《2020 高考总复习 数学理科 (人教B版)--第四章 第7节 解三角形应用举例》由会员分享,可在线阅读,更多相关《2020 高考总复习 数学理科 (人教B版)--第四章 第7节 解三角形应用举例(32页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、第7节解三角形应用举例,最新考纲能够运用正弦定理、余弦定理等知识方法解决一些与测量、几何计算有关的实际问题.,知 识 梳 理,1.仰角和俯角 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线_叫仰角,目标视线在水平视线_叫俯角(如图1).,上方,下方,2.方位角 从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B点的方位角为(如图2). 3.方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,如南偏东30,北偏西45等. 4.坡度:坡面与水平面所成的二面角的正切值. 5.解决与平面几何有关的计算问题关键是找清各量之间的关系,从而应用正、余弦定理求解.,微点提醒,1.不要
2、搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混. 2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易出现错误.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)东北方向就是北偏东45的方向.() (2)从A处望B处的仰角为,从B处望A处的俯角为,则,的关系为180.(),(4)方位角与方向角其实质是一样的,均是确定观察点与目标点之间的位置关系.(),解析(2);(3)俯角是视线与水平线所构成的角. 答案(1)(2)(3)(4),2.(必修5P15A1改编)如图所示,设A,B两点在
3、河的两岸,一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C,测出AC的距离为50 m,ACB45,CAB105后,就可以计算出A,B两点的距离为(),又CBA30,,答案A,3. (必修5P16A4改编)如图所示,D,C,B三点在地面的同一条直线上,DCa,从C,D两点测得A点的仰角分别为60,30,则A点离地面的高度AB_.,解析由已知得DAC30, ADC为等腰三角形,,4.(2019沈阳育才中学模拟)如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站南偏西40,灯塔B在观察站南偏东60,则灯塔A在灯塔B的(),A.北偏东10 B.北偏西10 C.南偏东80 D.南偏西80,解析由条件及图
4、可知,ACBA40, 又BCD60,所以CBD30, 所以DBA10,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80. 答案D,5.(2017浙江卷)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6_.,考点一求距离、高度问题多维探究 角度1测量高度问题,【例11】 如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上,行驶600 m后到达B处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度C
5、D_m.,解析由题意,在ABC中,BAC30,ABC18075105, 故ACB45.,规律方法1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键. 2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样处理起来既清楚又不容易搞错. 3.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.,【训练1】 如图,测量河对岸的塔高AB时可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D,测得BCD15,BDC30,CD30,并在点C测得塔顶A的仰角为60,则塔高AB等于(),解析
6、在 BCD中,CBD1801530135.,在Rt ABC中,,答案D,角度2测量距离问题 【例12】 如图所示,某旅游景点有一座风景秀丽的山峰,山上有一条笔直的山路BC和一条索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2个小时的时间进行徒步攀登,已知ABC120,ADC150,BD1 km,AC3 km.假设小王和小李徒步攀登的速度为每小时1 250米,请问:两位登山爱好者能否在2个小时内徒步登上山峰?(即从B点出发到达C点),解在ABD中,由题意知,ADBBAD30,所以ABBD1 km,,在ACD中,由AC2AD2CD22ADCDcos 150,,两个小时小王和小李可徒步攀登1 25022
7、500米,,所以两位登山爱好者可以在两个小时内徒步登上山峰.,规律方法1.选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解. 2.确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.,【训练2】 海轮“和谐号”从A处以每小时21海里的速度出发,海轮“奋斗号”在A处北偏东45的方向,且与A相距10海里的C处,沿北偏东105的方向以每小时9海里的速度行驶,则海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为_小时.,解析设海轮“和谐号”与海轮“奋斗号”相遇所需的最短时间为x小时,如图,则由已知得 ABC中,AC
8、10,AB21x,BC9x,ACB120.,由余弦定理得:(21x)2100(9x)22109xcos 120,,考点二测量角度问题 【例2】 已知岛A南偏西38方向,距岛A3海里的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10海里/时的速度向岛屿北偏西22方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用0.5小时能截住该走私船?,解如图,设缉私艇在C处截住走私船,D为岛A正南方向上一点,缉私艇的速度为每小时x海里,则BC0.5x,AC5,依题意,BAC1803822120,,由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos 120, 所以BC249,所以BC0.5x7,解得x14.,所以ABC
9、38, 又BAD38,所以BCAD, 故缉私艇以每小时14海里的速度向正北方向行驶,恰好用0.5小时截住该走私船.,规律方法1.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解. 2.方向角是相对于某点而言的,因此在确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.,【训练3】 如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m,50 m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角CAD等于(),A.30 B.45 C.60 D.75,所以在 ACD中,由余弦定理得
10、,又0CAD180,所以CAD45, 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45. 答案B,考点三正(余)弦定理在平面几何中的应用,规律方法1.把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. 2.寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果,求解时要灵活利用平面几何的性质,将几何性质与正弦、余弦定理有机结合起来.,(1)求sinBCE的值; (2)求CD的长.,在CED中,,所以CD7.,思维升华 利用解三角形解决实际问题时:(1)要理解题意,整合题目条件,画出示意图,建立一个三角形模型;(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念;(3)三角函数模型中,要确定相应参数和自变量范围,最后还要检验问题的实际意义. 易错防范 在三角形和三角函数的综合问题中,要注意边角关系相互制约,推理题中的隐含条件.,