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1、高斯克吕格投影高斯平面坐标系与大地坐标系的关系（1）,测绘学院一系大地测量教研室,大地测量学基础（FOUNDATION OF GEODESY）,上节课内容回顾,椭球面到平面的长度比在什么方向取极值？,长度比？,最大角度变形？,子午方向和卯酉方向,正形投影的特点？,什么是等量纬度？为什么引入？,长度比m与方向无关但随点位的变化而变,等量坐标可将椭球面划分为无穷小的正方形,上节课内容回顾,柯西黎曼微分方程,充分必要条件,上节课内容回顾,高斯克吕格投影Gauss-Kruger Projection,1、高斯克吕格投影的概念 Concept of Gauss-Kruger Projection 2、高
2、斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection 3、高斯平面直角坐标 Gauss Plane Rectangular Coordinate,1、高斯克吕格投影的概念 Concept of Gauss-Kruger Projection,高斯投影产生的背景,高斯克吕格投影也称等角横切椭圆柱投影，它可看作是等角圆柱投影（墨卡托投影，1569）的一种，它由德国科学家高斯处理三角测量成果时首先提出，后经克吕格完善（1919） ，我国于1952年起正式采用高斯克吕格投影。,四个世纪以来，世界各国都用墨卡托投影作为海图的数学基础。当代常用于较大比例尺分幅海图或赤道附近的航
3、空图。,纬线投影为平行直线，经线投影为与纬线垂直而且间隔相等的平行直线，两经线间的距离与相应的经差成正比。,c=R切圆柱投影,如为椭球呢？,N,S,c,中央,子,午线,赤道, 高斯投影的几何概念等角横切椭圆柱投影, 高斯投影的几何概念等角横切椭圆柱投影,高斯投影的条件,1）正形条件；,1、高斯克吕格投影的概念 Concept of Gauss-Kruger Projection,高斯投影平面,赤道,中央子午线,2）中央子午线投影为一直线；,3）中央子午线投影后长度不变。, 通用横轴墨卡托投影等角横割椭圆柱投影 Universal Transverse Mercator (UTM),美国军事测绘
4、局1938年提出，目前，美国、德国等60多个国家以此投影作为国家基本地形图的数学基础，由于各国采用的地球椭球体的不同而存在差异，它的投影条件为：,1）正形条件； 2）中央子午线投影为一直线； 3）中央子午线投影后长度比等于0.9996。, UTM,两条无长度变形的割线的位置距中央经线以东以西各180km，相当于经差约 140。,长度比0.9996的选择可以使6带的中央经线与边缘经线的长度变形的绝对值大致相等；,分带的原因和原则,原因：有效的控制长度变形,原则：从限制长度变形这个角度来考虑，分带越多越好；为了减少换带计算及在换带计算中引起的计算误差，则又要求分带不宜过多。实际分带时，应当兼顾上述
5、两方面的要求。,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection,实施：我国投影分带主要有六度带和三度带两种分带方法。六度带可用于中小比例尺（1:2.5万1:50万）测图，三度带可用于大比例尺（1:1万以上）测图。,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection,1978年我国制定的1:100万地形图编绘规范规定我国1:100万地形图投影采用边纬线和中纬线变形绝对值相等的等角割圆锥投影，投影带的划分与国际百万分之一地图的分幅一致。,1962年联合国波恩会议建议采用等角圆锥投影作为1:100万地图的数学基础。,1949
6、年以后我国出版的一些挂图和地图集中常使用等面积割圆柱投影。,分带的方法,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection,3带的中央子午线与6带中央子午线及分带子午线重合, 分带的方法,3、高斯平面直角坐标系 Gauss Plane Rectangular Coordinate,新疆帕米尔高原乌兹别里山口附近（7340）,黑龙江省抚远县乌苏里江汇合处（1350230）,黑龙江省漠河镇以北的黑龙江江心（533110）,南海南沙群岛的曾母暗沙（352）,612230,分带的方法,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projecti
7、on,分带的方法,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection,1) 6带划分 (n为带号 ),6带中央子午线的经度计算公式,已知6带中央子午线的经度反算带号,计算任意经度所在投影带的带号公式,分带的方法,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection,2) 3带划分 (n为带号 ),3带中央子午线的经度计算公式,已知3带中央子午线的经度反算带号,计算任意经度所在投影带的带号公式, UTM分带的方法,UTM的分带是从经度180起向东每6为一带，即与国际百万分之一地形图的划分一致；,UTM每带投影范围限制在北纬84
