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1、数学分析专题研究学习辅导（六）第二章 数 集（二）典型例题解析 例1 设有自然数m,n,i,j,且nm，ij，则 n+i m+j. 思路 利用第二章定理1.2的证明方法. 证明 因 nm，故存在自然数k，使得 n = m+k，故 n + i = (m+ k)+ i = m+(k + i) = m+(i + k) = (m +i) + k同理，因 ij，故存在自然数l，使得 i = j + l m + i = m + (j + l) = (m + j) + l 所以， n + i = (m +i)+ k = (m + j) + l + k (m + j) + l m + j 例2 设是关于 x的
2、函数，nN，若，则. 思路 用第一数学归纳法证明. 证明：当n = 1时，结论成立. 假设 n = k时，结论成立，即. 那么，当n = k +1时，= =由第一数学归纳法可知，对 nN，有. 例3 已知，证明：，nN. 思路 首先利用已知条件，推导出，再用第二数学归纳法证明. 证明： 因为，那么 =即 当n = 1时，由知，结论成立. 假设 n k +1时，结论成立，即,i =1, 2 , , k. 那么，当n = k +1时， = = = =由第二数学归纳法可知，对 nN，有 = 例4 若A是有限集，B为可列集，则AB为可列集. 思路 用列举的方法证明. 证明 设A = ，B = 若，把放
3、入并集AB中，否则不放入. 若，把放入并集AB中，否则不放入. 继续下去，直到把A中的元素都处理完毕，然后把B中的元素全部放入AB，即AB = , ，()所以AB为可列集. 例5 设有理数a, b, c Q，则(ab)c = a(bc). 思路 用直接验算的方法证明. 证明 因为a, b, c Q，故a =，b =，c =，且 (ab)c = () = () = = () = a(bc) 所以，(ab)c = a(bc). 例6 证明：aQ，(-a)Q，使a + (-a) = 0. 思路 利用定理3. 2的结论证明. 证明 因为0, aQ，故0 =，a =，由定理3. 2知，存在唯一的= -a
4、，使得+()= 0，即a + (-a) = 0. 例7 设是既约真分数，且b只含有2和5以外的质因数，当化为循环小数时，循环节最少的位数是m，则a能被b 整除. 思路 利用定理3.9的证明方法. 证明 因为是既约真分数，且b只含有2和5以外的质因数，由定理3.9知，能化成纯循环小数. 又有已知= =+ =+ =+且 -=得 =即 =所以，a能被b 整除. 例8 设A是非空有界数集，令-A = - xxA则有inf(-A)= -supA 思路 用定义4.11验证. 证明 设，由定义4.11知， (1) 对，都有，即，（xA）； (2) 对，有，即，（）.因此，= sup A，即inf (-A)=
5、 - sup A. 例9 设A，B是两个非空数集，令A + B=x + yxA, yB则sup(A + B)=sup A + sup B 证明 设= sup A，= sup B，那么 对xA, 有，且，有；同样，对yB，有，且，有. 因为(x + y)(A +B)，有xA，和yB，得(x + y)；对，有上述讨论知，即，使 所以，= sup(A + B)，即sup A + sup B = sup(A + B) 例10 已知非零复数满足，证明一定是负数. 思路 为证明 0，只要证明为纯虚数. 为此可证+= 0，且 . 证明 因为，故，. 由，得 ，+= 0 所以，为纯虚数，即 0. 例11 设，若，则. 思路 把看成的模 . 证明 设，R，且. 那么 因为 ， 所以，即 例12 证明： 思路 利用乘幂法则证之. 证明 教育文档
