数 学M单元 推理与证明 M1 合情推理与演绎推理M2 直接证明与间接证明23．D5，M2[2016上海卷] 若无穷数列{an}满足：只要ap＝aq(p，q∈N*)，必有ap＋1＝aq＋1，则称{an}具有性质P.(1)若{an}具有性质P，且a1＝1，a2＝2，a4＝3，a5＝2，a6＋a7＋a8＝21，求a3；(2)若无穷数列{bn}是等差数列，无穷数列{cn}是公比为正数的等比数列，b1＝c5＝1，b5＝c1＝81，an＝bn＋cn，判断{an}是否具有性质P，并说明理由；(3)设{bn}是无穷数列，已知an＋1＝bn＋sin an(n∈N*)，求证：“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．23．解：(1)因为a5＝a2，所以a6＝a3，a7＝a4＝3，a8＝a5＝2，于是a6＋a7＋a8＝a3＋3＋2.又因为a6＋a7＋a8＝21，所以a3＝16.(2){bn}的公差为20，{cn}的公比为，所以bn＝1＋20(n－1)＝20n－19，cn＝81()n－1＝35－n，an＝bn＋cn＝20n－19＋35－n.a1＝a5＝82，但a2＝48，a6＝，a2≠a6，所以{an}不具有性质P.(3)证明：充分性：当{bn}为常数列时，an＋1＝b1＋sin an.对任意给定的a1，若ap＝aq，则b1＋sin ap＝b1＋sin aq，即ap＋1＝aq＋1，充分性得证．必要性：用反证法证明．假设{bn}不是常数列，则存在k∈N*，使得b1＝b2＝…＝bk＝b，而bk＋1≠b.下面证明存在满足an＋1＝bn＋sin an的{an}，使得a1＝a2＝…＝ak＋1，但ak＋2≠ak＋1.设f(x)＝x－sin x－b，取m∈N*，使得mπ>|b|，则f(mπ)＝mπ－b>0，f(－mπ)＝－mπ－b<0，故存在c使得f(c)＝0.取a1＝c，因为an＋1＝b＋sin an(1≤n≤k)，所以a2＝b＋sin c＝c＝a1，依此类推，得a1＝a2＝…＝ak＋1＝c.但ak＋2＝bk＋1＋sin ak＋1＝bk＋1＋sin c≠b＋sin c，即ak＋2≠ak＋1.所以{an}不具有性质P，矛盾．必要性得证．综上，“对任意a1，{an}都具有性质P”的充要条件为“{bn}是常数列”．M3 数学归纳法 M4 单元综合3．[2016福州质检] 观察等式：＝，＝1，＝.照此规律，对于一般的角α，β，有等式________________________________________________________________________．3.＝tan [解析] 等式中左端三角函数式中两角之和的一半的正切值恰好等于右端的数值，故＝tan.4．[2016达州诊断] 已知若9＋＝92(a，b均为正整数)，则a＋b＝________．4．89 [解析] 由已知等式可归纳出n＋＝n2，故在9＋＝92中，b＝9，a＝92－1＝80，所以a＋b＝89.。
