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1、第三章 固态电子论基础,固态物质（固体）：大量原子(分子）组成的刚体,能 级：电子仅占据的几个分立的能量状态能 带：电子仅占据的几个连续的能量区间能带理论：研究固体中电子运动的一种主要方法,理想晶体：电子处于严格的周期性势场中 电子运动状态不变，速度不变,实际晶体：晶格原子振动、杂质、缺陷,周期性势场偏离理想,电子运动状态变化、速度变化,电子势能改变,稳定、非平衡电子分布,使电子分布向恢复平衡发展,恒定外力场,电子定向运动,使电子分布向非平衡发展,3.1 周期势场中的电子和能带论,3.1.1能带的形成,原子相互接近形成晶体,电子不再局限在某一个原子电子可以从一个原子转移到另一个原子,电子在整个
2、晶体中共有化运动,不同原子的相似壳层交替,两个原子相距较远，其能级与孤立原子一样，但有2度简并,原子相互接近，每个原子中的电子除受本身原子势场作用外，还受另外原子势场的作用,每个2度简并的能级分裂成2个相距很近的能级,原子间距,r0 ：晶体中平衡态原子间的距离,分裂的能级数目,达到平衡状态形成晶体,众多的分裂能级形成连续的能带,晶体中原子密度很高1022 原子/cm3,r0 ：晶体中平衡态原子间的距离,能级分裂形成的能带都称为允带允带之间的能态空隙称为禁带,实际晶体的能级分裂情况比较复杂例：硅（Si）晶体能级分裂,a0 ：硅晶体中平衡态原子间的距离,允带I ：导带,禁带,允带II ：导带,3.
3、1 .2 Kronig-Penney模型,大量原子周期性排列,原子核,多体多电子问题,薛定谔方程,多体,晶体,困难,电子,多电子,多体多电子问题,单体多电子问题,薛定谔方程,能带理论,单体单电子问题,电子运动速度 离子运动速度,哈特里.福克单电子近似法,其他电子作用按几率分布用一个平均势场表示,离子运动与电子运动不交换能量,假定离子固定在平衡位置上不动,绝热近似,原子核势场,原子实：除价电子外，包括原子核和所以壳层的离子单电子原子例：,孤立原子位函数,相邻原子实的交叠位函数,其他电子的排斥作用削弱,原子实的位函数起伏,一个电子实际存在的位函数,V(r)= -e2 /40r,核中质子产生的电势为
4、：,电子在该电场中运动的束缚位函数为：,定态薛定谔方程：,晶体中周期性势场与晶格有相同的周期,单电子在一维周期性势场中的运动满足薛定谔方程,与 ，为同一能量本征值的波函数,=,，a为晶格常数，n为整数,自由电子波函数为平面波,布洛赫定理：在一维周期性势场中的单电子波函数为一个周期性调幅的平面波，其振幅周期为晶格周期，用布洛赫函数描写状态的电子为布洛赫电子,与 ，为同一能量本征值的波函数,布洛赫函数,则可以设此波函数的形式为：,扩充成三维（u（x）是一个周期函数）,自由电子的动量：hk/2,布洛赫函数：,布洛赫函数,周期性函数：,晶格矢量：,布洛赫电子的hk/2并不具备确定的动量，不具备严格意义
5、下的动量含义，但它具有动量的性质，称为准动量,区,区,连续边界条件：,x=a, -b:,根据连续边界条件，可以获得以A,B,C,D为未知数的四个线性齐次方程,线性齐次方程组的非零解的条件时系数行列式为0：,电子束缚在晶体内,0：,用数值解法或者图解法可以确定k，E，V0 的关系,假定势垒很窄但很高,而,为有限值,本征方程：,求出总能量E,本征方程为简化情况下，薛定谔方程有非零解的条件,布洛赫函数,求出 、,3.1.3 k空间图,简约布里渊区,每隔1/a的k表示的是同一 个电子态,E（k）- k的对应意义：一个k值与一个能级（又称能量状态）相对应； 每个布里渊区有N（N：晶体的固体 物理学原胞数
6、）个k状态，故每个能带 中有N个能级； 每个能级最多可容纳自旋相反的两个电子，故 每个能带中最多可容纳2N个电子。,自由电子的能带图本征方程：,自由粒子,无势场,连续抛物线,3.1.4 能带论的其他模型,1.自由电子模型,晶体势场很弱,电子的行为很象自由电子,以势场平均值 求解薛定谔方程,实际势场可以分解,零级近似,微扰法求解薛定谔方程,修正 和,自由电子模型：,电子能量与波矢的关系图（色散关系）与kp模型类似色散曲线更接近自由电子的抛物线关系,在,附近有微小扰动,E(k)是偶函数适用于金属价电子的粗略近似,2.紧束缚模型：,晶体中原子间的距离较近,以孤立原子的能量作为零级近似,原子间的相互作
