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1、2020/12/18,高等代数,定义1：,不可约多项式,称为,的k重因式,如果,而 。,重。,2020/12/18,高等代数,要求,的重因式，只要把,式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项,的标准分解,式分解为不可约因式的乘积。,因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。,定义2：,的一阶导数指的是多项式：,（形式定义）,多项式,2020/12/18,高等代数, ,的k阶导数记为,多项式的求导法则：,1、,2、,3、,4、,2020/12/18,高等代数,定理1.6.1：,若不可约多项式,是,的k重因式（k1），则,是,式，特别多项式,的单因式不
2、是,式。,证：,的k-1重因,的因,2020/12/18,高等代数,推论1：,证：, ,2020/12/18,高等代数,推论2：,证：必要性由推论1立得。,推论3：,2020/12/18,高等代数,推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以利用辗转相除法得到。,在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多项式有没有重因式。,由定理1得：,故,2020/12/18,高等代数,于是：,2020/12/18,高等代数,2020/12/18,高等代数,例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式,在Q上的标准分解式。,2020/12/18,高等代数,解：,利用辗转相除法求得：,由于,2020/1
3、2/18,高等代数,问题：,2020/12/18,高等代数,一、多项式函数,F中的根或零点。,作映射f：,为F上的多项式函数。,2020/12/18,高等代数,若,则,二、余式定理和综合除法,证：由带余除法：设,则 。,2020/12/18,高等代数,问题1、,有没有确定带余除法：,设,中展开后比较方程两边的系数得：,2020/12/18,高等代数,2020/12/18,高等代数,于是得,的商式和余式。,解：由综合除法,因此,2020/12/18,高等代数,1、多项式系数按降幂排列，有缺项必须补上零；,的方幂和。,2020/12/18,高等代数,定理1.7.2（因式定理）：,证明：设,以利用综
4、合除法来判断其余数是否为零。,2020/12/18,高等代数,三、多项式的根,的一个k重根。,有重根？,有重因式，但反之不对。,2020/12/18,高等代数,定理1.7.3（根的个数定理）：,证明（用归纳法）：,2020/12/18,高等代数,证二：对零次多项式结论显然成立，,数等于分解式中一次因式的个数，这个数目当然不,定理1.7.4：,的值相等，则 。,证明：,令,2020/12/18,高等代数,问题3、,是F中任意n个数，能否确定一个n-1次多项,2020/12/18,高等代数,作函数,则,这个公式也称为Lagrange插值公式。,例1.7.3：求一个次数小于3的多项式,使 。,解一（待定系数法）：设所求的多项式,2020/12/18,高等代数,由已知条件得线性方程组：,解之得,解二（利用Lagrange公式）：,2020/12/18,高等代数,利用Lagrange插值公式可得：,问题4、用形式定义的多项式与用函数观定义的多项式是否一致？,2020/12/18,高等代数,四、多项式相等与多项式函数相等的关系,多项式相等：即,对应项的系数相同；,多项式函数相等：即,定理1.7.5：,相等的充要条件是它们所确定的在F上的多项式函数相等。,证明：,相同，于是对,2020/12/18,高等代数,故这两个多项式函数相等；,令,此即 。,
