q c o ) 魉易 第五章 抛体运动 1 普通高中教科书 物理 第二册 必 修 2 高中物理必修第二册 第五章 抛体运动 3 目 录 1 2 6 10 14 22 23 27 31 35 43 44 49 55 59 65 73 74 79 84 89 95 102 106 第五章 抛体运动 1. 曲线运动 2. 运动的合成与分解 3. 实验：探究平抛运动的特点 4. 抛体运动的规律 第六章 圆周运动 1. 圆周运动 2. 向心力 3. 向心加速度 4. 生活中的圆周运动 第七章 万有引力与宇宙航行 1. 行星的运动 2. 万有引力定律 3. 万有引力理论的成就 4. 宇宙航行 5. 相对论时空观与牛顿力学的局限性 第八章 机械能守恒定律 1. 功与功率 2. 重力势能 3. 动能和动能定理 4. 机械能守恒定律 5. 实验：验证机械能守恒定律 课题研究 索引 4 高中物理必修第二册 第五章 抛体运动 1 第五章 抛体运动 5 到目前为止，我们只研究了物体沿着一条直 线的运动实际上，自然界中的曲线运动是很常 见的运动员奋力投球，篮球沿着一条优美的弧 线进入篮筐；亿万年来地球在接近圆形的轨道上 绕太阳时刻不停地公转。
抛出的篮球、公转的地 球，它们运动的轨迹都是曲线我们把轨迹是曲 线的运动称为曲线运动（curvilinear motion） 从现在开始，我们把目光转向抛体运动、圆 周运动，以及更一般的曲线运动从中我们可以 体会到，研究直线运动时的基本思路和方法，原 则上同样可以用来处理曲线运动 2 高中物理必修第二册 _______________________ 基尔霍夫（Gustav Robert Kirchhoff，1824 1887） ，德国物理学家、 化学家、天文学家 曲线运动1 力学是关于运动的科学， 它的任务是 以完备而又简单的方式描述自然界中发 生的运动 基尔霍夫 观察右边两幅图片描述的现象，你能 不能说清楚：砂轮打磨下来的炽热微粒和 飞出去的链球，分别沿着什么方向运动？ 问题？ 我们知道，物体做直线运动时，速度方向与运动轨迹 一致物体做曲线运动时，速度方向又是怎样的呢？ 曲线运动的速度方向 运动员掷链球时，链球在手的牵引下做曲线运动，一 旦运动员放手，链球即刻飞出放手的时刻不同，链球飞 出的方向也不一样可见，做曲线运动的物体，速度的方 向在不断变化下面我们来研究做曲线运动的物体在某一 时刻的速度方向。
如图 5.1-1，在水平桌面上放一张白纸，白纸上摆一条 由几段稍短的弧形轨道组合而成的弯道使表面沾有红色 印泥的钢球以一定的初速度从弯道的 C 端滚入，钢球从出 演 示 A B C 观察做曲线运动物体的速度方向 图 5.1-1 钢球离开轨道时速度的 方向 第五章 抛体运动 3 除实验方法外，还有什么方法可以确定物体在某一时 刻的速度方向？讨论这一问题时要明确一个数学概念 曲线的切线 如图 5.1-2，过曲线上的 A、B 两点作直线，这条直线 叫作曲线的割线设想 B 点逐渐沿曲线向 A 点移动，这条 割线的位置也就不断变化当 B 点非常非常接近 A 点时， 这条割线就叫作曲线在 A 点的切线（tangent） 假设图 5.1-2 中的曲线是某一质点的运动轨迹若质 点在一段时间内从 B 点运动到 A 点，则质点的平均速度的 方向由 B 点指向 A 点当 B 点越来越靠近 A 点时，质点的 平均速度方向将越来越接近 A 点的切线方向当 B 点与 A 点的距离接近 0 时，质点在 A 点的速度方向沿过 A 点的切 线方向 根据上面的分析，可以得到结论：质点在某一点的速 度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
