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1、数学基础知识与典型例题第一章集合与简易逻辑集合1.元素与集合的关系:用 或 表示；2.集合中元素具有确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y =x2,表示非负实数集，点集(x，y)|y =x2表示开口向上，以 y 轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+=0，1，2， 3，；描述法字母表示法:常用数集的符号：自然数集 N；正整数集 ；*或整数集 Z；有理数集 Q、实数集R;例 1 下列关系式中正确的是（ ）(A) (B)0(C)0 (D)0例 2 解集为_.31xy例 3 设
2、,24,9,51AaBa已知 ,求实数 的值.9B子集集合与集合的关系:用 ， ，=表示;A 是 B 的子集记为A B；A 是 B 的真子集记为A B。任何一个集合是它本身的子集，记为 ；空集是任何集合的子集，记为 ；空集是任何非空集合的真子集；如果 ，同时 ，那BAA么 A = B；如果 ， C，.n 个元素的子集有那 么2n 个；n 个元素的真子集有 2n 1 个；n 个元素的非空真子集有2n2 个.例 4 设 ，a=lg(lg10)，20,MxxR则a 与 M 的关系是( )(A)a=M (B)M a (C)a M (D)M a例 5 集合 A=x|x=3k-2，k Z，B=y|y=3n
3、+1，nZ， S=y|y=6m+1，mZ 之间的关系是( )(A)S B A (B)S=B A (C)S B=A (D)S B=A例 6 用适当的符号 填空：()、 、 =、 、 _ ;3.14_ ; R +_R;Qx|x=2k+1, kZ_x |x=2k1, kZ。例 7 已知全集 U2，4，1 a ，A2，a 2a2 奎 屯王 新 敞新 疆 如果 ，那么 a 的值为1UA_.交、并、补1.交集 AB=x|xA 且 xB;并集 AB=x|xA，或 xB;补集 CUA=x|x U，且 x A ，集合 U 表示全集.2.集合运算中常用结论: ;B ()()UUA cardcr例 8 设集合 A=
4、x|xZ 且-10x -1 ，B=x|x Z，且|x |5，则 AB 中的元素个数是 ( )(A)11 (B)1 (C)16 (D)15例 9 已知 A= ，B=x| ，4|2m32N则 AB=_。例 10 已知集合 M=y|y=x2+1，xR，N= y|y=x+1，xR，求 MN。()()cardBA交、并、补例 11 若 A =(x，y )| y =x+1,B=y|y =x2+1,则 AB =_.例 12 设全集 ，,6UR则 ()_()_.例 13 设全集 U = 1，2，3，4，5，6，7，8 ，A = 3，4，5 B = 4，7，8,求：（C U A）(C U B), (CU A)(
5、C U B), CU(AB), C U (AB).不等式1.绝对值不等式的解法：的解集是 ;(0)xa,0xa的解集是 或公式法: , .()()(fgffgx或 )()()fgxf(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值） (4)两边平方2、一元二次不等式 或 的求解原理：利02acbax 0.2acb用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。0 二次函数 cbxay2（ ）的0图象cxy2 cxy2 cbxy2一元二次方程 20axbc的 根 有两相异实根 )(,21x有两相等实根 abx21无实根的 解 集)(21或 R的 解 集02acxx
6、 注:分式、高次不等式的解法：标根法不等式14.不等式 的解集是 ,则20b23x_,_.ab15.分式不等式 的解集为：_.37x16.求使 有意义的 取值范围.412不等式17.解不等式：|4x -3|2x+1.18.解不等式：|x -3|-|x+1|2 或 x2 或 x2x+1 4x-32x+1 或 4x-32 或 x2 或 x .22方法 2：数形结合:从形的方面考虑，不等式 |x-3|-|x+1| .21例 19 答：x| x 0 或 1x2例 20 解：要原方程有两个负实根，必须: .12()0kx1320)1(342kk或或实数 k 的取值范围是k|-2k-1 或 k1.132k
7、或例 21 解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5（真）否命题：若 x + y 5 则 x 3 且 y2（真）逆否命题：若 x 3 或 y2 则 x + y 5（假）例 22 答:真 解：逆否：a = 2 且 b = 3，则 a+b = 5，成立，所以此命题为真.例 23 答:若 a、b 都不为 0，则 ab0例 24 解：假设 x1 且 y1，由不等式同向相加的性质 x+y2 与已知 x+y2 矛盾, 假设不成立 x、y 中至少有一个不小于 1注反证法的理论依据是：欲证“若 p 则 q”为真，先证“若 p 则非 q”为假，因在条件 p 下，q 与非q 是对立事件（
8、不能同时成立，但必有一个成立） ，所以当“若 p 则非 q”为假时， “若 p 则 q”一定为真。例 25 解：函数 在 R 上单调递减xcy.0c不等式 |2|1|2|1.xyxR的 解 集 为 函 数 在 上 恒 大 于,2, | 2.| 1.,1 10.,. (0).2 2ccccPcP 函 数 在 上 的 最 小 值 为不 等 式 的 解 集 为 如 果 正 确 且 Q不 正 确则 如 果 不 正 确 且 正 确 则 所 以 的 取 值 范 围 为例 26 答： .52xx或例 27 答既不充分也不必要解:“若 x + y =3,则 x = 1 或 y = 2”是假命题,其逆命题也不成立.逆否命题: “若 ,则 ”是假命题, 否命题也不成立.或 3故 是 的既不充分也不必要条件.3yx12xy或例 28 选 B 例 29 选 A
