1 变化的快慢与变化率[学习目标]1．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念．2．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度．[知识链接]很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)＝，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)－r(0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L)．(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)－r(1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了．[预习导引]1．函数的平均变化率对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为.2．函数的瞬时变化率对于一般的函数y＝f(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化率为＝＝；当Δx趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率．3．平均变化率与瞬时变化率的特点平均变化率用来刻画函数值在某个范围内变化的快慢，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢． 要点一 求平均变化率例1 已知函数h(x)＝－4.9x2＋6.5x＋10.(1)计算从x＝1到x＝1＋Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)根据(1)中的计算，当|Δx|越来越小时，函数h(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？解 (1)∵Δy＝h(1＋Δx)－h(1)＝－4.9(Δx)2－3.3Δx，∴＝－4.9Δx－3.3.①当Δx＝2时，＝－4.9Δx－3.3＝－13.1；②当Δx＝1时，＝－4.9Δx－3.3＝－8.2；③当Δx＝0.1时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.79；④当Δx＝0.01时，＝－4.9Δx－3.3＝－3.349.(2)当|Δx|越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3.规律方法 求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率＝.跟踪演练1 求函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率，并求当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值．解 函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为62＋30.1＝12.3.要点二 求瞬时变化率例2 已知函数f(x)＝2x2＋1.(1)求函数f(x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率；(2)求函数f(x)在区间[2,2.01]上的平均变化率；(3)求函数f(x)在x＝2处的瞬时变化率．解 (1)由已知∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1＝2Δx(2x0＋Δx)，∴＝＝4x0＋2Δx.(2)由(1)可知：＝4x0＋2Δx，当x0＝2，Δx＝0.01时，＝42＋20.01＝8.02.(3)在x＝2处取自变量的增量Δx，得一区间[2,2＋Δx]．∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(222＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.∴＝2Δx＋8，当Δx→0时，→8.规律方法 求瞬时变化率时要首先明确求哪个点处的瞬时变化率，然后，以此点为一端点取一区间计算平均变化率，并逐步缩小区间长度，根据平均变化率变化情况估计出瞬时变化率．跟踪演练2 在本例中，(1)分别求函数在x＝1，x＝2附近，Δx取－的平均变化率，再比较其大小．(2)求在x0处的瞬时变化率．解 由已知f(x)＝2x2＋1，(1)当x＝1时，区间变为＝，∴k1＝＝＝＝3.当x＝2时，区间变为＝.∴k2＝＝＝＝7.∴k2＞k1.(2)在x0处设自变量增量为Δx，则在[x0，x0＋Δx]上，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝2(2x0＋Δx)Δx.∴＝＝4x0＋2Δx，当Δx→0时，→4x0，∴y＝2x2＋1在x＝x0处的瞬时变化率为4x0.要点三 物体运动的瞬时速度例3 已知s(t)＝5t2，(1)求t从3秒到3.1秒的平均速度；(2)求t从3秒到3.01秒的平均速度；(3)求t＝3秒时的瞬时速度．解 (1)当3≤t≤3.1时，Δt＝0.1，Δs＝s(3.1)－s(3)＝53.12－532＝5(3.1－3)(3.1＋3)，∴＝＝30.5(m/s)．(2)当3≤t≤3.01时，Δt＝0.01，Δs＝s(3.01)－s(3)＝53.012－532＝5(3.01－3)(3.01＋3)，∴＝＝30.05(m/s)．(3)在t＝3附近取一个小时间段Δt，即3≤t≤3＋Δt(Δt＞0)，∴Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝5(3＋Δt)2－532，＝5Δt(6＋Δt)，∴＝＝30＋5Δt.当Δt→0时，→30.∴在t＝3时的瞬时速度为30 m/s.规律方法 (1)依据平均速度与瞬时速度定义求解时，注意Δs与Δt之间的对应关系，还要注意运用有关数学公式来简化运算．(2)在某一时间段内的平均速度与时间段Δt有关，随Δt变化而变化；但求某一时刻的瞬时速度时，Δt是趋于0，而不是Δt＝0，此处Δt是个时间间隔任意小，但绝不能认为是0.跟踪演练3 质点M按规律s(t)＝2t2＋3t做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，求质点M在t＝2时的瞬时速度．解 当t从2变到2＋Δt时，函数值从222＋32变到2(2＋Δt)2＋3(2＋Δt)，函数值s(t)关于t的变化率为＝＝2Δt＋11(cm/s)当Δt趋于0时，瞬时变化率趋于11，所以质点在t＝2时的瞬时速度v＝11(cm/s)． 1．如果质点M按规律s＝3＋t2运动，则在一小段时间[2,2.1]中相应的平均速度是( ) A．4 B．4.1 C．0.41 D．3答案 B解析 ＝＝4.1.2．一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s与时间t之间的函数关系式为s＝t2，则t＝2时，此木块在水平方向的瞬时速度为( )A．2 B．1 C. D.答案 C解析 当t＝2时，Δs＝(2＋Δt)2－22＝Δt＋(Δt)2，所以＝＋Δt.当Δt趋于0时，趋于.3．质点运动方程为s＝t2＋3，则在时间(3,3＋Δt)内，相应的平均速度等于________．答案 6＋Δt4．函数y＝f(x)＝＋2在x＝1处的瞬时变化率为________．答案 －2解析 Δy＝＋2－＝－1＝，∴＝，当Δx趋于0时，趋于－2.1．平均变化率反映函数在某个范围内变化的快慢；瞬时变化率反映函数在某点处变化的快慢．2．可以使用逼近的思想理解瞬时变化率，同时结合变化率的实际意义． 一、基础达标1．函数y＝f(x)在x0到x0＋Δx之间的平均变化率中，Δx不可能是( )A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于0答案 C2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是( )A．0 B．1 C．2 D．Δx答案 A解析 ＝＝0.3．在曲线y＝x2＋2的图像上取一点(1,3)及附近一点(1＋Δx,3＋Δy)，则等于( )A．Δx＋＋2 B．Δx－－2C．Δx＋2 D．2＋Δx－答案 C解析 ＝＝2＋Δx.4．自由落体运动方程为s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2，若＝，则Δt趋于0时，趋于9.8 m/s，它是( )A．0～1秒内的平均速度B．1～(1＋Δt)秒内的瞬时速度C．1秒这一时刻的瞬时速度D．1～(1＋Δt)秒内的平均速度答案 C5．函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为________．答案 －9解析 函数f(x)＝5－3x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝＝－9.6．过曲线y＝x2＋1上两点P(1,2)和Q(1＋Δx,2＋Δy)作曲线的割线，当Δx＝0.1时，割线的斜率k＝________.答案 2.1解析 ∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋(Δx)2，∴＝2＋Δx，∴割线斜率为2＋Δx，当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率k＝2＋0.1＝2.1.7．一质点按规律s(t)＝2t3运动，求t＝1时的瞬时速度．解 t从1变到1＋Δt的平均速度为＝2(Δt)2＋6Δt＋6.当Δt趋于0时得t＝1时的瞬时速度为6.二、能力提升8．函数y＝2x2－x在x＝2附近的平均变化率是( )A．7 B．7＋ΔxC．7＋2Δx D．7＋2(Δx)2答案 C解析 Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2－(2＋Δx)－6＝7Δx＋2(Δx)2，∴＝＝7＋2Δx.9.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )A．甲 B．乙C．相同 D．不确定答案 B解析 在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)