《两线段和最小》

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1、两线段和最小求线段和的最小值问题，在初中数学中经常会遇到，利用轴对称 知识可以比较简单的解决。我们先通过一个非常典型的例题来推导一 个性质：一、性质推导例题：如图所示，在河岸 L的一侧有两个村庄 A、B,现要在河 岸L上修建一个供水站，问供水站应建在什么地方，才能到 A, B两 村庄的距离之和最短？首先，我们来推导一个轴对称的性质，如图，作 B点关于L的对 称点B,在直线L上任意定一点M连接B Bi, BM 根据轴对称 知识，我们可以求证B陆BM所以，我们可以得出这样的性质：成轴对称的两个对应点到对称 轴上任意一点的距离相等。在该例题中，利用这一性质，我们可得出：点 B到河岸L上任意 点M的距

2、离等于对称B到点M的距离。要使AM+ BM最小，必须使A M B三点共线，也就是说，必须使点 M与A Bi连线和L的交点N重合，所以，河岸上的N点为到A B的距离之和最小的点。证明：M为L上的任意点因为B陆BM所以，BM+AMBiM+AM 而 BiM+A缺于 BA,所以，结论成立二、应用1 :在图（1）中，若A到直线L的距离AC是3千米，B到直线 L的距离BD是1千米，并且CD的距离4千米，在直线L上找一点P, 使PA+PB勺值最小。求这个最小值。解：作出AB （作法如上图）过A1点画直线L的平行线与BD的延长线交于H,在 Rt A1BH中，A1H=4千米，BH=4米，用勾股定理求得A1B的长

3、度为4、扬千米，即PA+PB勺最小值为4插千米。2、如图（1）,在直角坐标系XO冲，X轴上的动点M （x, 0）到定点P （5, 5）和到Q（2, 1）的距离分别为MP MQ那么当MP+MQ取最小值时，点 M的横坐标 x=H-(2,1)P (5,5)-11 一图（1）解：如图（2）,只要画出点Q关于x轴的对称点Q1 （2, -1 ）, 连结PQ1交x轴于点M则M点即为所求。点M的横坐标只要先求出 经过PQ1两点的直线的解析式，（y=2x-5），令y=0,求得x=5/2。（也 可以用勾股定理或相似三角形求出答案）。3、求函数y=人2 6x 10 + Jx2 6x 34的最小值。解：方法（I ）把

4、原函数转化为 y海x 3）2 1 +J（x 3）2 52 ,因此可以理解为在X轴上找一个点，使它到点（3, 1）和（-3 , 5）的距离之和最小。（解法同上一题）。方法（II ）如图（9）,分别以 PM=（ 3-x ）、AM=1 为边和以 PN= （x+3）、BN=5为边构建使（3-x ）和（x+3）在同一直线上的两个直角 PAIMAPNB 两条斜边的长就是 PA（x 3）2 1和PB（x 3）2 52 ，因此，求y 的最小值就是求PA+PB勺最小值，只要利用轴对称性质求出BA1的长， 就是y的最小值。（6血）。三、拓展（一）三条线段的和最小的问题：如图3,已知甲、乙、丙三人做接力游戏，开始时

5、，甲站在/ AOB 内的P点，乙站在OA边上，丙站在OBi上，游戏规则：甲将接力棒 传给乙，乙将接力棒传给丙，最后丙跑至终点 P处。如果三人速度相 同，试作图求出乙丙站在何处，他们比赛所用时间最短。析解：三人的速度一定且相同，要使比赛时间最短，只需三人所走的路程最短，因此可以利用轴对称知识，作点P关于OA OB的对称点P、P ,连接P P ,交OA于O ,交OB于O，则点O和点O应分别是乙、丙的位置。这样连接 PO、PO 则三人行的路程和为 PO OO PO PO OO P O PP。规律总结：轴对称在本题中的主要作用是将线段在保证长度不变的情况下改变位置，要注意体会轴对称在这方面的应用。（二

6、）利用菱形的对称性，求线段和的最小值1、如图（5）,在菱形 ABC映，AB=4a,E在 BC, EC=2a / BAD=1200,点P在BD上，贝U PE+PC勺最小值是（）（A） 6a , （B） 5a , （C） 4a , （D） 2后 a 。解：如图（6）,因为菱形是轴对称图形，所以 BC中点E关于对 角线BD的对称点E 一定落在AB的中点E1,只要连结CE1, CE1即为 PC+PE的最小值。这时三角形 CBE1是含有300角的直角三角形，PC+PE=CE1=3a。所以选（D）。2、已知在菱形 ABC师，/ A=600, AD=8 M N分别是AR BC边 上的中点，P是对角线AC上一

7、动点，求P阶PN的最小值。分析：因为动点P在菱形ABCD勺对角线AC上，而CD边的中点G,是N关于对称轴AC的对应点所以，P8 PN,因此求P叫PN的最小值就转化为求 P雄PG的最小值，连接 MG 在 PM（, P阶PG的最小值就是 MG即P叫PGMG（仅当M P、G 三点共线时取得最小值）。解：取CD的中点G,连接PG.AC是菱形ABCD勺对角线 . / PCG= / PCN又CACD N是BC边的中点. .ChCG连接MG四边形AMGDl平行四边形又 POPG PC(A PCN.P8PN. .MG= AA 8在 PM（,（仅当P、M G三点共线时取等号）即，故P阶PN的最小值为8。（三）利

