解析结构模型

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1、第三章 系统模型,系统模型概述,结构模型,层次分析法,模型概念及特征,系统模型的分类,建模原则及常用方法,结构模型概念及特征,解析结构模型的建立,应 用 案 例,设一个质量为m，长度为l的摆，其偏离中心线的角度为( 很小)， (t)st: 方程的解是以 为周期的简谐震动。,建立单摆简谐运动的类似模型,mg,l,L-C电路，电路中q(t)st: 解是以 为周期的简谐震动。 一一对应模拟。,C,L,L-C电路图,蒙特卡罗的特点是在所研究系统的模型中模拟随机事件，即对于所求的值应该设定什么样的概率过程为题进行求解的技术方法。,启发性思考法蒙特卡罗法计算值,1,1,在边长为1的的正方形中任意打N个点，

2、并将n个点置于扇形部分，如使点数N足够大，则认为近似等于正方形和扇形面积之比，即： N/n= 12/ (12 1/4) 即： 4n/N 与概率现象本身没有任何关系的问题，也可用概率的方法来解决，是一种“想法的转换”，即启发性思考方法。,第8节 结构模型（Structure Model）,在开发和改造一个系统时，首先需要了解系统中各要素间存在怎样的关系，即了解和掌握系统的结构，即建立系统的结构模型。 1 结构模型就是用有向连接图来描述系统各要素间的关系，以表示一个作为要素集合体的系统模型。,一结构模型的概念及性质,（1）结构模型是一种几何模型：节点表示系统的要素，有向边表示要素间的关系。 （2）

3、结构模型是以定性分析为主的模型。 （3）结构模型可以用矩阵形式描述，进行定性与定量分析。 结构模型的建模方法很多，其中一种为解析结构模型法（Interpret Structure Model）.,S3,2 基本性质,ISM是美国华费尔特教授于1973年作为分析复杂的社会经济系统有关问题而开发的一种方法。其特点是把复杂的系统分解为若干子系统或要素，利用人们的实践经验和知识，以及计算机的帮助，最终将系统构造成多级递阶的结构模型。ISM的程序为： 组织构造ISM小组（ 10人左右） 设定问题 选择系统要素，制定系统明细表。 构思有向图，建立连接矩阵和可达矩阵。 对可达矩阵进行分解，建立结构模型。 由

4、结构模型转化为解析结构模型。,3 解析结构模型,1有向连接图由若干节点和有向边连接而成的图象，即为节点和有向边的集合。表示为：G=S，E 2邻接矩阵A描述图中节点两两之间的直接关系。A中元素 3可达矩阵R用矩阵形式反映有向连接图各节点之间通过一定路径可以到达的程度。 Si经若干路径到达Sj 否则,二、解析结构模型的建立,可达矩阵=邻接矩阵A+单位矩阵I，并经过一定的运算后求得。 即有 A1 =A+I 再设 A2 =(A+I)2 (用布尔代数运算规则) 一般地，通过依此运算后，可得： A1 A2 An-1 =An 则有R= An-1 =(A+I)n-1 R-可达矩阵，它表明各节点间经过长度不大于

5、(n-1)条通道可以到达的程度。对于节点数n为个的图，最长的通路长度肯定不超过(n-1).,例：现有如下图所示7个要素组成的系统，试建立它的关系，并求邻接矩阵和可达矩阵。,有向连接图,由此可得邻接矩阵A,A的元素全为零的行所对应的节点为汇点。 A的元素全为零的列所对应的节点为源泉。 对应每一节点的行中元素值为1的数量，是离开该节点的有向边数。 对应每一节点的列中元素值为1的数量，是进入该节点的有向边数。,矩阵A的特性,建立可达矩阵R。经计算后得： (A+I)1 (A+I)2 = (A+I)3 R= (A+I)2,#布尔代数运算规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1， 0 0 =0