速度是矢量，既有大小，又有方向由于曲线运动中 速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动 物体做曲线运动的条件 图 5.1-2 曲线的切线 B ?? A 口 A 离开后会在白纸上留下一条运动的痕迹，它记录了钢 球在 A 点的运动方向 拆去一段轨道，出口改在 B用同样的方法可以记录 钢球在 B 点的运动方向 白纸上的印迹与轨道（曲线）有什么关系？ 在初中数学里我们已经 知道了圆的切线对于其 他曲线， 切线指的是什么？ 物体如果不受力，将静止或做匀速直线运动那么，你认为物体在什么条件下做曲 线运动呢？ 思考与讨论 物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，物体的 加速度一定不为 0，因此，物体所受的合力一定不为 0 物体受什么样的力才会做曲线运动？下面我们通过实 验来研究这个问题 4 高中物理必修第二册 由实验可以看出，当钢球受到的合力的方向与速度方 向不在同一条直线上时，钢球做曲线运动生活中也有大 量类似的例子例如，向斜上方抛出的石子，它所受重力 的方向与速度的方向不在同一条直线上，石子做曲线运动 大量事实表明：当物体所受合力的方向与它的速度方 向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
根据牛顿第二定律，物体加速度的方向与它受力的方 向总是一致的当物体受力的方向与速度的方向不在同一直 线上时，加速度的方向也就与速度的方向不在同一直线上 了，于是物体的速度方向要发生变化，物体就做曲线运动 图 5.1-4 飞镖的运动轨迹 用飞镖显示曲线运动的速度方向 如图 5.1-4，取一根稍长的细杆，一端 固定一枚铁钉，另一端用羽毛或纸片做成尾 翼，这样就得到了一个能够显示曲线运动速 度方向的“飞镖” 在空旷地带把飞镖抛出，飞镖在空中各 点的指向就是它在该点的速度方向飞镖落 至地面插入泥土后的指向就是它落地瞬时的 速度方向 改变飞镖的投射角，观察它在飞行过程 中直到插入泥土时的速度方向 联系飞镖在空中做曲线运动的轨迹，体 会曲线运动的速度方向与轨迹曲线的关系 做一做 一个钢球在水平面上做直线运动从不同方向给它施 加力，例如在钢球运动路线的正前方或旁边放一块磁铁（图 5.1-3），观察钢球的运动 演 示 图 5.1-3 钢球的运动轨迹 N S 观察钢球的运动轨迹 第五章 抛体运动 5 速度方向相同？请把这些地方标注出来 3. 汽车以恒定的速率绕圆形广场一周用时 2 min，每行驶半周，速度方向改变的角度是多 少？汽车每行驶 10 s，速度方向改变的角度是 多少？先画一个圆表示汽车运动的轨迹，然后 作出汽车在相隔 10 s 的两个位置的速度矢量示 意图。
4. 一质点沿着圆周运动请证明：质点与 圆心连线所扫过的角度与质点速度方向改变的 角度相等 5. 一个物体在光滑水平面上运动，其速度 方向如图 5.1-7 中的 v 所示从 A 点开始，它 受到向前但偏右（观察者沿着物体前进的方向 看，下同）的合力到达 B 点时，这个合力的 方向突然变得与前进方向相同达到 C 点时， 合力的方向又突然改为向前但偏左物体最终 到达 D 点请你大致画出物体由 A 至 D 的运动 轨迹，并标出 B 点、C 点和 D 点 1. 跳水运动是一项 难度很大又极具观赏性 的运动，我国跳水队多 次在国际跳水赛上摘金 夺银，被誉为跳水“梦 之队” 图 5.1-5 中虚 线描述的是一位跳水运 动员高台跳水时头部的 运动轨迹，最后运动员 沿竖直方向以速度 v 入 水整个运动过程中， 除运动员入水前一段时 练习与应用 图 5.1-5 v 间外，在哪几个位置头部的速度方向与入水时 速度 v 的方向相同？在哪几个位置与速度 v 的 方向相反？在图中标出这些位置 2. 图 5.1-6 是从高空拍摄的一张地形照片， 河水沿着弯弯曲曲的河床做曲线运动图中哪 些地方河水的速度方向跟箭头所指 P 处流水的 图 5.1-6 P 图 5.1-7 A v F 6 高中物理必修第二册 图 5.2-1 蜡块的运动 运动的合成与分解2 若人在河中始终保持头朝正前方游向 对岸，你认为他会在对岸的正前方到达， 还是会偏向上游或下游？为什么？ 问题？ 对类似上述的运动应该怎样分析呢？下面让我们从一 个简单的平面运动开始研究。
