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1、 习 题 6.2.1 在无限长密绕螺线管内放一圆形小线圈，圆平面与螺线管轴线垂直。小线圈有 100匝，半径为 1cm，螺线管单位长度的匝数为 200cm1. 设螺线管的电流在 0.05 s 内以匀变化率从 1.5 A 变为 -1.5 A ， （ 1） 求小线圈的感应的电动势； （ 2） 在螺线管电流从正直经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向是否改变？为什么？ 解答： （ 1） 螺线管单位长度的匝数 n=200 cm1,小线圈半径 R =210m ,匝数100=N ，若选择电动势的正方向与电流的正方向相同，螺线管内小线圈的感应电动势大小为 .107.4)(220VNRnNNdtdIdt
2、SdBdtd= 0 表明电动势的方向与设定的方向相同。 (2) 螺线管电流从正值经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向都不变，因为电流以及磁通量都以相同的变化率作变化。 6.2.2 边长分别为 a=0.2 m 和 b=0.1 m 的两个正方形按附图所示的方式结成一个回路， 单位的电阻为 510210m.回路置于按 sinmB Bt= 规律变化的均匀磁场中，210mB= T， 100 =1s。磁场 B 与回路所在平面垂直。求回路中感应电流的最大值。 解答 : 在任一瞬时，两个正方形电路中的电动势的方向相反，故电路的总电动势的绝对值为 ()( )22 22cos cosd d dBmmdt
3、 dt dtab ab B t t = = =大 小因回路单位长度的电阻2510m= ，故回路电阻为 ( )24610Rab= + = 回路中感应电流的最大值为 0.5mm RI= A 6.2.3 半径分别为 R 和 r 的两个圆形线圈同轴放置，相距为 x （见附图） 。已知 rxnull (因而大线圈在校线圈内产生的磁场可视为均匀 )及 R xnull .设 x 以匀速dxdtv= 随时间 t而变 . （ 1） 把小线圈的磁通 表为 x 的函数 （ 2） 把小线圈的感应电动势（绝对值） 表为 x的函数 （ 3） 若 0v ,确定小线圈内感应电流的方向 . 解答： （ 1） 满足条件 R xn
4、ull 下 ,载流大线圈在面积 S 为的小线圈的磁通量为 20322IRxBSr= = （ 2） 小线圈的磁感应电动势（绝对值）为 22 220043422(3 )Ir R Ir Rddxdt dtxx v = = （ 3） 若时 ,小线圈内感应电流与大线圈的电流的方向相同 6.2.4 在无限长密绕螺线管外套一个合金圆环，圆心在轴线上，圆平面与轴线垂直（见附图） .管内系统随时间以常变化率 2增大，电流表经开关接到环上的 P、 Q（两点连线过环心） . (1) 求开关断开时下列情况的PQU ： （ a）两个半圆的电阻都为 R， （ b）左半环电阻为 R，右半环电阻为 2R； （ 2）设电流表所
5、在支路电阻为零，求开关接通时电流表在上问的（ a） （ b）情况下的电流AI （大小和方向） ； （ 3）若座半环电阻为 R，有半环电阻为 kR（其中 0k ） ，试证开关接通时AI 与 k 值无关。 解答： （ 1） 馆内磁通随时间以常变化率 2 增大时，在开关断开时，感应电动势为 2=dtd（ a）两个半环的电阻都为 R 时，等效电阻如图 6.2.4(a)所示， 0222= RRUQPPQ（ b）左半环电阻为 R，右半环电阻为 2R 时，等效电路如图 6.2.4(b)所示，有 3632223 = RRUQPPQ（ 2）电流表开关接通时： (a) 两个半环的电阻都为 R 时，等效电路利用戴维
6、南定理如图 6.2.4(c) 所示，有右半环的支路于电流表支路组成的闭和回路中没有磁场，亦没有磁通的变化，因此该回路的总电动势为 0。已知右半环的支路上的电动势为 ，因此电流表支路的电动势亦为 ，由图6.2.4（ c）可见，通过电流表的电流为 22 2AAARIR R = = 方向向上。 （ b）左半环电阻为 R，右半环电阻为 2R 时，利用戴维南定理等小电路如图 6.2.4（ d）所示，等效电源的电动势等于开路电压PQU 2232363ePQQPUU RR = = = = = 等效电阻为 ()2 223eRRRRRR=+等效电路如图 6.2.4（ d）右图所示，因等效电动势 0e PM ，
7、0MQ 6.4.4 电子感应加速器的轨道半径为 0.4m，电子能量的增加率为 160eV/周 . （ 1）求轨道内磁场的平均值 B 的时间变化率dtBd（ 2）欲使电子获得 16MeV 的能量，需转多少周？共走多长路程？ 解答： （ 1） 电子转 1 周得到的能量为 160=e eV 电子运行的圆周轨道的电动势 2RdtBd = 解得轨道内磁场的平均值 B 的时间变化率dtBd为 sTRdtBd221018.3 =（ 2） 电子获得 16MeV 的能量转动的周数为 551016010160=eVeVN 因轨道半径 R= km4104R= ,故电子共走的路程为 2512 = RNL km 6.5
