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1、2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,1,在实际问题中，我们感兴趣的往往不是一般的关系，而是具有某些特殊性质的关系。为了更好的处理这些关系，有必要深入研究关系的性质。对A上的关系来说，主要的性质有：自反性、非自反性、对称性、反对称性、传递性。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,2,对A上的关系R，若对任意的 都有 ，则称R为A上自反的关系；若对任意的 都有 ，则称R为A上非自反的关系 这个定义也可以写成：在A上是自反的 在A上是非自反的,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzh
2、i Qiao, XiDian Univ.,3,如果R是A上自反的， 则关系矩阵M(R)的主对角线元素都是1（即 都1），关系图G(R)的每个顶点都有自圈。 如果R是A上非自反的， 则M(R)的主对角线元素都是0，G(R)的每个顶点都没有自圈。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,4,例1 在非空集合A上的恒等关系 和全关系 都是自反的 。 例2 在非空集合A上的空关系 是非自反的。在集合N上的小于关系 是非自反的。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,5,例3 在集合 上
3、的关系 不是自反的，也不是非自反的。 但是在非空集合A上，不存在一个关系，它是自反的又是非自反的。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,6,设 R 为集合 A 上的关系 ，对任意的 ，若 ，则称 R 为 A 上对称的关系；若 ，则称R为A上反对称的关系。这个定义也可以写成R在A上是对称的 R在A上是反对称的,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,7,反对称性的另一种等价的定义为R在A上是反对称的 如果R是A上对称的，则M(R)是对称矩阵(对任意的i和j， ) G(R)中任意
4、两个顶点之间或者没有有向边，或者互有有向边 和 （不会只有 没有 ）。如果R是A上反对称的，则M(R)是反对称矩阵的（对任意的 ，若 则 ），G(R)中任意两个顶点之间或者没有有向边，或者仅有一条有向边（不会同时有 和 ）。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,8,例4 在非空集合 A 上的全关系是对称的 ，不是反对称的。 例5 在 上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是反对称的，且不是对称的。 例6 在非空集合 A 上的恒等关系和空关系都是对称的，也都是反对称的。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qi
5、ao, XiDian Univ.,9,例7 在集合 上的关系 不是对称的，也不是反对称的。 例6和例7说明，对称性和反对称性既可以同时满足，也可以都不满足。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,10,设 R 为集合 A 上的关系，对任意的 ，若 ，则称R为A上传递的关系；这个定义也可以写成R在A上是传递的,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,11,例8 在集合 A 上 的 全关系 、恒等关系 、空关系都是传递的。 在 上的整除关系、小于等于关系、小于关系都是传递的。 例9
6、 在集合 上的关系 不是传递的关系，因为 ， ，但是 。,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,12,第三章 - 二元关系,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,13,第四章 - 函数,数学的进步及其活力总是依赖于抽象对具体的帮助以及具体对抽象的哺育。- M. Kac函数是一个基本的数学概念。通常的实函数是在实数集合上讨论的。这里推广了实函数概念，讨论在任意集合上的函数。,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,14,函数定义函数建立了从一个集合到另一个集合的一
7、种变换关系，计算机执行任何类型的程序就是这样一种变换。 例如编译程序可以把一个源程序变换成一个机器语言的指令集合-目标程序。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,15,对集合A 到集合B 的关系 ，若满足下列条件：(1) 对任意的 ，存在唯一的 ， 使 成立；(2) 则称 为从A到B的函数，或称 把A映射到B （有的书称 为全函数、映射、变换）。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,16,一个从A到B的函数 ，可以写成 ： 。这时若 ，则可记作 ： 或 。 函数的两个条件可以写成
8、(1) (2),第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,17,函数的第一个条件是单值性, 定义域中任一x与B中唯一的y有关系. 因此可以用 f (x) 表示这唯一的 y. 第二个条件是A为定义域, A中任一x都与B中某个y有关系. 注意不能把单值性倒过来. 对A到B的函数f, 当x1fy且x2fy成立时, 不一定x1=x2. 因此, 函数的逆关系不一定是函数.,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,18,如果一个关系是函数, 则它的关系矩阵中每行恰好有一个1, 其余为0, 它的关系图中
