《《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第8章 电磁辐射》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《电磁场与电磁波》（第四版）习题集：第8章 电磁辐射（26页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第8章 电磁辐射前面讨论了电磁波的传播问题，本章讨论电磁波的辐射问题。时变的电荷和电流是激发电磁波的源。为了有效地使电磁波能量按所要求的方向辐射出去，时变的电荷和电流必须按某种特殊的方式分布，天线就是设计成按规定方式有效地辐射电磁波能量的装置。本章先讨论电磁辐射原理，再介绍一些常见的基本天线的辐射特性。8.1滞后位在洛仑兹条件下，电磁矢量位A和标量位满足的方程具有相同的形式 （8.1.1） （8.1.2）我们先来求标量位满足的方程式（8.1.1）。该式为线性方程，其解满足叠加原理。设标量位是由体积元内的电荷元产生的，之外不存在电荷，则由式（8.1.1）之外的标量位满足的方程 （8.1.3）可将
2、视为点电荷，它所产生的场具有球对称性，此时标量位仅与r、t有关，与和无关，故在球坐标下，上式可简化为 （8.1.4）设其解，代入式（8.1.4）可得 （8.1.5）其中，。该方程的通解为 （8.1.6）式中的和分别表示以和为变量的任意函数。所以周围的场为 （8.1.7）式（8.1.7）中第一项代表向外辐射出去的波，第二项代表向内汇聚的波。在讨论发射天线的电磁波辐射问题时，第二项没有实际意义，取，而f的具体函数形式需由定解条件来确定。此时 （8.1.8）为得到的具体形式，将式(8.1.8)与同样位于原点的准静态电荷元产生的标量位比较，可以看出应取 （8.1.9）若电荷元不是位于原点，而是位于，则
3、在场点处产生的标量位为由场的叠加性可得体积内分布的电荷产生的标量位为 （8.1.10）上式表明，t时刻场点处的标量位，不是决定于同一时刻的电荷分布，而是决定于较早时刻的电荷分布。换句话说，观察点的位场变化滞后于源的变化，所推迟的时间恰好是源的变动以速度传播到观察点所需要的时间，这种现象称为滞后现象，故将式（8.1.10）表示的标量位称为滞后位。由于矢量位A所满足的方程在形式上与标量位所满足的方程相同，我们可将矢量位分解为三个分量，因而每个分量都应具有与式（8.1.10）相似的解。故矢量滞后位可由下式表示 （8.1.11）对于正弦时变场，则式（8.1.10）和（8.1.11）的复数形式为 （8.
4、1.12） （8.1.13）式中为波数。至此可以看出，根据天线上的电流分布来计算由其产生的电磁场的步骤是：利用式（8.1.13），由给定的J求出，再根据求得，最后由求得。8.2 电偶极子的辐射在几何长度远小于波长的线元上载有等幅同相的电流，这就是电偶极子。关于电偶极子产生的电磁场的分析计算，是线形天线工程计算的基础。设线元上的电流随时间作正弦变化，表示为如图8.2.1所示，电偶极子沿z轴放置，中心在坐标原点。元的长度为l、横截面积为，故有用替换，得载流线元在点P产生的矢量位为 （8.2.1）IPzr图8.2.1 电偶极子考虑到lr，故式（8.2.1）可近似为 （8.2.2）它在球坐标系中的三个
5、坐标分量为 （8.2.3）点P的磁场强度为将式（8.2.3）代入上式，得 （8.2.4）由麦克斯韦方程，P点的电场强度将式（8.2.4）代入上式，得 （8.2.5）由式（8.2.4）和（8.2.5）可看出，电偶极子产生的电磁场，磁场强度只有分量，而电场强度有和两个分量。每个分量都包含几项，且与距离r有复杂的关系。8.2.1 电偶极子的近区场即的区域称为近区，在此区域中 且 故在式（8.2.4）和（8.2.5）中，主要是的高次幂项起作用，其余各项皆可忽略，故得 （8.2.6） （8.2.7）考虑到电偶极子两端的电荷与电流的关系，即，式（8.2.6）可表示为 （8.2.8）式中的是电偶极矩的振幅。
6、从以上结果可以看出，在近区内，时变电偶极子的电场表示式与静电偶极子的电场表示式相同；磁场表示式则与静磁场中用毕奥沙伐定律计算出的恒定电流元的磁场表示式相同。因此把时变电偶极子的近区场称为准静态场或似稳场。由式（8.2.6）和（8.2.7）可计算出近区场的平均功率流密度此结果表明电偶极子的近区场没有电磁功率向外输出。应该指出，这是忽略了场表示式中的次要因素所导致的结果，而并非近区场真的没有净功率向外输出。8.2.2电偶极子的远区场即的区域称为远区，在此区域中在式（8.2.4）和（8.2.5）中，主要是含的项起作用，其余项均可忽略。故得 （8.2.9）将、以及代入式（8.2.9）得 （8.2.10
