教学体系结构进行了改革。主要是把分析力学从传统教材和大纲的最后提到第四章，使学生尽快接触到分析力学。九十年代以来实现了大纲，教授的内容，教材，辅导书，习题和习题课内容的配套统一。学时保持在70学时左右。,现状与教改的出发点,8,非线性动力学和混沌理论是物理学、力学、数学和生物学等学科二十世纪最重要的成就之一，必将在21世纪的物理学和其
4、他学科中占据更为重要的地位。 将非线性力学及混沌理论的适当内容一定程度地引入大学物理教学与教材中，已是科学技术跨世纪发展的必然要求。,现状与教改的出发点,9,有的兄弟院校已经在普通物理到现代物理专题等不同层次的课程中进行了这种改革实践。赵凯华先生开辟了国内面向二十一世纪物理教学改革的先河（1993，现代物理知识；1995，新概念物理力学）。我们也是受到启发，开始了一轮理论力学教学内容改革的（刘秉正，1992）尝试。 非线性科学最基本的现象和规律均可从经典力学中引出，它的定量程度可以在理论力学教学的层次上解决。,现状与教改的出发点,10,我们从1997年就开始了将非线性动力学引入理论力学教学体系
5、的初步尝试，主要内容和目标是将非线性动力学（振动）包括混沌的概念和初步的定量描述纳入理论力学的教学内容和教学实践。形成理科物理专业理论力学有机组成部分的新的一章。1999年起先后被列为理科基地创建名牌课项目和学校的精品课项目，进一步推动了这项改革的进行。目前已经进行了六轮教学实践。,现状与教改的出发点,11,改革内容与主要情况,在总学时不变的情况下，要增加非线性动力学（振动）为独立的一章（第七章），必须删减其他部分内容。 我们把与普通物理力学课程重复较多的内容（质点和质点组动力学、相对运动、刚体运动学和刚体平面运动）作了较大的删减（23学时12学时）。,12,非线性动力学与混沌一章主要包括六部
6、分内容：非线性方程解的稳定性、定态、极限环、分岔；弱非线性振动、摄动方法；非线性强迫振动振幅破裂；阻尼单摆的强迫振动的数值解、倍周期分岔到混沌（及八种典型的非线性方程和映射的数值例子）；混沌的一般概念、特征和描述方法（分维、李雅普诺夫指数和费根鲍姆数）；及哈密顿系统的混沌。 针对非线性动力学没有合适的教材和参考书的情况，向学生提供了与讲课内容基本相符的系统讲稿打印件，弥补了对口资料的不足，配合了教学需要。新修订教材正在编写中。,改革内容与主要情况,13,适应非线性振动与混沌计算与动态演示的需要。自1997年起先后用TURBOC和Authorware5.0开发了单摆；Duffing方程；Logi
7、stic映射；Van der Por方程和Lorenz吸引子计算与动态演示课件，已成为完成教学要求必不可少的手段和环节。 突破学生只作有解析解的习题的传统，2001年学习北师大的作法开设了应用Matlab软件进行力学计算的计算机实验辅助课程。,改革内容与主要情况,14,难点与措施,在有限的10多个学时里并限于力学的例子，有一定理论深度（不是科普讲座）的讲授非线性动力学到混沌运动相关的新方法、新概念，难度甚大。短时间大量新方法、新概念，知识密度过大，学生很难承受，效果适得其反。我们采取了一些做法： 凡在前几章能引入讲授的都在前面进行，作好必要准备，并进行必要的重复。 （李雅普诺夫指数-耗散系统相
8、体积的演化）,15,恰当的选择例子是解释概念又可以节省学时的可行方法。例如用一个典型的解析模型可以同时把定态、极限环、分岔、硬激励、软激励等概念简捷地解释清楚。 （极限环与分岔的数学模型） 利用现代手段演示和说明一些理解起来较困难的现象和概念。特别是那些通过解析的手段不能演绎的物理内容。明显节省学时，这方面有继续开发的空间。,难点与措施,16,收获和问题,突破只求解析解的传统模式，开始介绍和讲授近似解和数值解，把物理规律的传授与计算机技术结合，开拓思路，面向实际。 用多媒体技术动态演示了初值敏感，极限环，分岔，以及倍周期分岔到混沌的过程，生动形象，印象深刻，概念解释直观，效果明显。 （阻尼单摆
9、的强迫震荡） （Duffing方程） （Henon-Heiles星体势模型） （单摆） （激励转子） （演示课件）,17,收获和问题,引入了一系列以往以线性动力学为主的教学体系中未遇到的新概念，新规律，开拓了新思路和新观念。 极限环、分岔、 分频、 组合频率。 决定系统的“随机现象”，初值敏感。 自相似，标度不变分数维。 （分维） （魔鬼阶梯）（动态演示）,18,明显的激发了学生的学习兴趣和对科学的探索精神，每一轮都是讲到这一部分时学生提问和讨论的最多也最积极。 经过六年不尽相同的实践，教学进行平稳，内容进一步充实，认识也不断深化。可以肯定这是物理专业（特别是面向基地班）理论力学课的一个可行模
