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1、中英文学校自主招生平面几何讲义(三角形的五心)一、三角形的重心1、重心的性质：1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2: 1。证明一三角形ABG E、F是A己AC的中点。EG FB交丁 G 过E作EH平行BF。AE=BE隹出 AH=HF=1/2AFAF=CF推出 HF=1/2CF 推出 EG=1/2CG2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。证明二证明方法:在ABC内，三边为a, b, c,点O是该三角形的重心，AOA1 BOB1 COC1 分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，OA1=1/3AA1 OB1=1/3BB1 OC1=1/3CC1 过O, A分别作a边上高
2、h1, h可知Oh1=1/3Ah则，S( BOC)=1/2X h1a=1/2 x 1/3ha=1/3S( ABC);同理可证S( AOC)=1/3SgABC) S( AOB)=1/3S(AABC)所以，S( BOC)=SQ AOC)=SQ AOB)3、重心到三角形3个顶点距离平方的和最小。(等边三角形)证明方法：设三角形三个顶点为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)平面上任意一点为(x, y)则该点到三顶点距离平方和为： (x1-x)A2+(y1-y)A2+(x2-x)A2+(y2-y)A2+(x3-x)A2+(y3-y)A2=3xA2-2x(x1+x2+x3)+3yA2-2y(y1
3、+y2+y3)+x1A2+x2A2+x3A2+y1A2+y2A2+y3A 2=3(x-1/3*(x1+x2+x3)A2+3(y-1/3(y1+y2+y3)A2+x1A2+x2A2+x3A2+y1A2+y 2A2+y3A2-1/3(x1+x2+x3)A2-1/3(y1+y2+y3)A2显然当 x=(x1+x2+x3)/3,y=(y1+y2+y3)/3(重心坐标)时上式取得最小值x1A2+x2A2+x3A2+y1A2+y2A2+y3A2-1/3(x1+x2+x3)A2-1/3(y1+y2+y3)A2最终得出结论。4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(X1+X2+X3)
4、/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系 横坐标：(X1+X2+X3)/3纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3竖坐标： (z1+z2+z3) /35、三角形内到三边距离之积最大的点。6。 在ABC中，若MA向量+M驹量+MC量=0 (向量)，贝U M点为 ABC 的重心，反之也成立。7. 设 ABC心为G点，所在平面有一点 0、则向量OG=1/3(向量OA向量 OB佝量0。8. 相同高三角形面积比为底的比，相同底三角形面积比为高的比。证明方法：.D为BC中点，BD=CD,乂 . hAABD=ACD hAB0D=hC0D， ABD=SACD， B0D=SC0D即， A0F+SB0F+SB0D
5、=SA0E+SC0E+SC0D,买B0D=SC0D,， A0F+S B0F=S A0E+S C0E.同理，E为AC中点， AOF+S BOF=S BOD+S COD.， AOE+S COE=S BOD+S COD.乂 . SBOF/显BOD+&COD=OF/OC,SAOF/AOE+SCOE,即 SBOF=SAOFBF=AF.CF为AB边上的中线，即三角形的三条中线相交丁一点。重心顺口溜三条中线必相交，交点命名为 “重心”重心分割中线段，线段之比听分晓；长短之比二比一。二、三角形的外心定义三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心.三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中辿线的交点 ,三角形的三个顶点就 在
6、这个外接圆上三条中垂线共点证明.1、m分别为线段AB AC的中垂线. .AF=BF=CFBC中垂线必过点F三角形外心的性质设/ABC的外接圆为。G(R),角A B、C的对边分别为a、b、c, p=(a+b+c)/2 .性质1: (1)锐角三角形的外心在三角形内；(2) 直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合；(3) 钝角三角形的外心在三角形外.性质 2: / BGC=2A,(或 Z BGC=2(180 - / A).性质 3: / GAC+B=90证明：如图所示延长 AG凸圆交与PA、C、B、P四点共圆. .Z P=Z B/ P+Z GAC=90 Z GAC+ B=90性质4:点G是平面AB
7、C一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点 G是 / ABC心的充要条件是：(1)向量 PG=(tanB+tanC)向量 PA+(tanC+tanA)向量 PB+(tanA+tanB)向量 PC)/2(tanA+tanB+tanC).或(2)向量 PG=(cosA/2sinBsinC)向量 PA+(cosB/2sinCsinA)向量 PB+(cosC/2sinAsinB)向量 PC性质5:三角形三条边的垂直平分线的交丁一点，该点即为三角形外接圆的 圆心.外心到三顶点的距离相等。性质6:点G是平面ABC上一点，那么点G是/ABC外心的充要条件 (向量 GA佝量GB) 向量AB=(向量GB向量GC