7、）可见，远区场与近区场完全不同。我们根据式（8.2.10）对远区场的性质作如下讨论：（1）远区场是辐射场，电磁波沿径向辐射。远区的平均坡印廷矢量为可见，有电磁能量沿径向辐射。（2）远区场是横电磁波（TEM波）。远区的电场和磁场都只有横向分量，E与H相互垂直，且垂直于传播方向。和的比值为（3）远区场是非均匀球面波。相位因子表明波的等相位面是r=常数的球面，在该等相位面上，电场（或磁场）的振幅并不处处相等，故为非均匀球面波。（4）场的振幅与r成反比，这是由于电偶极子由源点向外辐射，其能量逐渐扩散，图8.2.4 电偶极子的立体方向图 xyz（5）远区场分布有方向性。方向性因子表明在r=常数的球面上，
8、取不同的数值时，场的振幅是不相等的。在电偶极子的轴线方向上，场强为零；在垂直于电偶极子轴线的方向上，场强最大。通常用方向图来形象地描述这种方向性。图8.2.2是用极坐标绘制的E面（电场矢量E所在并包含最大辐射方向的平面）方向图，角度表示方向，矢径表示场强的相对大小。图8.2.3是 H面（磁场矢量H所在并包含最大辐射方向的平面）方向图，由于电偶极子的轴对称性，因此在这个平面上各方向的场强都等于最大值。图8.2.4是根据绘制的立体方向图。显然，E面方向图和H面方向图就是立体方向图分别沿E面和H面这两个主平面的剖面图。图8.2.3 电偶极子的H面方向图 图8.2.2 电偶极子的E面方向图 最后我们讨
9、论电偶极子的辐射功率，它等于平均坡印廷矢量在任意包围电偶极子的球面上的积分，即可见，电偶极子的辐射功率与电长度有关。辐射功率必须由与电偶极子相接的源供给，为分析方便，可以将辐射出去的功率用在一个电阻上消耗的功率来模拟，此电阻称为辐射电阻。而辐射电阻上消耗的功率为将上式与式（8.2.11）比较，即得电偶极子的辐射电阻 （8.2.12）辐射电阻的大小可用来衡量天线的辐射能力，是天线的电参数之一。例8.1.1 频率的功率源馈送给电偶极子的电流为25A。设电偶极子的长度l=50cm，（1）分别计算赤道平面上离原点50m和10km处的电场强度和磁场强度；（2）计算r=10km处的平均功率密度；（3）计算
10、辐射电阻。解：（1）在自由空间，故r=50m的点属近区场，据式（8.2.6）和（8.2.7）得而r=10km的点属远区场，据式（8.2.10）得（2） （3） 8.3 电与磁的对偶性虽然迄今为止在自然界中还没有发现与电荷、电流相对应的真实的磁荷、磁流，但是，如果我们引入磁荷与磁流的概念，将一部分原来由电荷和电流产生的电磁场用能够产生同样电磁场的等效磁荷和等效磁流来取代，即将“电源”换成等效“磁源”，有时可大大简化问题的分析计算。引入磁荷和磁流的概念以后，麦克斯韦方程组就以对称的形式出现： （8.3.1） （8.3.2） （8.3.3） （8.3.4）式中下标m表示“磁量”，下标e表示“电量”。
11、是磁流密度，其量纲为（伏/米2）；是磁荷密度，其量纲为（韦伯/米3）。式（8.3.1）等式右边用正号，表示电流与磁场之间是右手螺旋关系；式（8.3.2）等式右边用负号，表示磁流与电场之间是左手螺旋关系。将电场E（或磁场H）看成是由电源（、）产生的电场（或磁场）与由磁源（、）产生的电场（或磁场）之和，即 （8.3.5）则有 （8.3.6） （8.3.7）从这些式子可以看出电量和磁量具有对偶性（又称为二重性）。也就是说，如果我们作如下代换： （8.3.8）由方程组（8.3.6）即可得到方程组（8.3.7），反之亦然。即通过式（8.3.8）的对偶量代换，就可以由一种源产生的电磁场直接得到另一种源产生
12、的电磁场。类似地，对应于矢量磁位有矢量电位；对应于标量电位有标量磁位。即对应于 （8.3.9）有 （8.3.10）当电源量和磁源量同时存在时，总场量应为它们分别产生的场量之和： （8.3.11）此外，在分界面上，相应于 （8.3.12）有 （8.3.13）8.4 磁偶极子的辐射磁偶极子又称磁流元，其实际模型是一个小电流圆环，如图8.4.1（a）所示，它的周长远小于波长，且环上载有的时谐电流处处等幅同相，表示为磁偶极子产生的电磁场可以采用与8.2节类似的方法求得，也可应用电与磁的对偶性直接由电偶极子的电磁场求得。下面就根据电磁对偶性来导出磁偶极子的远区辐射场。yxzxzl(a)(b)8.4.1 小电流环及其等效磁矩磁偶极子的磁偶极矩（简称磁矩）与小环上电流i的关系为
