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1、2020/12/19,电子工程学院,1,第3章,函数的数值逼近,2020/12/19,电子工程学院,2,问题的提出,函数解析式未知，通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点的函数值,问题1：根据实验观测数据，即在某个区间a,b上给出其他点的函数值。,问题2：求出函数，使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。,插值问题,曲线拟合问题,2020/12/19,电子工程学院,3,函数解析式未知，或计算复杂，用函数p(x)去近似代替它，使得 p(xi)= yi (i=0,1,2,n) 函数p(xi)称为插值函数。 x0,x1, xn称为插值节点或简称节点。 插值节点所界的区间称为插值区
2、间。 p(xi)= yi 称为插值条件。,插值问题：,2020/12/19,电子工程学院,4,构造n次多项式 Pn(x)= a0 + a1x + a2x2+ anxn 使满足 Pn(xi)= yi (i=0,1,2,n)， 讨论的主要内容： 如何求出插值函数； 插值函数的存在性； 收敛性和误差估计。,3.1 多项式的插值问题,2020/12/19,电子工程学院,5,P1(x)= a0 + a1x,例：,2020/12/19,电子工程学院,6,P1(x)= a0 + a1x + a2x2,例：,2020/12/19,电子工程学院,7,拉格朗日插值,插值多项式的存在唯一性：,2020/12/19,
3、电子工程学院,8,判断系数矩阵的奇异性,Vandermonde矩阵,2020/12/19,电子工程学院,9,结论：,通过n+1个节点的n阶插值多项式唯一存在。,2020/12/19,电子工程学院,10,例：一次和二次插值,一次插值：,2020/12/19,电子工程学院,11,由直线的点斜式公式可知：,a0,a1,问题?,2020/12/19,电子工程学院,12,直线公式：,基函数,2020/12/19,电子工程学院,13,一次插值基函数,基函数的特性,2020/12/19,电子工程学院,14,例：已知lg10=1,lg20=1.3010,利用一次多项式插值计算 lg12的近似值。,解：f(X)
4、=lg(x),f(10)=1,f(20)=1.3010 设,2020/12/19,电子工程学院,15,2020/12/19,电子工程学院,16,二次插值,2020/12/19,电子工程学院,17,二次插值的基函数：,构造三个插值基函数，使其满足： （1） 基函数为二次多项式。 （2） 函数值满足：,2020/12/19,电子工程学院,18,由插值基函数的要求：,2020/12/19,电子工程学院,19,插值公式,2020/12/19,电子工程学院,20,例：已知lg10=1,lg15=1.1761,lg20=1.3010,利用二次多项式插值计算 lg12的近似值。,解：f(X)=lg(x),f
5、(10)=1,f(15)=1.1761,f(20)=1.3010 设,2020/12/19,电子工程学院,21,2020/12/19,电子工程学院,22,拉格朗日插值多项式的一般形式,问题的提出：,已知函数y=f(x)在n +1个不同的点x0,x1,xn 上的函数值y0,y1,yn,求一个次数不超过n的多项式Pn(x),使： Pn(xi)=yi (i=0,1,n),2020/12/19,电子工程学院,23,插值基函数,2020/12/19,电子工程学院,24,插值公式：,2020/12/19,电子工程学院,25,2020/12/19,电子工程学院,26,3.2 插值的误差分析,定理：,2020
6、/12/19,电子工程学院,27,证明 (略),2020/12/19,电子工程学院,28,线性插值和二次插值的截断误差为：,2020/12/19,电子工程学院,29,思考：,是否插值的节点越多，多项式插值越精确？,是否多项式的阶数越高，多项式插值越精确？,2020/12/19,电子工程学院,30,演示：多项式插值的Runge现象,2020/12/19,电子工程学院,31,过程：,2020/12/19,电子工程学院,32,%lagrangen.m function y=lagrangen(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i);s=
7、0; for k=1:n L=1; for j=1:n if j=k L=L*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=s+L*y0(k); end y(i)=s; end y;,Lagrange插值多项式 求插值的Matlab程序.,2020/12/19,电子工程学院,33,%Chazhibijiao.m x=-5:0.1:5;z=0*x;y=1./(1+x.2); plot(x,z,k,x,y,r) axis(-5 5 -1.5 2);pause,hold on for n=2:2:10 x0=linspace(-5,5,n+1); y0=1./(1+x0.2);
8、x=-5:0.1:5; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1), pause end y2=1./(1+x0.2);y=interp1(x0,y2,x); plot (x,y,k),hold off gtext(n=2),gtext(n=4),gtext(n=6) gtext(n=8),gtext(n=10) gtext(f(x)=1/(1+x2),比较不同的插值多项式次数对插值的影响,2020/12/19,电子工程学院,34,不同次数的Lagrange插值多项式的比较图,Runge现象,2020/12/19,电子工程学院,35,x=-5:5;y=1./(1+x.2