6、，0 1 =0，1 0 =0， 1 1=1,4 可达矩阵的分解（建立ISM模型),区域分解1(S)将要素分成区域，不同区域的要素相互间是没有关系的。 首先将R中的元素划分为可达集和先行集 （1）要素Si的可达集R(Si)R中第Si行矩阵元素为1对应的列要素的集合。即： (N为节点集合，rij=1表示 Si 与Sj关联),区域分解,（2）要素Sj的先行集A(Sj)R中第Sj 列矩阵元素为1所对应的行要素的集合。即： （3）共同集合T可达集R(Si)与先行集A(Sj)的交集等于先行集A(Sj)的要素集合，即：,（4）确立不同区域 任取属于共同集的两要素Su ,Sv， 若 ， 则Su ,Sv属同一区

7、域； 若 ，则Su ,Sv属于不同区域。 这样运算后的集合称区域分解，可写成：其中M为区域数。,级间分解2 (P)将系统中的所有要素，以可达矩阵为准则划分不同层次。 在一个多级结构中，它的最上层要素Si的R(Si)，只能由Si自身和Si的强连通要素组成；同时Si的先行集只能由由Si自身和结构中的下一级可能到达的要素以及Si的强连通要素组成。若Si是最上层单元，需满足： 找出最高一级要素后，将其从可达矩阵中划去相应的行与列，在从剩下的可达矩阵中寻找新的最高级要素，依此类推。,级间分解,级间划分可用下式表示： ，其中K为级次 若定义：L0 =，则： 其中： 分别是由 要素组成的子图求得的可达集和先

8、行集。 强连通划分3(L)：级间分解后，每级要素中可能有强连通要素，一般构成一个回路，只需选择一个要素即可。,强连通划分,接例 可达矩阵分解（区域划分）,因为：R(3) A(7)=，则S3，S7分属不同区域，所以，区域划分为：,因为：S1，S5满足： 所以， S1，S5分属两区域的最高层次。 即； L1 =S1，S5 再有N-L0 L1进行第二级分解。,接例 可达矩阵分解（级间分解）,该表的最高级，即为可达矩阵的第二级要素L2=2,4,6,由N-L0-L1-L2,得：,该表的最高级，即为可达矩阵的第三级要素为：L3=3,7 这样，经过三级划分，将R中的7个单元划分成三层次，即2(P)=L1，L

9、2，L3,(强连通划分),4，6 属强连通块。,作出递阶有向图（层次结构图）,案例：人口系统影响总人口增长问题,新中国成立以来，人们的期望寿命有了较大提高，相对死亡率降低了，国民收入的不断增长，生活水平不断提高，计划生育政策贯彻不力等等，导致我国人口速度增长过快。为此，成立了各方面人员参加的研究小组对人口增长问题进行了研究，主要任务为： 应用ISM讨论和确定我国总人口增长的影响因素； 根据经验和对话建立可达矩阵，解析结构模型； 通过模型中各因素分析，为制定有关人口政策、控制人口等政策提供依据。 经ISM小组讨论后，认为主要影响因素有11个，并经多次讨论后确定它们之间的关系。,三、解析结构模型的

10、应用,S1期望寿命,S2保健水平,S3生育能力,S4计生政策,S5思想风格,S6营养,S7环境污染,S8国民收入,S9国民素质,S10出生率,S11死亡率,S12总人口,： Si 与Sj互有关系；：Sj与Si有关系； ： Si 与Sj有关系,根据以上对话过程，建立可达矩阵,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,1,11,12 1,2,3,11,12 3,10,12 4,10,12 1,3,6,10,11,12 1,7,11,12 1,3,4,8,10,11,12 4,9,10,12 10,12 11,12 12,1,2,6,7,8 2 2,3,6,8 4,8,9 6 7 8 9

