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1、1第七章 微分方程与差分方程习题 71（A）1 说出下列微分方程的阶数：;02)(xyx ;0)2(yx.)3(673dyd2 下列函数是否为该微分方程的解：xey2;0)1( )(;)2 、Cyxd),(cossin;03( 21212 、axxya)ln;0)4 yyxx 3 在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，写出符合初始条件的函数： ;5,)1(02xCy ;1,)( 021 xyye.,1,sin)3(2xxy4 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程： 、),()1(y 、yPQxxP2习题 71（B）1在下列各题中，对各已知曲线族（其中 C1, C2, C3 都是任意常数）
2、求出相应的微分方程：;1)()2yCx .)(21xxey2用微分方程表示下列物理问题： 、 PTP)1( 、 、) )1 1k ktm习题 72（A）1求下列微分方程的通解： ;0ln)(yx5322;)()3(2yayx;104d;)5(2xy;1)6(2yd;63)7(xx;0tansectansec)8(22 xdyyd;)1(t392x.0)()10dyedeyxy2求解下列初值问题： ;0,)(2xyx ;4,cossinco0xyd;,l)3( 2 xyxy.1,)14xe 、)3(.3、 、,习题 72（B）、 、 2)(5.0,60)(10.1 mccmo、 、 、 )(/4
3、/50)(10)(.2 2scgscstg 、 tRR0160.33、 、5)/(6.40smv 、 )(.5 0 kvv、 、)1(,2.6m yxaba.)(,)()()(.700 xydxyxdyx 、习题 73（A）1 求下列齐次方程的通解： ;)ln()(xyx 022;)()32xydx;04y)ln1()5( dxdx.03326 ychychs2求解下列初值问题： ;0)1(,cos)cos()1 ydxxy.21(,3 求一曲线方程，使其切线介于坐标轴间的部分被切点等分。 4 求一曲线方程，使其上任一点处的切线在 y 轴上的截距恰好等于原点 O 到该点的距离。 习题 73（B
4、）1 求下列齐次方程的通解或特解： ;1)2()yx;0)()1() dyxedxyy ;1,2)3() 02x4.1,0)2()2()4 xydxydxyx2*化下列方程为齐次方程，并求出通解： .0)43()()4 ;773112 ;)6()5() dyxdyxx习题 74（A）1 求下列微分方程的通解： ;)(xeydx;cos2sin ;)1()3(2xeyyx 0sinta4;co)()52x.)2(63ydx2 求解下列初值问题： ;1,sin)1( xyxyd;0,ecta24,5o)3( 2os xyxy;,840d.,132)5( xyxy3 求通过原点且在任一点 (x, y
5、) 处的切线斜率等于 2 x + y 的.曲线方程。4 一门课程结束后，学生学到的知识开始慢慢忘记，假设学生忘记其所学知识的速率与他们当时还记得的知识与某一常数 a 之间的差成正比（比例系数设为 k ）（1） 设 y(t) 为课程结束 t 星期后仍被学生记得的那部分知识的多少，试建立关于 y(t) 的微分方程；（2） 设课程结束时学生学到的知识的量为 1 （即 100） ，解此微分方程；（3） 试解释在解中的两个常数 a 和 k 的实际意义。5 求下列伯努利方程的通解：5;)sin(co)1(2xydx;32x;4)(yy ;)21(34xdx.0ln)5( dy习题 74（B）1 求下列微分
6、方程的通解： ;1)2()dxy;026;ln)3(xyy ;0)l(4ddx.arctn)1()52y2 求解下列初值问题： ;0,1)()12xyye;1,cos2 xx ;0,0)()1(32xyydedyy .,)cos14 22x .)(,0)()(1)0()0(.3 xfxfyx xfyffy 、 、 、tx 44 5.11.46、 、 、 21.5kkm6用适当的变量代换将下列方程化为已知类型，然后求出通解： ;)()1(2yxd;12;)ln()3( xyyx42e ;1cosin2si)1(sin)5(2 xxxyy ;0)co(cl6 yx7 验证形如 的微分方程，可经变量
7、代换 化为)()(dxgyf xyv可分离变量的方程，并求其通解。 .)(,3)()(.8 20xfetdfxfxf x、 .)(,1)()()(.913 fxfxff 、 、 、 CyCxy QyP)() )(,(.10212、 、 xx)(,. 123习题 75（A）1求下列微分方程的通解：;)(xey ;1)2(2xy034;)(1)5(2y ;4)6(yy;7xx .ln8x72 求下列微分方程的通解： ;01)(3y;)(2y1)3(y .0)(42y3 求解下列初值问题： ;0,)1( 111 xxxayyey ;,0)22 ;0,1,1)3( xxyyy ;1,0)(42 a;0
