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1、1,二、几个初等函数的麦克劳林公式,一、泰勒公式的建立,三、泰勒公式的应用, 应用,用多项式近似表示函数,理论分析,近似计算,第三章,2.7 泰勒 ( Taylor )公式,2,特点:,一、泰勒公式的建立,以直代曲,在微分应用中已知近似公式 :,需要解决的问题,如何提高精度 ?,如何估计误差 ?,x 的一次多项式,3,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,4,证明：(余项估计),令,(称为余项) ,则有,5,6,公式 称为 的 n 阶泰勒公式 .,公式 称为n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,泰勒中值定
2、理 :,阶的导数 ,时, 有,其中,则当,7,公式 称为n 阶泰勒公式的佩亚诺(Peano) 余项 .,在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为,注意到,* 可以证明:, 式成立,机动 目录 上页 下页 返回 结束,8,特例:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为,给出拉格朗日中值定理,可见,误差,机动 目录 上页 下页 返回 结束,9,称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 .,则有,在泰勒公式中若取,则有误差估计式,若在公式成立的区间上,由此得近似公式,10,二、几个初等函数的麦克劳林公式,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束
3、,11,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,12,类似可得,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,13,其中,机动 目录 上页 下页 返回 结束,14,已知,其中,类似可得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,15,三、泰勒公式的应用,1. 在近似计算中的应用,误差,M 为,在包含 0 , x 的某区间上的上界.,需解问题的类型:,1) 已知 x 和误差限 , 要求确定项数 n ;,2) 已知项数 n 和 x , 计算近似值并估计误差;,3) 已知项数 n 和误差限 , 确定公式中 x 的适用范围.,16,已知,例1. 计算无理数 e 的近似值 , 使误差不超过,解:,令 x = 1
4、 , 得,由于,欲使,由计算可知当 n = 9 时上式成立 ,因此,的麦克劳林公式为,17,说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.,本例,若每项四舍五入到小数点后 6 位,则,各项舍入误差之和不超过,总误差为,这时得到的近似值不能保证误差不超过,因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,18,例2. 用近似公式,计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005 , 试确定 x 的适用范围.,解:,近似公式的误差,令,解得,即当,时, 由给定的近似公式计算的结果,能准确到 0.005 .,2. 利用泰勒公式求极限,23,(3) 求,解:,由于,用洛必塔法则
5、不方便 !,24,3. 利用泰勒公式证明不等式,例4. 证明,证:,1 ；2(2) ；3 (用皮亚诺余项）； 6(2) ； 7(1) (2) (4)(注意n是离散变量）； 8（证法同教材P106 例6）； 9.,31,内容小结,1. 泰勒公式,其中余项,当,时为麦克劳林公式 .,32,2. 常用函数的麦克劳林公式,3. 泰勒公式的应用,(1) 近似计算,(3) 其他应用,求极限 , 证明不等式 等.,(2) 利用多项式逼近函数 ,33,泰勒多项式逼近,34,泰勒多项式逼近,35,思考与练习,计算,解:,原式,36,由题设对,证:,备用题 2.,有,且,37,下式减上式 , 得,令,38,两边同
6、乘 n !,= 整数 +,假设 e 为有理数,( p , q 为正整数) ,则当 时,等式左边为整数;,矛盾 !,2. 证明 e 为无理数 .,证:,故 e 为无理数 .,等式右边不可能为整数.,39,泰勒 (1685 1731),英国数学家,他早期是牛顿学派最,优秀的代表人物之一 ,重要著作有:,正的和反的增量方法(1715),线性透视论(1719),他在1712 年就得到了现代形式的泰勒公式 .,他是有限差分理论的奠基人 .,40,麦克劳林 (1698 1746),英国数学家,著作有:,流数论(1742),有机几何学(1720),代数论(1742),在第一本著作中给出了后人以他的名字命名的,麦克劳林级数 .,
