硅的霍尔系数及电阻率的测量

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1、9-1 硅的霍尔系数及电阻率的测量 霍尔效应是有关材料中的载流子在电场和磁场作用下所产生的效应。 1879 年霍尔在研究带电导体在磁场中受力性质时发现了这种效应， 后来发现半导体中的霍尔效应比金属大几个数量级。二十世纪的前半个世纪，它的研究一直推动着固体导电理论的发展，特别在半导体电子论的发展中起着尤为重要的作用1。霍尔系数和电导率的测量是分析半导体纯度及杂质种类的一种有力手段， 至今仍然是半导体材料和器件研制工作中不可缺少的一种基本测试方法，在半导体测量技术中占有重要的地位。通过在不同温度条件下对霍尔系数及电阻率的联合测量，不仅可以根据霍尔系数的符号确定载流子的类型，同时可以得到半导体的多种

2、电学参数。利用这些电学参数在理论上可以分析和研究半导体的导电特性和机理，在实践中有利于半导体材料生长和器件性能的提高。利用霍尔效应制成的高斯计、霍尔安培计等在实际测量中也有着重要的应用。 本实验目的是通过在不同温度条件下对高阻 p 型 Si 的霍尔系数和电阻率的测量，了解半导体内存在本征导电和杂质导电两种导电机构；晶格散射和杂质散射两种散射机构；由霍尔系数的符号确定载流子的类型，并且确定禁带宽度 gE 、净杂质浓度AN 、载流子浓度 p和 n 及迁移率 等基本参数。 一、原理 （一）电导率 与温度的关系 电导率 随温度的变化关系如图 9-1-1 中的 ln (1/T )曲线所示，这里可分为三个

3、区域： 1杂质部分电离的低温区。在这区域内不仅由于杂质电离产生的载流子随温度升高而增加，而且迁移率在低温下主要取决于杂质散射，它也随温度升高而增加。因此，在这温度区域内电导率 随着温度的升高而增加。 2杂质电离饱和的温度区。在这区域内杂质已全部电离，但本征激发尚不明显，所以载流子浓度基本上不变。这时在 p 型半导体中空穴浓度 p 、杂质电离产生的空穴浓度sp 与受主杂质浓度AN 相等，即图 9-1-1 硅的 ln (1/T )曲线 p =sp =AN 。这时晶格散射起主要作用，迁移率 随温度升高而下降，导致电导率 随温度的升高而下降。 在 300K 温度下， p 型硅的电导率取决于晶格散射的空

4、穴迁移率 (LP )300= 480cm2/(Vs)，通过电导率的测量可以求得受主杂质浓度AN 和sp 。在杂质电离饱和区内其它温度的漂移迁移率 (LP )T与 (LP )300有下列关系： (LP )T= (LP )300300（ 9-1-1） 因此，通过杂质电离饱和区的电导率随温度的变化曲线，可以求得LP 随温度的变化。作lgLP lgT 图，可以更清楚地看出晶格散射迁移率与温度成LP = ATx的关系。 3产生本征激发的高温区。在这区域中，由于本征激发产生的载流子随温度上升而急剧地增加，使电导率增加的这一因素远超过迁移率 随温度升高而下降的作用，因而电导率随温度的上升急剧增大。 根据电中

5、性条件，空穴浓度 p =AN + n = sp + n （ 9-1-2） 只考虑晶格散射，电导率 = Lnnq + LPpq = )(LPpbnq + （ 9-1-3） 式中 b =Ln /LP ， 其中Ln 和LP 分别为电子和空穴的晶格散射迁移率。 根据摩润 （ Morin）等人的研究结果2， Ln 和LP 与温度具有下列关系 Ln = 4.0 1096.2T (cm2/Vs) LP = 2.5 1083.2T (cm2/Vs) （ 9-1-4） 将式（ 9-1-2）代入式（ 9-1-3）可得 p = ()1sLP+ bbpq（ 9-1-5) n = ()1sLP+ bpq(9-1-6)