9、); t=-5:.05:5;y0=1./(1+t.2); p=polyfit(x,y,10);y1=polyval(p,t); plot(t,y0,x,y,o,t,y1,.),Range现象演示（利用matlab函数）,2020/12/19,电子工程学院,36,高阶多项式插值不好！,怎样获得高精度的插值方法？,2020/12/19,电子工程学院,37,3. 3 分段低次插值,2020/12/19,电子工程学院,38,随着插值结点数增加，插值多项式的次数也相应增加，而对于高次插值容易带来剧烈振荡，带来数值不稳定。为了既要增加插值结点，减小插值区间，以便更好的逼近被插值函数，又要不增加插值多项式的
10、次数以减少误差，我们可以采用分段插值的办法。,2020/12/19,电子工程学院,39,分段线性插值,2020/12/19,电子工程学院,40,分段插值,2020/12/19,电子工程学院,41,由定义可知：Ih(x)在每个小区间xk,xk+1可表示为：,2020/12/19,电子工程学院,42,收敛性：,证明：,2020/12/19,电子工程学院,43,2020/12/19,电子工程学院,44,在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求它的导数值也相等。,埃尔米特插值,2020/12/19,电子工程学院,45,求解的思路：,这里给出了2 n +2 个条件，可唯一确定一个次数
11、不超过2n+1的多项式H2n+1(x). 其形式为 根据上面的条件来确定 2n +2 个系数，显然非常复杂，因此，我们仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法。,2020/12/19,电子工程学院,46,求解的思路：,2020/12/19,电子工程学院,47,确定基函数：,利用拉格朗日插值基函数。,2020/12/19,电子工程学院,48,确定基函数：,2020/12/19,电子工程学院,49,确定基函数：,2020/12/19,电子工程学院,50,确定基函数：,2020/12/19,电子工程学院,51,Hermite插值的唯一性：,反证法：,2020/12/19,电子工程学院,52,Hermi
12、te插值的余项,2020/12/19,电子工程学院,53,例：,按下表求Hermite插值多项式,2020/12/19,电子工程学院,54,分段Hermite插值：,分段线性插值函数的导数是间断的，若在节点上除已知函数值 f k外还给出导数值f k=mk,，这样就可构造一个导数连续的分段插值函数。,2020/12/19,电子工程学院,55,2020/12/19,电子工程学院,56,3.4 三次样条插值,问题的提出：,上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所
13、谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。下面我们讨论最常用的三次样条函数。,2020/12/19,电子工程学院,57,数学定义：,2020/12/19,电子工程学院,58,讨论：,由定义，要求出S(x), 在每个小区间,需要确定4个系数，共需要确定4n个系数。,2020/12/19,电子工程学院,59,讨论：,2020/12/19,电子工程学院,60,从理论上，还需要2个方程。 通常，可以在a,b的两个端点附加条件。（边界条件）,2020/1
14、2/19,电子工程学院,61,三次样条函数的计算：,(1) 利用分段三次Hermiter插值（三对角方程）。,2020/12/19,电子工程学院,62,三次样条函数的计算：,(2) 利用二阶导数值计算（三弯矩方程）,2020/12/19,电子工程学院,63,积分两次得到：,2020/12/19,电子工程学院,64,2020/12/19,电子工程学院,65,一维插值: yi = interp1(x, y, xi, method ),2020/12/19,电子工程学院,66,二维插值 zi=interp2(x, y, z, xi, yi, method),三维插值 vi = interp3(x,y
15、,z,v,xi,yi,zi, method),2020/12/19,电子工程学院,67,插值方法的比较：,x=-5:2:5;y=1./(1+x.*x);xi=-5:0.2:5; Yi(:,1)=1./(1+xi.*xi); Yi(:,2)=interp1(x,y,xi); Yi(:,3)=interp1(x,y,xi, spline); Yi(:,4)=interp1(x,y,xi, cubic); plot(xi,Yi),2020/12/19,电子工程学院,68,2020/12/19,电子工程学院,69,问题的提出,函数解析式未知，通过实验观测得到的一组数据，即在某个区间a,b上给出一系列点
16、的函数值,根据实验观测数据，即在某个区间a,b上给出其他点的函数值。,3.5 曲线拟合,2020/12/19,电子工程学院,70,曲线拟合问题,问题： 数据有误差,解决思路：求一函数，使其在“一定意义下”逼近实验观测数据。,2020/12/19,电子工程学院,71,曲线拟合的最小二乘方法,已知数据表,残差,拟合函数,2020/12/19,电子工程学院,72,误差的表示方法:,最小二乘拟合: 确定拟合函数使平方误差2-范数最小,2020/12/19,电子工程学院,73,例：直线拟合的最小二乘方法,线性函数,误差函数,2020/12/19,电子工程学院,74,例：直线拟合的最小二乘方法,2020/12/19,电子工程学院,75,一般情况：,拟合函数的线性模型:,给定数据表,2020/12/19,电子工程学院,76,选择函数系: ,确定,使得,记,求二次函数I(a0, a1, an) 的最小值点,2020/12/19,电子工程学院,77,计算：,2020/12/19,电