8、.1 在长为 0.6m、直径为 5cm 的空心纸筒上密绕多少匝导线才能得到自感为 6.0 -3106.0 H的线圈？ 解答： 线圈的自感为 22020lRlNVnL= 所绕的匝数为 120810=LlRN 6.5.2 空心密绕螺绕环的平均半径（即中心圆的半径）为 0.1m，横截面积为 62cm ，总匝数为 250，求其自感 .若螺绕环流过 3A 的电流，求其自感磁链以及每匝的磁通 . 解答： 螺绕环的自感为 52020105.722= RSRNVnL H 当通入线圈的电流 I=3 A 时，自感磁链为 41025.2= LI Wb 每匝磁通为 7109=NWb 6.5.3 设同轴电缆内外半径分别
9、为1R 和2R （见教材图 6-27） ，试导出其单位长度的自感 L 的表达式。 解答： 图 6.5.3 为同轴电缆的截面图，半径为 r 的磁场为 B(r)，根据安培环路定律，有 () IrrB02 = 求得 ()rIrB20= 通过长度为 l的横截面为 S 的磁通为 ()2100ln221212RRlIdrlrIdrlrBRRRR=故单位长度的自感为 210ln2 RRIIlL= 6.6.1 两个共轴圆线圈，半径分别 R 和 r ,匝数分别为1N 和2N 相距为 l（见附图） ，设rlnull ，以至大线圈在小线圈所在处的磁场可以视为均匀的。求两线圈之间的互感系数 解答： 1N 匝的大线圈在
10、小线圈所在处的磁场大小为 ()201 11 32222I RNBlR=+小线圈所在处的磁通大小为 ()22201 112 1 32222IRNB rrlR = =+小线圈所在处的磁链为 ()2221 012 2 12 132222NN rRNIlR= =+两线圈之间的互感系数 ()2221 012322122NN rRMIlR=+6.6.2 附图所示的两个同轴密绕细长螺线管长度为，半径分别为1R 和2R （ “细长”蕴含1R lnull ，2R lnull ）匝数分别1N 和2N ，求互感系数12M 和21M ，并由此验证12 21M M= 解答： 线圈 1 通有电流1I 时管内产生的磁场大小
11、为 11010 1NB nI Il= 线圈 1 对线圈 2 中 1 匝产生的磁通为 22 01 2112 2 1NRIRBl= = 线圈 1 对线圈 2 产生的磁链 201 2112 2 12NRINl= = 线圈 1 对线圈 2 互感系数 2012 212121NN RMIl= 线圈 2 通有电流2I 时管内产生的磁场大小为 22020 2NB nI ll= 线圈 2 对线圈 1 中 1 匝产生的磁通只与线圈 2 的面积有关，即 22 02 2221 2 2NRIRBl= = 线圈 2 对线圈 1 产生的磁链 2012 2221 1 21NN R INl= = 线圈 1 对线圈 2 互感系数
12、 2012 221122NN RMIl= 对比和的数值，证得 12 21M M= 6.6.3 以代表两个线圈之间的互感系数，1L 和2L 代表各自的自感系数，试证在无漏磁情况下有12M LL= 。 （无漏磁是指满足12 11 = 及21 22 = 即完全偶合） 解答： 自感系数和分别定义为 11 1 11111NLI I= 22 2 22222NLI I = 1112 22112NNLLII= 由于两个线圈完全偶合，满足条件12 11 = 及21 22 = ，故 21112 2 212 12121 12 2112 1 2NN N NLL M M MII I I = = 因而证得 12M LL=
13、 6.8.1 设附图所示的 RL 电路的电流在 5.0 s 内达到稳态值的13，求这个电路的时间常数。 解答： 因 RL 电路的电流随时间变化的关系为 01tiI e=根据题设条件 500113tII e=得 523te= 即 52ln3s= 解得： 12 = s. 6.8.2 设习题 6.8.1 幅图中的 R=4 ， L=20 H,合下瞬间的电流增长率为 5 A s 求： （ 1） 电流的电动势 （ 2） 电流为 10A 时的电流增长率及此事的电感所储存的磁能。 （注：自感为 L，电流为 i的线圈所储存的磁能为212mWLi= ，推导见教材6.11） 解答： （ 1） 因 RL 电路的电流随
14、时间变化的关系为 1RtLieR=得 RtLdiedt L= 在 0t = 时刻，有05=tdiAsdt L解得： =100V （ 3） 设1tt= 时电流为 10A，即 1110RtLeAL=求得 10.6RtLe= 1tt= 时刻的变化率为113tLdiAtt esdt L= =此时电感所储存的词能为 ()21110002mWLit J= 6.8.3 设习题 6.8.1 附图中的，求下列各量在开关接通后的值： （ 1）线圈所储存的磁能的增长率； （ 2）电阻 R 上消耗焦耳热的功率； （ 3）电源输出的功率。 解答： （ 1） 因电感线圈储存的磁能与时间有关，即 ()212mWLit= 由此可见，磁能是从零开始的逐渐增大（与电流增长情况不同） 。线圈所储存的磁能的增长率为 21Rt Rt Rtm LLLdW diLi ie e edt dt R= =在开关接通后 t=0.1s 时，上式代入数据，得 0.1 23mdWtsdt= = W （ 2） 在开关接通 0.1 s 后，电阻 R 上消耗的焦耳热的功率为 ()220.1 1 0.1 40RtL