8、,)5( xxyye .1,1,262x 、 12),0(.4 xyMxy习题 75（B）1 求下列微分方程的通解： ;)(y;02)4( .)(,)()(21)(,. 0 xytdytxxyx 、 .)(,)(1.30ftdfx ffy、 、 、 、t svcvcRm)(.42习题 76（A）1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？8;2,)1(x;,)2(x;3,e;,4e;cosin2si)5(xx .2sinco)6(x、 、 0i. 221 yyy 、 、)4(.3 22122 yxyxeyeyx、 、xxeyy CC5215213 )(.4、 、 xyxyln)(9.522
9、211、 、2)4( 43212431 )(sinco.6 CxCeC习题 76（B）、 、21 32121321 )()()()()( )(,.C xyCxyCxfyqxpy xy 、 0)(. 2yxxy 、 02)1()1(.31 ye、 、xy xCxYysc ,sinco04 2、 、y 2 212 ,l)(.5)()( )()(1)()( 0)()()(.612 12121xyCxy xydxexyycbaxy a、 、 、 、习题 77（A）1 求下列微分方程的通解：9;02)1(yy42;3;136)(;095y;0254)7(2xdttx.38yt2 求下列微分方程满足所给初
10、始条件的特解： ;10,6,04)1( xxyy;,2,0y ;5,43)( 0xxyy;1,0294 y;5,2,5)( 0 xxy.3,01346 yy习题 77（B）1 求下列微分方程的通解： ;0)(yy;82)3(4;02)(yy;)5(4.0366)(yy3试作一个三阶常系数齐次线性微分方程，使它的特解为 .,xe4试作一个四阶常系数齐次线性微分方程，使它的特解为 .sin6,co4,x10、 、4,0)( ,0)(,)0(,)()(,.5 xyxgfy gfxgfxgf .)(,)(0)()( xffffff 、习题 78（A）1 求下列微分方程的通解： ;22)(xey;a ;
11、1252)3( xy;34e245)( xyy .)1(9632 求下列微分方程的通解： ;sin67)1(xyy;co42txtd;sin3)( xeyy;2i524 .cosn10)5( xy3 求下列微分方程满足所给初始条件的特解： ;2)0(,1)(,52)1( y39432xyy ;1)0(,)(,)3( ye;,442yyx1)()(0sin)5( y;0,1,co216x)(si3)7( yy .,)(,n8 y11习题 78（B）1 求下列微分方程的通解： ;sin)(2xy;i2;cos)3(xey ;524e ;13)5( xyy .)(8462e2 求下列微分方程的通解：
12、 ;263)1(xysin 、 baxbeax ,1. 、 、xxxeeyeyy 2321 ,.4 .)(,)()()(.5 0xftdfxtxfxf 、 、tkm6、 、)(1)2(1 )(12)(8.7mmm习题 79（A）1 求下列微分方程的通解： ;0)(2yx;39;2)(xyxy ;4432 ;ln2l2)5( xyxy12;)(lnsi4)6(2xyxy习题 79（B）1 求下列微分方程的通解： ;22)( xyxy;ln43 ;02)(2 yxyx;3ln43 x 、 tyedytx x0,l.2 22、 、 tt )1(,sin.3 .cos3sin2co,cos)(.4xe
13、yxxyxyu 、习题 710（A）1下列等式哪些是差分方程：;2)(xyx ;3)2(xxay;231xy .4421xy2下列差分方程中哪些是二阶的：;34)1(1xxxy ;3)2(1xx;3 .42y3求下列函数的差分：;)1(、Cyx;)2(2xy;)3(xa;log4ya sin5a6y4证明下列各等式：;)()11xxxuvuv .)(21xxvuvu、 )()()( ,)(,.5 321131 2xffxfyaUZYzxfya xfyafxx 136求下列差分方程的通解及特解： ;37,5)1(0yyxx ;2,2 ;1,4)3( 01 yxyxx ;3,6,9712x164)5( 0yyyxx ;2,2612 x7设某产品在时期 t 的价格、总供给与总需求分别为 并设对于 、ttDSP,21,0t有 tttttt DSPDPS )3(54)2(1)( 1(I) 求证：由 (1)、(2)、(3) 可推出差分方程 ;2tt(II)已知 P0 时，求上述方程的解。 总习题七一、选择题 、 、)(321)( .0)( ;cos)2(;(.1DCBAdyx
