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1、第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波1电子科技大学第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波2电子科技大学本章内容3.1 静电场分析3.2 导电媒质中的恒定电场分析3.3 恒定磁场分析3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理3.5 镜像法3.6 分离变量法静态电磁场：场量不随时间变化，包括：静电场、恒定电场和恒定磁场 时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 静态情况下，电场和磁场由各自的源激发，且相互独立第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波3电子科技大学3.1 静电场分析本节内容3.
2、1.1 静电场的基本方程和边界条件3.1.2 电位函数3.1.3 导体系统的电容3.1.4 静电场的能量第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波4电子科技大学2. 边界条件=0EDGG微分形式：EDGG=本构关系：1. 基本方程=0)()(21n21nEEDDGGGGGGeeS=0ddlESDGGGGCSq积分形式：n12n12()0()0ee=G GGGGGDDEE=02t1tn2n1EEDDS或=2t1tn2n1EEDD或3.1.1 静电场的基本方程和边界条件若分界面上不存在面电荷，即 ，则0=S第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁
3、场与电磁波5电子科技大学介质 2介质 121212EG1EGneG212n21n12n2t1n1t21/tantan=DDEEEE在静电平衡的情况下，导体内部的电场为 0，则导体表面的边界条件为=0nnEDGGGGeeS=0tnEDS或场矢量的折射关系导体表面的边界条件第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波6电子科技大学0= EG由即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示。1. 电位函数的定义=EG3.1.2电位函数在线形、各向同性的均匀介质中，有2 . 电位的微分方程在无源区域，0=D =G =202= 标量泊松方程拉普拉斯方程标量电位或简称电位E =GE =
4、G第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波7电子科技大学3. 电位差=EG上式两边从点 P 到点 Q 沿任意路径进行积分，得关于电位差的说明P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P 点移至Q 点所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处。电位差也称为电压，可用 U 表示。电位差有确定值，只与首尾两点位置有关，与积分路径无关。dd()()QQPPEl P Q = = GGP、 Q 两点间的电位差电场力做的功ddE ll = G GGddll=dlel= G第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波8电子科技大学静电位不
5、惟一，即 =+=+=)( CC选参考点 令参考点电位为零 电位确定值(电位差)两点间电位差有定值选择电位参考点的原则应使电位表达式有意义。应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无限远作电位参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零。由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波9电子科技大学5. 电位的表达式对于连续的体分布电荷面电荷的电位：点电荷的电位： ()4qrCR= +G()1() d4lCr
6、rlCR= +GG31()() d4VrREr VR=GGGG3)1(RRRG=线电荷的电位：()1() d4= +GGSSrrSCR11()()d4VrVR =G11()( )d4VrVR = G1()() d4VrrVCR=+GG=EG第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波10电子科技大学6. 静电位的边界条件设 P1和 P2是介质分界面两侧紧贴界面的相邻两点，其电位分别为 1和 2。当两点间距离l 0时0dlim21021=PPlE lGGSe = )(21nDDGGG=DG由和12媒质 2媒质 121l2P1Pnn =1122常数，=Sn =Snn =
7、112221 = 导体表面上电位的边界条件： 若介质分界面上无自由电荷，即0=S第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波11电子科技大学小结常数，=Sn =Snn =112221 =EG =2() dQPPEl =G02= 11() d( )4qrqrR=G G方程：定义：计算式：边界条件：21 =nn =1122（一般形式）（电介质分界面）（导体表面）第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波12电子科技大学例3.1.1 求电偶极子的电位.解在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqr=Gcos)2/(222rd
8、drr +=cos22drr +=由于 r d,cos21drr =302020444cos)(rrrrqdrrGGGGG =pep 电偶极矩，方向由负电荷指向正电荷。dqpGG=+q电偶极子zod q1r2rr),( rPcos)2/(221rddrr +=第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波13电子科技大学ErErrdd=21sinCr =将 和 代入上式，解得 E 线方程为ErE由球坐标系中的梯度公式，可得到电偶极子的远区电场强度)sincos2(430eeGG+=rrq)sin11()(+=rerererErGGGGGcos2Cr =Crp=204c
9、os等位线电场线电偶极子的场图电场线微分方程：等位线方程：第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波14电子科技大学000() () d dPPoOP OEl ErEr =GG GGG G若选择点 O为电位参考点，即() 0O =000() coszPErerEEr = = =GG GG在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即 ，则有00zE eE=GG0E00 0() ( ) cosxzPEreEeezE = = + =GG GGGzre e=+GG G在圆柱坐标系中，取 与 x 轴方向一致，即 ，而00xE eE=GG0EG0EGxzOPrG例3.1.2 求均匀
10、电场的电位分布。解选定均匀电场空间中的一点 O为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为 ，则rG0()P Er =GG第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波15电子科技大学xyzL-L(,)z zddlz =Rz解采用圆柱坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。在带电线上位于 处的线元 ，它到点 的距离 ，则22()R zz=+ddlz =(,)Pz 02201() d4()LlLrzzz =+G2200ln ( ) 4LlLzz zz=+220220()()ln4()()lzL zLzL zL+ =+ +例3.1.3 求长
11、度为 2L、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。 0l第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波16电子科技大学22 22000222( ) ln ln ln4 2 2lllLL LL LrLL + +=+G当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。L 若选择 = a 的点为电位参考点，则有在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当时，上式可写为LRL 002ln2lLCa=00() ln2lar =G在上式中加上一个任意常数002() ln2lLrC= +G第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题
12、的解电磁场与电磁波17电子科技大学例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于 x = 0 和 x = a 处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。0S解在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程212d()0, (0 )dxxbx= a ，求传输线单位长度的电容。l解设两导线单位长度带电量分别为 。由于 D a ，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点 P 的电场强度011() ( )2lx
13、Ex ex Dx=+GG两导线间的电位差21011d()d2DalaUEl xxDx= +GG001(F/m)ln( ) ln ( )lCUDaaDa = xyzxDaP0lnlDaa=第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波23电子科技大学例3.1.6 同轴线内导体半径为 a ，外导体半径为 b ，内外导体间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。()2lEe=GG内外导体间的电位差1() d d2bblaaUEe =GGl+l解设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度的电容为 12(F/m)ln( / )lCUba =ab同轴线ln( / )2lba=第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁场与电磁波24电子科技大学静电场能量来源于建立电荷系统的过程中外源提供的能量。3.1.4 静电场的能量分析方法 连续充电模型法静电场对电荷有作用力，这表明静电场具有能量。1. 静电场的能量讨论系统充电并稳定后的电场能量，与充电过程无关设系统从零开始充电，最终的电荷分布为 、电位为 充电过程中，电荷与电位同比增加，比例因子(0 1) ()rG()rG第3章静态电磁场及其边值问题的解静态电磁场及其边值问题的解电磁