6、式中LP 可以从前面求得的杂质电离饱和区的 lgLP lgT 外推得到，其中 b 可以由式（ 9-1-4）得到。利用关系式 ( )kTEATnpg3exp = ，式中常数 A是与 p 型硅材料中的电子和空穴的有效质量有关，作出 ln(3npT ) (1/T )曲线，用最小二乘法可以确定禁带宽度3 gE = ( )TnpTk1ln3(9-1-7) 式中 k 为玻耳兹曼常数，在室温（ 300 K）温度下硅的禁带宽度为 1.12eV。 （二）霍尔效应 1霍尔电压与霍尔系数。样品通以电流 I ，如果在垂直样品表面且与电流垂直的方向上加一磁场，如图 9-1-2 所示，样品中就会产生一个与电流和磁场方向垂

7、直的电势差，这电势差就是霍尔电压 HV = HRdIB(9-1-8) HV 与样品厚度 d 成反比， 与磁感应强度 B 和电流 I 成正比，比例系数HR 叫做霍尔系数。 霍尔电势差是这样产生的：当电流通过样品（假设为 p 型半导体）时，空穴有一定的漂移速度 v ，垂直磁场对运动电荷产生一个洛伦兹力 )( BvF = q 式中 q 为电子电荷。洛伦兹力使电荷产生横向偏转，由于样品存在边界，所以有些偏转的载流子将在边界积累起来， 形成一个横向电场 E 直到电场对载流子的作用力 EF q= 与磁场作用的洛伦兹力相抵消为止，即 EBv qq = )( （ 9-1-9） 这时电荷在样品中流动时将不再发生

8、偏转，霍尔电势差HV 就是由这个电场建立起来的。 如果样品是 n 型半导体，则横向电场与前者相反。所以 n 型样品和 p 型样品的霍尔系数具有不同的符号，据此可以判断材料的导电类型。 图 9-1-2 霍尔效应示意图 2 霍尔系数的简单推导。 设 p 型样品的 p n ， 样品的宽度为 w， 通过样品的电流 I = pqvwd ，则空穴的漂移速度pqwdIv = ，并且代入式（ 9-1-9） ，我们得到 E = Bv = pqwdIB上式两边各乘以 w ，便得到霍尔电势差 HV = wE = pqdIB（ 9-1-10） 与式（ 9-1-8）对比，可得到 p 型样品的霍尔系数 HR = pq1（

9、 9-1-11） 对于 n 型样品，其霍尔系数 HR = nq1（ 9-1-12） 由式（ 9-1-8）可得霍尔系数 HR = IBdVH（ 104cm3/C） 式中的HV 为霍尔电势差，单位为 V；电流 I 、磁感应强度 B 和样品厚度 d 的单位分别是 A, T, 和 cm。 在上述简单的推导中均假设半导体中的载流子都具有相同的速度。实际情况比上述简单模型要复杂得多，因为载流子并不是以一恒定速度 v 运动的，它们具有一定的速度分布，并且不断受到散射而改变运动的速度。理论上严格地考虑了上述因素，霍尔系数的公式（ 9-1-11）和（ 9-1-12）应修正为 HR = pq1pH或 HR = n

10、q1nH（ 9-1-13） 式中n 和p 分别为电子和空穴的电导迁移率，H 为霍尔迁移率，H =HR ，它可以通过霍尔系数HR 和电导率 计算得到。 3两种载流子的霍尔系数。如果在半导体中同时存在数量级相同的两种载流子，那么在研究霍尔效应时，就必须同时考虑两种载流子在磁场中的偏转效果。 在外电场和外磁场的作用下，漂移运动的电子和空穴在洛伦兹力的作用下都朝同一边积累，霍尔电场的作用使它们中间一个加强，另一个减弱，这样使横向的电子流和空穴流大小相等，由于它们的电荷相反，所以横向的总电流为零。 假设载流子服从经典的统计规律，在球形等能面情况下，只考虑晶格散射及弱磁场近似（ B n ，硅中 b nb