8、至南纬80，两极地区采用通用极球面（ UPS ）系。,高斯投影第一带（06E）为UTM投影第31带，UTM第一带（180174W）是高斯投影第31带；, UTM分带的方法,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection, 投影带的重迭高斯投影,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection,15和30 分别相当于1:5万和1:10万图幅的经幅；,2、高斯投影的分带 Zone-dividing of Gauss Projection,两带坐标重叠40km相当于的经差22。,投影带的重迭UTM投影,定义,y,x,o,3
9、、高斯平面直角坐标系 Gauss Plane Rectangular Coordinate System,纵坐标轴x：中央子午线的投影线；,原点o：中央子午线与赤道的交点的投影点；,横坐标轴y：赤道的投影线；,自然坐标与通用坐标,O,A,B,xA,yA,xB,yB,x(N),中央子午线投影,500km,yA,yB, 自然坐标与通用坐标,3、高斯平面直角坐标系 Gauss Plane Rectangular Coordinate,高斯平面坐标系与大地坐标系的关系Relation between Gauss Plane Coordinate System and Geodetic Coordina
10、te System,1、高斯投影正算公式 Direct Solution of Gauss Projection 2、高斯投影反算公式 Inverse Solution of Gauss Projection 3、高斯坐标的临带换算 Zone Conversion in the Gauss Projection, 公式推导,投影方程,求F1，F2，f1，f2的具体形式,方法：级数展开，应用高斯投影三个条件，待定系数法求解,展开点：底点P0（B， 0） 已知l，B，X，求x，y,X,P,P0,y,x,x,y,o,1、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of G
11、auss Projection,展开条件：经差 l 不大，在03.5（0.061rad）以内，展开后的形式（ l的幂级数 ） ：,由于展开点为P0（B， 0），则式中待定系数是等量纬度q（或大地纬度B）的函数,级数展开,1、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of Gauss Projection, 公式推导,b) 求待定系数,对级数展开式求偏导数,对x,对y, 公式推导,1、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of Gauss Projection,引入高斯投影的三个条件,A. 正形条件,b) 求待定系数, 公式推导,1
12、、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of Gauss Projection,B. 中央子午线投影后为纵坐标轴,即l=0时y=0。代入投影方程：,得,1、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of Gauss Projection,引入高斯投影的三个条件,求待定系数, 公式推导,B. 中央子午线投影后为纵坐标轴,投影方程简化为：,高斯投影在中央子午线东西两侧的投影是对称于中央子午线的。,1、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of Gauss Projection,引入高斯投影的三个条件,
13、求待定系数, 公式推导,C. 中央子午线投影后长度不变形投影后的纵坐标x等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X。,即l=0时x=X。代入投影方程：,得,1、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of Gauss Projection,引入高斯投影的三个条件,求待定系数, 公式推导,求待定系数, 公式推导,椭球参数和定位相同, 公式推导,求待定系数,代入投影方程：, 公式推导,椭球参数和定位相同,正算公式的具体形式,精度 0.m1, 公式推导,精度0.m001,1、高斯投影正算公式 (L，B -x，y) Direct Solution of Gauss Projection,高斯投影正算公式的作用：,参考椭球,高斯平面,课堂练习：推导m6。, 公式推导,内容小结,投影条件 分带的原因、方法 投影带重叠的原则 高斯平面自然坐标与通用坐标的互算 高斯投影正算公式的推导 高斯投影正算与UTM正算的关系,作 业,1、试推导等角椭圆柱墨卡托投影的公式； 2、试推导n7和m8的表达式； 3、计算实习：高斯投影正算。,本节课到此结束,下 课！,选择=结果,汇报结束 谢谢观看！ 欢迎提出您的宝贵意见！,