8、用正方形的对称性，求线段和的最小值已知如图：正方形 ABCB勺边长是3,E点分边BC为2:1,P为对角 线BD上一点，求PE+PC勺最小值.分析：要想求PE+PC勺最小值，关键是确定点P的位置，根据对称的知 识我们知道点P的位置应是，点C关于直线BD的对称点和点E连线 与BD的交点.解：因为四边形ABC驹正方形，所以点C关于BD的对称点为A,连 接AE交BD于P点，则此时PE+PC的最小值最小，最小值为：PE+PC=AE=13（四）利用等腰梯形的对称性，求线段和的最小值如图，在梯形 ABC师，AD/ BG A4CE AE 1, / B= 60 ,直 线MNfe梯形ABCD勺对称轴，P为MN一点

9、，那么PO PD的最小值 为分析：在梯形ABC师，因为AA C AD,易知梯形ABC虚等腰 梯形，又直线M曜梯形ABCD勺对称轴，所以直线 M偃底边AD BC 的垂直平分线，连接PA,由线段垂直平分线上任一点，到已知线段 两端的距离相等知，PU PD,所以求PO PD的最小值就转化为求PC + PA的最小值，即求AC的长度即可。解：连接PAA4 CEAA 1, 梯形 ABCD等腰梯形又直线M偃梯形ABCD勺对称轴P4 PD过点A作A口 BC过点D作DFL BC E、F为垂足，易证 ABEA DCF BB CF在 Rt ABE中，./ B= 60 , A4 1在Rt ABC中，由勾股定理，得即P

10、A+ PC的最小值为（当A、P、C三点共线时取得最小值）也可这样求AC的值：过A点作CD的平行线，交 BC于G,贝U B孚AA 1,G8 AL 1. .BO 2而角BC号DAC= DCA 角BC号30,角BA090度在三角形ABC中，可求得AC（五）利用圆的对称性，求线段和的最小值已知如图,AB是。的直径,AB=2cm,OQ AB,点D是弧AC的三等 分点,P是。甘一动点，求PA+PD勺最小值.分析：圆是一个轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的 对称轴，圆上任意一点的关于直径所在直线的对称点都在圆上。解:作点D关于OC6勺对称点F,连接AF,此时PA+PD勺最小值为AF.因为AB是圆O的

11、直径,OCL AR则弧AC的度数为900，因为D是 弧AC的三等分点，所以弧AD的度数是60,弧DC的度数是30,因 为点D与点F关于OC勺对称，所以且弧DC与弧CF相等，都为30, ./ AOF=120,作 Od AF,贝 UZ AOE=6h 在 Rt AO即，AO= 1cm / AOE=60 则 AE=, AF=3。(六) 利用坐标系的对称性，求线段和的最小值如图，在直角坐标系中，有四个点A (-8 , 3)、B (-4 , 5)、C (0, n)、D (m 0)，求四边形ABC圆长最短时的值。分析：因为A、B是定点且长度不变，四边形 ABCD勺周长最短， 需使AD+CD+BC的值最小，由

12、于 G D两点未知，所以本题关键是 找G D两点，可考虑用轴对称的方法将BG CD AD这三条折线拉直。解：分别作A点关于x轴、B点关于y轴的对称点A (-8 , -3)、白(4, 5),连接AB，分别交x轴、y轴于D C点。设直线AB，的解析式为y=kx+b，把x=-8 , y=-3 ; x=4, y=5分别代入得:-8k+b=-34k+b =5解得k和b值，得到AB，的解析式为:3y=2x+7令x=0,求得y,得到C点令y = 0,求得x,得到D点由以上几例可以看出，当求线段和的最小值时，常常借助轴对称 将两条线段转化到一条直线上，再利用“两点之间线段最短”进行求 解。四、链接看这样一题：

13、要在一条河上架一座桥（桥须与河岸垂直，两河岸 平行），请提供一种设计方案，使从 A地到B地的路径最短，请说明 理由。*AB请思考：1、这题为什么不能用轴对称知识解决？（认真理解我推 导出的性质就可明白）2、如何用平移知识解决此题？3、类似我推导出的轴对称性质，平移的知识能否推导出类似的 性质？五、练习1、（2002湖北黄岗竞赛题）如图（10）, / AOB=45角内有一点P, PO=10在角两边上有两点 Q R （均不同于点。，则 PQR的 周长最小值是 。当 APQR周长最小时，/ QPR的度数 =。提示：圆点P关于OA的对称点Pi,点P关于OB的对称点P2,/AOB=45 .APiOP是等

14、腰直角三角形，PiR=10V2。又问：当APQ涸长最小时，/ QPR勺度数=。（答案：90）2、已知点A （-2 , 1）,点B （3, 4）。在X轴上求一点P,使得PA+PB 的值最小。这个最小值是 。（同例2）3、（北京市竞赛题）如图（11）,在矩形 ABC井，AB=20cm, BC=10 cm,若在AG AB上各取一点 M N,使BM+M曲值最小，求这个最 小值。图（11）提示：要使BM+M曲值最小，应设法把折线 BM+MNfc直，从而想到用轴对称性质来做。画出点 B关于直线AC的对称点B,则BiN的长就是最小值；又因为N也是动点，所以，当BNLAB时这个值最小，利用勾股定理和三角形面积

15、公式可以求得这个最小值为16。初三的同学也可以用射影定理和面积公式求解。4、如图（12）在菱形 ABC井，/ DAB=120点E平分BC点P在BD上，且PE+PC=1那么边长 AB的最大值是。提示：因为当PE+PCM小时，AB=C*到最大，这个最大值是-v3。35、如图（15），在河湾处M点有一个观察站，观察员要从 M点出 发，先到AB岸，再到CD岸然后返回M点，则该船应该走的最短路线 是 （先画图，再用字母表示）。6、求代数式Jx2 4x 13 + Jx2 4x 61的最小值。（答案：宜45 ）.42欢迎您的下载,资料仅供参考!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求