9、每个A中的顶点恰好发出一条有向边. 另外， 是函数，称其为空函数。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,19,若函数 f 和函数 g 相等，那么它们的定义域和值域分别相等，即do m (f) = d o m (g)，r a n (f) = r a n (g)，而且对任意的x do m (f) = do m (g)，都有f (x)=g (x)。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,20,例1: 对实数集 R , R 上的关系 f 为 f = | y = 3x f 是从 R 到 R
10、的函数, 记作 f: RR , 并记作 f:|3x 或 f (x) = 3x.,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,21,例2: 集合 A = 1, 2, 3 上 的 两个关系g=, 和 h=,都不是从A到A的函数.因为 g 没有单值性, 即 g 且 有 g , 而对关系 h , do m (h) = 1,2 A. 但是, h 是从1,2到A的函数.,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,22,判别下列关系中哪个能构成函数：（1） 因为x1不能取定义域中所有的值，且x1对应很多x2
11、，故这个关系不能构成函数。（2） 因为一个y1对应两个y2，也不是函数。（3） 能够成为函数。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,23,（从A到B的所有函数的集合AB） 对集合A和B，从A到B的所有函数的集合记为AB（有的书记为BA）。于是,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,24,例3: 对A=1,2,3, B= a , b. 从A到B的函数有八个: f1=,f2=,f3=,f4=,f5=,f6=,f7=,f8=,于是 AB=f1,f2,f3,f8,第四章 - 函数,2020
12、/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,25,若A和B是有限集合，|A|=m, |B|=n, 则|AB|= n m . 从 到 的函数只有 f= , 从 到 B 的 函数 只有 f= . 若 A , 从A到 的函数不存在.,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,26,设 ： ，(1) 若 r an (f)=B，则称f是满射的，或称f是A到B上的；(2) 若对任意的 ， 都有 ，则称 f 是单射的，或一对一的；(3) 若f是满射的又是单射的，则称f是双射的，或一对一A到B上的。简称双射。,第四章 - 函数,202
13、0/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,27,如果 f :AB 是满射的, 则对任意的 y B, 存在 x A, 使 f (x)=y. 如果 f: AB 是单射的, 则对任意的 y ran (f) , 存在唯一的 x A, 使 f (x)=y. 特别地, : B是单射的, : 是双射的.,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,28,例5: f:1,20, f(1)=f(2)=0, 是满射的, 不是单射的. f: NN, f (x)=2x, 是单射的, 不是满射的. F:ZZ, f (x)=x+1, 是双射的.
14、,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,29,例：设 分别写出 中的满射、单射和双射函数。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,30,解: 中无 满射 和 双射 函数，其单射函数共有6个，分别记为：,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,31,中无 单射 和 双射 函数，其 满射 函数共有6个，分别记为：,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,32,中共有6个既单射，又满
15、射的函数，即双射函数，分别记为：,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,33,设 f ： ，如果存在一个 y B，使得对所有的 x A ，f (x)=y ，即有 f A=Y，则称 f： 为常函数。 A上的恒等关系 IA：A A 称为恒等函数。于是，对任意的 x A ，有 。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,34,对实数集R，设 ：R R，如果 则称 为单调递增的；如果 ，则称 为严格单调递增的。类似可定义单调递减和严格单调递减的函数。 例如，在R上取“”关系，设 ：R R ，且 ， g :R R，且 ，则 是 R 上 严格 单调递增函数，而g 是严格单调递减函数。,第四章 - 函数,2020/12/20,Hongzhi Qiao, XiDian Univ.,35,集合的基数 如 果 存 在 ，使 集 合 A 与 集 合 的元素个数相同，就说集合A