8、) 向量BC=量GC同量GA) 向量 CA=0三角形外心的做法分别作三角形两边的中垂线交点计作 O以O为圆心OA为半径画圆圆。即为所求外心的求法设三角形三边及其对角分别为 a、b、c，/ A、Z Ek Z C 正弦定理有 r=a/ (2sinA) =b/ (2sinB) =c/ (2sinC) r=abc/ (4SA ABC三、三角形内心定义在三角形中，三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心，(该点到三边距离相等)三条角分线共点证明证明：如图所示作Z B、/ C角分线与AC AB交与F、DCg BF交与I连接AI交BC于E由塞瓦宋理有(AD/BD
9、 * (BE/CB * (CF/AD =1BF、CD为角分线由角分线定理有 AD/BD=AC/BC CF/AF=BC/AB BE/CE=AB/AC由角平分线定理的逆定理有 AE为/ A的角分线 证毕三角形内心的性质设ABC的内切圆为。I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c, p=(a+b+c)/2 .1、 三角形的内心到三边的距离相等，都等丁内切圆半径r.2、Z BIC=90 +/A/2.3、如图 在 RTAABC中，Z A=90 内切圆切 BC丁 D则， ABC=BD*CD4、点。是平面ABC任意一点，点I是 ABC内心的充要条件是：向量 OI=a(向量 OA)+b(向量 OB)+c(
10、向量 OC)/(a+b+c).5、 ABC中，A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3, y3)，那么 ABCft 心 I 的坐 标是：(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)6、 (欧拉定理)/ ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，。和I分 别为其外心和内心，M OIA2=RA2-2Rr.7、 点。是平面ABC任意一点，点。是 ABC内心的充要条件是:a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)前量0.8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴
11、的射影为 对应支的顶点。9、 ABC中，内切圆分别与 A己BC, CA相切丁 P, Q, R,贝U AP=AR =b+c-a) /2 , BP =BQ =(a+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=(b+c-a)tan(A/2)/2。10、(内角平分线定理) ABC中，0为内心，Z A、Z B、 Z C的内角平分线分别交 BG AG ABT Q P、R,贝U BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.三角形内心的做法过O分别作AG BC （任意两边）垂线与圆。交丁 E、F连接AF、BE交丁 I , 点I即为内心三角形内接圆半径1、在 Rt ABC, Z C
12、=90 , r=（a+b-c）/2 .2、在 RTA ABC, Z C=90 , r=ab/a+b+c3 任意 AB r= （2*SAABC /C ABC （C为周长）四、三角形垂心三角形垂心的性质设/ABC的三条高为AD BE CF,其中E、F为垂足，垂心为H,角A、B、 C 的对边分别为 a、b、c, p=（a+b+c）/2 .1、锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角 三角形的垂心在三角形外.2、三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心 三角形的垂心；3、垂心H关丁三边的对称点，均在 ABC的外接圆上。4、 ABC中，有六组四点共圆，有三组（
13、每组四个）相似的直角三角形，且AH HD=BH HE=CH HE5、 H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心 （并称这样 的四点为一一垂心组）。6、 ABC ABH BCH ACH的外接圆是等圆。7、在非直角三角形中，过H的直线交AB AC所在直线分别丁 P、Q,则AB/AP tanB+三角形的垂心与外心的位置关系AC/AQ tanC=tanA+tanB+tanC。8、 三角形任一顶点到垂心的距离，等丁外心到对边的距离的2倍。9、 设O, H分别为 ABC的外心和垂心，WJ / BAO HAC / ABH OBC Z BCO= HCA10、锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等
14、丁其内切圆与外接圆半径之 和的2倍。11、 锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形（顶 点在原三角形的边上）中，以垂足三角形的周长最短。12、西姆松（Simson）定理（西姆松线）从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形 的外接圆上。13、 设锐角/ABC内有一点T,那么T是垂心的充分必要条件是PB*PC*BC+PB*PA*AB+PA*PC*AC=AB*BC *CA五、三角形旁心1、旁切圆的圆心叫做三角形的旁心。三角形五心2、与三角形的一边及其他两边的延长线都相切的圆叫做三角形的旁切圆。三角形旁心的性质设刀ABC在Z A内的旁切圆。I1(r1)与AB
15、的延长线切于点 P1。内切圆半径为r。1、三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点，该点即为三角形的 弟心。2、旁心到三角形三边的距离相等。3、三角形有三个旁切圆，三个旁心。旁心一定在三角形外。4、Z BI1C=90 - Z A/2.5、AP1=r1 cot(A/2)=(a+b+c)/2.6、Z AI1B=Z C/2.7、S/ ABC=r1(b+c-a)/2.8、r1=rp(p-a).9、r1=(p-b)(p-c)/r.10、1/r1+1/r2+1/r3=1/r.11、r1=r/(tanB /2)(tanC/2).12、直角三角形斜边上的旁切圆的半径等于三角形周长的一半。中央文学校自主招