11、，于是式（ 9-1-15）就简化为式（ 9-1-13） 。在该区域内，霍尔系数HR 0。 （ 2）温度逐渐升高时，价带上的电子开始激发到导带， 由于电子迁移率大于空穴迁移率， b 1。 当温度升高到使 p = 2nb 时，HR = 0。如果取对数，就出现图 9-1-3 中标有“ 2”的这一小段。 （ 3） 当温度再升高时， 更多的电子从价带激发到导带， p 2nb 而使HR 0， 随后HR将会达到一个极值。此时，价带的空穴数 p = n +AN ，将它代入式（ 9-1-14） ，并且求HR 对n 的微商。当 n =AN/ (b 1)时，HR 达到极值 图 9-1-3 TR1-|lnH曲线 HR

12、 极值 = 83qNA1 ( )bb412= HsR( )bb412(9-1-16) 式中HsR 是杂质电离饱和区的霍尔系数，由上式可见，通过HR 极值 及HsR ，可以估算电子迁移率与空穴迁移率的比值 b 。 （ 4）当温度继续升高到达本征范围时，载流子浓度远远超过受主的浓度，霍尔系数与导带中电子浓度成反比，因此，随着温度的上升，曲线基本上按指数下降。由于此时载流子浓度几乎与受主浓度无关，所以代表杂质含量不同的各种样品的曲线都聚合在一起。 n 型半导体的 lnHR （ 1/T ）曲线如图 9-1-3 所示，其分析比较简单，不再赘述。 （三）范德堡尔法测量任意形状薄片的电阻率及霍尔系数 早期测

13、量电阻率及霍尔系数所采用的样品如图 9-1-4 所示。 M 和 N 为通电流的欧姆接触，而 O， P， Q，及 R 为测量电压的接触点，箭头表示磁感应强度 B 的方向。为了测量准确，测量电压的接触点要足够小，以保持电流沿 MN 方向均匀通过。但是接触点过小，将会增大接触电阻，给测量带来一定的困难。图 9-1-5 所示的桥式样品，虽然可以减小接触电阻，但容易破碎。而采用范德堡尔法，不仅样品形状可以任意选择，而且电压接触点也可以做得比较大。 考虑一任意形状、厚度为 d 、中间没有空洞的薄样品，如图 9-1-6 所示，图中 1， 2， 3，4 代表四个接触点。可以证明电阻率5图 9-1-4 矩形条状

14、样品 图 9-1-5 桥式样品 图 9-1-6 任意形状的样品 图 9-1-7 f 41,2334,12RR曲线 = 2lndfRR241,2334,12+（ 9-1-17） 式中 3412，R = 1234iVV ， 4123，R = 2341iVV 其中12i 代表电流自 1 端流向 2 端。测量 4 端与 3 端之间的电位差，即可以求得3412，R 。同样方法可以求出4123，R 。 f 因子只是3412，R /4123，R 的函数，如图 9-1-7 所示。 f 因子与3412，R /4123，R 满足下列关系： cosh+fRRRR2ln)1/()1/(41,2334,1241,233

15、4,12= fln2exp21如果接触点在样品四周边界上且接触点足够小，样品厚度均匀且没有空洞。在垂直样品表面加一磁场，电流自 1 端流向 3 端，电流线分布与未加磁场时将会一样，则霍尔系数RH可以通过下列关系求得： HR = Bd24,13R = 1324)(iVVBd （ 9-1-18） 式中 )(24VV 代表加磁场后 4 端与 2 端之间电位差的变化。 （四）实验中的副效应及其消除方法 在霍尔系数的测量过程中，伴随着如图 9-1-8 所示的一些热磁副效应发生。 1.爱廷豪森（ Ettingshausen）效应 在图 9-1-8（ a）所示 P 型样品中，电流 I 沿 z 方向通过该样品，在垂直样品表面的 x 方向加磁场 B ，则在 y 方向产生温差：42TT BI 。因为 2， 4 端电极的材料和硅片形成热图9-1-8 (a)爱廷豪森效应 (b)能斯脱效应 (c)里纪 勒杜克