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1、巧用圆系方程 简化解题过程四川省眉山中学校 谢维勇在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：以 为圆心的同心圆系方程过直线 与圆 的交点的圆系方程过两圆 和圆 的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆 ，直接应用该圆系方程，必须检验圆 是否满足题意，谨防漏解。当 时，得到两圆公共弦所在直线方程为了避免利用上述圆系方程时讨论圆 ，可等价转化为过圆 和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程在遇到过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，灵活选取上述各种圆系方程，可简化繁杂的解题过程。现不妨举两例简要说明。例 1：已知圆 与直线 相交于
2、两点，为坐标原点，若 ，求实数 的值。分析：此题最易想到设出 ，由 得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系 ，不难得出在以 为直径的圆上。而 刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线 与圆 的交点的圆系方程为：，即.依题意， 在以 为直径的圆上，则圆心（ ）显然在直线上，则 ，解之可得又 满足方程，则故例 2：求过两圆 和 的交点且面积最小的圆的方程。分析：本题若先联立方程求交点，再设所求圆方程，寻求各变量关系，求半径最值，虽然可行，但运算量较大。自然选用过两圆交点的圆系方程简便易行。为了避免讨论，先求出两圆公共弦所在直线方程。则问题可转化为求过两圆公共弦及圆交点且面积最小的圆的问题。解：圆 和 的公共弦方程为，即过直线 与圆 的交点的圆系方程为，即依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线 上。即，则代回圆系方程得所求圆方程总之，在求解过直线与圆，圆与圆交点的圆有关问题时，若能巧妙使用圆系方程，往往能优化解题过程，减少运算量，收到事半功倍的效果。
