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1、最新海量高中、初中教学资料尽在金锄头文库【三维设计】2015年高中数学 第二章 推理与证明学案 新人教 情推理归纳推理提出问题如图(甲)是第七届国际数学教育大会(简称 )的会徽图案，会徽的主体图案是由如图(乙)的一连串直角三角形演化而成的，其中 1 2A 7，如果把图(乙)中的直角三角形依此规律继续作下去，记 A 2，OA a n，问题 1：试计算 a1，a 2，a 3，a 4的值提示：由图知：a 11，A 2 ，2 12 2A 3 ， 2 2 12 3A 4 3 2 12 4问题 2：由问题 1中的结果，你能猜想出数列a n的通项公式 示：能猜想出 (nN *)：直角三角形、等腰三角形、等边
2、三角形的内角和都是 180，你能猜想出什么结论？提示：所有三角形的内角和都是 180：以上两个推理有什么共同特点？提示：都是由个别事实推出一般结论导入新知1归纳推理的定义由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理2归纳推理的特征最新海量高中、初中教学资料尽在金锄头文库归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理化解疑难归纳推理的特点(1)由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否正确，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，归纳推理不能作为数学证明的工具；(2)一般地，如果归纳的个别对象越多，越具有代表性，出问题问题
3、 1：在三角形中，任意两边之和大于第三边，那么，在四面体中，各个面的面积之间有什么关系？提示：四面体中任意三个面的面积之和大于第四个面的面积问题 2：三角形的面积等于底边与高乘积的 ，那么在四面体中，如何表示四面体的体12积？提示：四面体的体积等于底面积与高乘积的 ：以上两个推理有什么共同特点？提示：根据三角形的特征，推出四面体的特征问题 4：以上两个推理是归纳推理吗？提示：不是归纳推理是从特殊到一般的推理，而以上两个推理是从特殊到特殊的推理导入新知1类比推理的定义由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理2类比推理的特征类比推理是
4、由特殊到特殊的推理化解疑难对类比推理的定义的理解(1)类比推理是两类对象特征之间的推理(2)对象的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互联系和相互制约的，如果两个对象有些性质相似或相同，那么它们另一些性质也可能相似或相同(3)在数学中，我们可以由已经解决的问题和已经获得的知识出发，通过类比提出新问最新海量高中、初中教学资料尽在金锄头文库题和获得新发现数、式中的归纳推理例 1已知数列 前 n， ，且 2 an(n2)，计算23 1猜想 解当 n1 时， ；23当 n2 时， 2 ，所以 ；13 34当 n3 时， 2 ，所以 ；14 45当 n4 时， 2 ，所以 5 56猜想： ， nN *1
5、n 2类题通法归纳推理的一般步骤归纳推理的思维过程大致是：实验、观察概括、推广猜测一般性结论该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想)活学活用将全体正整数排成一个三角形数阵：12345678910按照以上排列的规律，求第 n3)从左向右数第 3个数解：前( n1)行共有正整数12( n1)个，即 个，因此第 个数，即为 .( 3) n 62最新海量高中、初中教学资料尽在金锄头文库图形中的归纳推理例 2(1)有两种花色的正六边形地面砖，按下图的规律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A26 B3
6、1C32 D36(2)把 1,3,6,10,15,21，这些数叫做三角形数，这是因为个数等于这些数目的点可以分别排成一个正三角形(如图)，试求第七个三角形数是_解析(1)选 B法一：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案 1 2 3 个数 6 11 16 由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以 6为首项，以 5为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是 65(61)图案的排列规律可知，除第一块无纹正六边形需 6个有纹正六边形围绕(图案1)外，每增加一块无纹正六边形，只需增加 5块菱形纹正六边形(每两块相邻的无纹正六边形之间有一块“公共”的菱形纹正六边形)，故第六个图案
7、中有菱形纹的正六边形的个数为：65(61).(2)第七个三角形数为 123456728.答案(1)B(2)28类题通法解决图形中归纳推理的方法解决与图形有关的归纳推理问题常从以下两个方面着手：(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系(2)从图形的结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化活学活用如图，第 n2 边形“扩展”而来( n1,2,3，)，则第 )最新海量高中、初中教学资料尽在金锄头文库A( n1)( n2) B( n2)( n3)C D B第一个图形共有 1234 个顶点，第二个图形共有 2045 个顶点，第三个图形共有 3056
8、 个顶点，第四个图形共有 4267 个顶点，故第 n2)( n3) 3设等差数列 前 n，则 比以上结论有：设等比数列 前 n，则 _，_，成等比数列析由于等差数列与等比数列具有类比性，且等差数列与和差有关，等比数列与积商有关，因此当等差数列依次每 4项之和仍成等差数列时，类比等比数列为依次每 4项的积的商成等比数列下面证明该结论的正确性：设等比数列 公比为 q，首项为 b b 7 b 1 81 81b 11 b 2 12b 15 b 6 16 b b b 81 1 1即 2 2 ，(164， ， ， 成等比数列16案 12题通法类比推理的一般步骤类比推理的思维过程大致是：观察、比较联想、类推
9、猜测新的结论该过程包括两个步骤：(1)找出两类对象之间的相似性或一致性；(2)用一类对象的性质去猜测另一类对象的性质，得出一个明确的命题(猜想)活学活用已知椭圆具有以下性质：已知 M， 上关于原点对称的两个点，点 中教学资料尽在金锄头文库任意一点，若直线 记为 么 的位置无关的定值试对双曲线 1( a0， b0)写出类似的性质，并加以证明似的性质为：已知 M， 1( a0， b0)上关于原点对称的两 直线 记为 么 的位置无关的定值证明如下：设点 M， m， n)，( x， y)，则 m， n)点 M(m， n)在已知双曲线 1 上， 1，得 b2， ( y m y m (定值)m2 的位置无
10、关的定值 面 到 空 间 的 类 比典例三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质，并填写下表：三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形和四面体分别是平面图形和空间图形，三角形的边对应
11、四面体的面，即最新海量高中、初中教学资料尽在金锄头文库平面的线类比到空间为面三角形的中位线对应四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)，三角形的内角对应四面体的二面角，三角形的内切圆对应四面体的内切球具体见下表：三角形 四面体三角形的两边之和大于第三边四面体的三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面的面积等于第四个面的面积的 ，且平行于第四个面14三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心多维探究1解决此类问题，从几何元素的数目、位置关系、度量等方面入手，将平面几何的相关结论类比到立体几何中，相关类比点如下：平面图形点 线 边长 面积 线线角 三角形平行四边形圆空间图形线 面 面积 体积 二面角 四面体 六面体 球2常见的从平面到空间的类比有以下几种情况，要注意掌握：(1)三角形类比到三棱锥：例：在平面几何里，有勾股定理：“设 B， 拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积与底面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 A_”解析：“直角三角形的直角边长、斜边长”类比为“直角三棱锥的侧面积、底面积” 答案： S S S )平行四边形类比到平行六面体：例：平面几何中，有结论：“平行四边形两条对角