10、式。 引入非线性的内容推动了对全课的改革和整合，特别是观念的变化，可能比多讲几个概念和公式更重要：,收获和问题,19,（1） 经典力学的创始人们把精力主要都集中在线性动力学和少数非线性可解问题上，所取得的巨大成功（如工程科学上）使人们无形中以为那些非线性问题可能不重要且很少。长期以来造成了误导，实际情况正好相反。非线性动力学的进展推动了我们的再认识。 （2）要研究哈密顿系统的混沌，自然要强化哈密顿力学的讲授，这要求我们在固定学时下把讲授的重点进一步移向分析力学，牛顿力学只能进一步压缩。无疑这推动了对全课的改革，并使该课的内容进一步与近代物理接轨。 （3）计算机的应用及数值计算，不只是去求那些无
11、解析解问题的数值解。同时也是发现新物理规律的手段。这也是以往所始料不及的。,收获和问题,20,2001年我们看到1998年英剑桥大学J.Jose的新书Classical Dynamics A contemporary approach内容和体系与我们作的在思路上基本一致。（Jose经典动力学目录） Marion的书再版（第四版目录）也引入混沌运动部分内容。说明这也是国外教学教材改革的潮流。,收获和问题,21,问题主要有： （1）全课（书）的整合还需进行细致的工作。在适合我国、我校物理本科教学要求的情况下使课程更协调适用。 这里还有个教师学习提高问题。（老路太熟悉了！） （2）即使采用Matla
12、b软件进行应用教学，学生仍存在精力和负担问题，基地班要好一些。我们已与学院研究，建议在统一的计算机课中增加Matlab的学习内容。,收获和问题,22,教学改革引出的思考,引入非线性动力学内容的改革，其意义已不限于增加了新内容本身，观念的变化和推动对全课的重新认识和定位可能更重要。有牵一发而动全身之效。这是新概念物理教学改革思路的体现和发展。,23,教学改革引出的思考,课程改革的思路是 以Lagrange力学和Hamilton力学为主线，牛顿力学基础内容保持最低，并作为进入分析力学的入口点，Hamilton力学适当加强，中心力、刚体和微振动辟专章，非线性振动和混沌设一章（耗散与保守体系的混沌，并
13、由此推动全课的改革。对称性要讲够，相图的运用，计算机数值解与新物理规律（*相对论？ *连续介质力学？）,24,是否理论、概念讲多了，而训练减少了（如作题）？ 观念、概念的重要性可能比多作几个题更重要，从学生的去向看，可能记住一些概念，多有一点科学思维和创新观念，比多做几个题更有用。（举例：对称性、相图、分形、自相似、混沌） （做题也没有实质性的减少）,教学改革引出的思考,25,是否过于难了？ 突破算术的和线性的思维方式。 突破对直观的思维加强抽象思维的能力。 （我校情况，从2001年起，吉大物理学院理论力学课改在大三第一学期上。普物力学大一第二学期上。对该课的讲授更有利。）,教学改革引出的思考
14、,26,面向培养跨学科、交叉学科和转学科人才的培养，理论力学课的内容应如何设置和改革。 对国内各类院校的物理专业是否也应如此改革的意见。（教师水平，新观念与创新思维与中学教学） （理论力学教学大纲-72学时） （理论力学教学大纲-64学时）,教学改革引出的思考,27,结束语,对经典力学教材体系和教学内容进行改革，我们所做的只是一种尝试，我们主张教学改革可以多种方式进行实践。愿与兄弟院校交流，向成功的经验学习。 非线性科学和混沌理论是正在发展的学科。科学概念上不妥之处请从事非线性科学研究的专家指正。,28,谢谢大家！,29,Duffing 方程,现取 =0.3, =1.2, f=0.31得,30
15、,位移x,位移x,时间T,dx/dt,红色线x(0)=2.000, dx/dt(0)=0.000,蓝色线x(0)=2.0001, dx/dt(0)=0.0001,31,位移x,时间T,dx/dt,位移x,红色线x(0)=2.00000, dx/dt(0)=0.00000,蓝色线x(0)=2.000001 dx/dt(0)=0.000001,32,耗散系统相体积的演化,解释初值敏感和奇怪吸引子要用到相体积的伸展与折叠，定量描述这一特征的量是李雅普诺夫指数，这要证明三维（以上）相体积 而 中要有正有负。讲混沌时专门解释或用初等的例子说明不严格，并且要花费一定学时。但只要在前面讲正则方程和刘维定理时
16、稍做改动就可以自然引出耗散系统相体积演化公式，概念的引入严格、定量，学时反而减少。 通常讲刘维定理，对相空间保守体系,33,其证明用到 过去教材都是代入保守体系的正则方程。实际上，对一力学体系，如果除保守力外还含非保守力，则正则方程应写为 其中 代表非保守力，代入前式后得出， 积分马上得到,34,容易证明，对保守力 对非保守力（如 ） 对高维耗散系统，自然导出指数形式 形式 其中 （i=1f）可正可负总和为正。,35,极限环与分岔,考虑一个数学例子：,用二维极坐标表示，作代换,得到,当 时有,方程有三个根：,，,36,，点是稳定定态（焦点）,（硬激励）,稳定定态（焦点）；,不稳定的极限环；,稳定的极限环。,黑洞,（软激励）,是稳定的极限环,不稳定的焦点,极限环,37,分岔,叉式分岔：定性举例，旋转单摆,霍普夫分岔：点到极限环的突变,稳定定态；,稳定极限环；,终态稳定点与初始条件有关（亚临界霍普夫分岔）。,倍周期分