11、 3,4,6,8,9,10 1,2,6,7,8,10 1-12,1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12,I=j,R(Si),A(Sj),R(Si) A(Sj),R(2)R(6)R(7)R(8)R(9) 共同集合不存在空集，所以没有区域之分。 首先找出R（12）= R（12） A（12） 所以第一层次为要素12 第二层次为要素10，11 第三层次为要素1，3，4 第四层次为要素2，6，7，8，9,总人口,出生率,死亡率,生育能力,思想风俗,期望寿命,计生政策,保健水平,营养水平,国民收入,环境污染,国民素质,人口系统解析结构模型,已知可达矩阵M，试用规范方法建立其递阶结构模型。,*

12、,29,（三）建立递阶结构模型的规范方法,建立反映系统问题要素间层次关系的递阶结构模型，可在可达矩阵M的基础上进行，一般要经过区域划分、级位划分、骨架矩阵提取和多级递阶有向图绘制等四个阶段。这是建立递阶结构模型的基本方法。 现以例3.8.3所示问题为例说明： 与图3.8.3对应的可达矩阵（其中将Si简记为i）为：,*,30,例3.8.3 某系统由七个要素（S1，S2，S7）组成。经过两两判断认为：S2影响S1、S3影响S4、S4影响S5、S7影响S2、S4和S6相互影响。这样，该系统的基本结构可用要素集合S和二元关系集合Rb来表达，其中： S = S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7 Rb

13、 = （S2，S1），（S3，S4），（S4，S5）， （S7，S2），（S4，S6），（S6，S4）,*,31,1 2 3 4 5 6 7,1 2 3 4 5 6 7,M =,*,32,1.区域划分,区域划分即将系统的构成要素集合S，分割成关于给定二元关系R的相互独立的区域的过程。 首先以可达矩阵M为基础，划分与要素Si（i = 1，2，n）相关联的系统要素的类型，并找出在整个系统（所有要素集合S）中有明显特征的要素。 有关要素集合的定义如下：,.,*,33,可达集R（Si）。系统要素Si的可达集是在可达矩阵或有向图中由Si可到达的诸要素所构成的集合，记为R（Si）。其定义式为： R（Si）

14、= Sj | SjS，mij = 1，j = 1，2，n i = 1，2，n 先行集A（Si）。系统要素Si的先行集是在可达矩阵或有向图中可到达Si的诸要素所构成的集合，记为A（Si）。其定义式为： A（Si）= Sj | SjS，mji = 1，j = 1，2，n i = 1，2，n 共同集C （Si）。系统要素Si 的共同集是Si在可达集和先行集的共同部分，即交集，记为C （Si） 。其定义式为： C（Si）= Sj | SjS，mij = 1， mji = 1， j = 1，2，n i = 1，2，n,*,34,系统要素Si的可达集R（Si） 、先行集A（Si） 、共同集C （Si）之间

15、的关系如图4-7所示：,图4-7 可达集、先行集、共同集关系示意图,Si,A（Si）,C （Si）,R（Si）,.,*,35,起始集B（S）和终止集E（S）。系统要素集合S的起始集是在S中只影响（到达）其他要素而不受其他要素影响（不被其他要素到达）的要素所构成的集合，记为B（S）。 B（S）中的要素在有向图中只有箭线流出，而无箭线流入，是系统的输入要素。其定义式为： B（S）= Si | Si S， C（Si）= B（Si） ， i= 1，2，n 如在于图4-5所对应的可达矩阵中， B（S）=S3，S7。 当Si为S的起始集（终止集）要素时，相当于使图4-7中的阴影部分C（Si）覆盖到了整个 A（Si）（ R（Si）区域。 这样，要区分系统要素集合S是否可分割，只要研究系统起始集B（S）中的要素及其可达集（或系统终止集E（Si）中的要素及其先行集要素 ）能否分割（是否相对独立）就行了。,*,36,利用起始集B（S）判断区域能否划分的规则如下： 在B（S）中任取两个要素bu、bv： 如果R（bu） R（bv）（为空集），则bu、bv及R（bu）、 R（bv）中的要素属同一区域。若对所有u和v均有此结果（均不为空集），则区域不可分。 如果R（bu） R（bv）=，则bu、bv及R（bu）、 R（bv）