一个平面运动的实例 在下面的实验中，我们将以蜡块的运动为例，讨论怎 样在平面直角坐标系中研究物体的运动 观察蜡块的运动 在一端封闭、 长约 1 m 的玻璃管内注满清水， 水中放一个红蜡做的小圆柱体 A，将玻璃管的开 口端用橡胶塞塞紧（图 5.2-1 甲）把玻璃管倒 置（图乙），蜡块 A 沿玻璃管上升如果在玻璃 管旁边竖立一把刻度尺，可以看到，蜡块上升的速 度大致不变，即蜡块做匀速直线运动 在蜡块匀速上升的同时，将玻璃管紧贴着黑 板沿水平方向向右匀速移动（图丙），观察蜡块 的运动情况 演 示 _______________________ 蜡的密度略小于水的密度在蜡块上升的初期，它做加速运动，随后由于受 力平衡而做匀速运动 ??? A A 第五章 抛体运动 7 在这个实验中，蜡块既向上做匀速运动，又由于玻璃 管的移动向右做匀速运动，在黑板的背景前我们看到蜡块 向右上方运动那么，蜡块向右上方的这个运动是什么样 的运动呢？ 要想定量地研究蜡块的运动，就要建立坐标系，具体 分析 建立坐标系 研究物体的运动时，坐标系的选取很重 要例如，对于直线运动，最好沿着这条直线建立坐标系 但是，有时在对运动作深入分析之前，物体的运动形式并 不清楚，甚至难以判断它的运动轨迹是不是直线。
这时， 就需要选择其他类型的坐标系研究物体在平面内的运动 时，可以选择平面直角坐标系 在研究蜡块的运动时，我们以蜡块开始匀速运动的位 置为原点 O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为 x 轴和 y 轴的方向，建立平面直角坐标系（图5.2-2） 蜡块运动的轨迹 要确定蜡块运动的轨迹，首先要确 定任意时刻蜡块的位置我们设法写出蜡块的坐标随时间 变化的关系式蜡块 x 坐标的值等于它与 y 轴的距离，y 坐 标的值等于它与 x轴的距离若以vx 表示玻璃管向右移动 的速度，以 vy 表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则有 x vx t yvy t 蜡块沿着什么样的轨迹运动？在数学上，关于 x、y 两 个变量的关系式可以描述一条曲线（包括直线），而在上 面 x、y 的表达式中，除了x、y 之外还有一个变量 t，我们 可以从中消去 t，这样就得到 y vx vy x 由于vx 和vy都是常量，所以 vx vy 也是常量，可见 y vx vy x 代表的是一条过原点的直线，也就是说，蜡块的 运动轨迹是直线 蜡块运动的速度 速度 v 与vx、vy 的关系已经在图5.2-2 中形象地标出，因此可以根据勾股定理写出它们之间的关系 v vx 2 vy 2 根据三角函数的知识，从图5.2-2 中还可以确定速度v 图 5.2-2 研究蜡块的运动 这里说的“常量” ，指 的是它不随位置、时间变 化。
因此，y vx vy x具有 正比例函数关系的形式 y P x ????? O v vy vx 8 高中物理必修第二册 v乙 m/s 0.3 m/s 20.15 1 因此 v甲y v乙 ，甲先到楼上 t甲 s 12 s h v甲y 4.56 0.38 甲比乙先到达楼上，甲上楼用了 12 s 的方向，即用速度矢量v与x轴正方向的夹角来表示，它 的正切为 tan v x vy 运动的合成与分解 在这个实例中，我们看到蜡块向右上方的运动可以看 成由沿玻璃管向上的运动和水平向右的运动共同构成蜡 块沿玻璃管向上的运动和它随着玻璃管向右的运动，都叫 作分运动；而蜡块相对于黑板向右上方的运动叫作合运动 由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成（composition of motion） ；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解 （resolution of motion） 运动的合成与分解遵从矢量运算 法则 某商场设有步行楼梯和自动扶梯。