7、用很小,每个原子对其他电子有较强的束缚作用,简并能级,只对能级进行微扰,能带,紧束缚模型：适用于导电性能较差的晶体，对狭窄内壳层 能带的粗略近似,3. 2 固体的导电性、有效质量和空穴,3.2.1 能带和键的模型：,硅共价键例：,T=0 K,价带4N个能太填满导带为空带，共价键图为：,T0 K,热能使电子能量增加，电子从价带跃迁到导带，价带和导带都是非满带，共价键图为：,温度继续升高,价带电子不断跃迁到导带,价带电子不断增加空态,无外力时，价带空态和导带电子在k空间的分布是对称的,3.2.2 晶体中电子运动的速度和加速度,1 .速度,自由电子：（只有动能、没有势能）,自由电子的德布罗意平面波：
8、,2. 加速度，在一维空间分析,加速度，在空间分析,能量增量外力作功：,3.2.3 有效质量,有效质量,电子与波失的关系（二阶导数 ），决定有效质量的大小和正负,有效质量的物理意义,电子有效质量,电子的惯性质量m0,外力F、晶体势场Fc,外力F可使电子加速，但与自由电子不同,晶体势场Fc比外力F大的多，并且反向，外力F不足以使电子加速,半导体内部势场+外电 场的共同作用,概括了半导体内部势场的作用,3.2.4 满带、部分填充的能带和空穴,1. 满带、部分填充导带,无电场时电子在状态中的分布（画线表示）（a）满带 (b)不满的带,有电场时电子在状态中的分布（画线表示）（a）满带 (b)不满的带,
9、2. 电子能态的变化与导电性a.无外场,E是k的偶函数,一维：,v是k的奇函数,K与k两个状态的电子对电流的贡献互相抵消,晶体总电流0,所有正负k状态大的电子对,b.外电场对电子状态的影响,K空间电子能态变化速度：,外电场：,满带电子能态,各电子的能量E和速度v变化，但E(k)与v（k）的分布不变,正负速度的电子的作用全部抵消,总电流为0，不导电,部分填充的电子能态,各电子的能量E和速度v变化，但E(k)与v（k）的分布不对称,正负速度的电子的作用部分抵消,总电流不为0，导电,外电场E,外电场E,满带晶体不导电 部分填充能带晶体导电,1）满带中的电子不导电 即是说，+k态和-k态的电子电流互相
10、抵消 所以，满带中的电子不导电。2) 而对部分填充的能带，将产生宏观电流。,3. 空穴,空穴：将价带电子的导电作用等效为带正电荷的准粒子的导电作用。空穴的主要特征： A、荷正电：+q； B、空穴浓度表示为p（电子浓度表示为n）； C、EP=-En D、mP*=-mn*,T=0，无激发场,价带为满带，导带为空带,不导电,总电流密度为0,T大于0，热或其它激发,价带顶附近一些电子进入导带,价带顶附近出现一些空的状态,总电流密度不为0,空穴在半导体内的运动方式,因此，在半导体中存在两种载流子：（1）电子； （2）空穴；而在本征半导体中，n=p。如左下图所示：,空穴与导电电子,3.2.5 金属、绝缘体
11、和半导体,各种晶体都有各自的能带能带结构主要决定固体的电、磁、光等特性价电子是构成化学键的电子价电子决定导电特性价电子形成的能带为价带,固体,导电性能,导体,非导体,金属,半导体,半金属,绝缘体,绝缘体：导带为空，不导电价带为满带，不导电禁带宽度很大，约为6ev例如：金刚石禁带宽度5.6ev，电导率很小,半导体：导带为部分填充能带，导电价为部分填充能带，导电禁带宽度比绝缘体小很多，约为1ev。例如Si的禁带宽度1.12ev，电导率比绝缘体大的多T0K,导带为空带，不导电T0K,导带为满带，不导电,半金属：导带为部分填充能带，导电价为部分填充能带，导电导带与价带互相交叠电导率比半导体大的多,金属
12、：导带为部分填充能带，导电电导率比半导体大的多,导体、绝缘体和半导体的能带模型,3.2.5 能带一维概念的三维扩展,实际的晶体是三维的,不同方向有不同的原子间距、不同的位函数,不同的k空间,不同方向有不同的E（k）函数,GaAs能带结构,Si能带结构,-k表示111晶向、k表示100晶向GaAs导带底曲率比Si的大， GaAs导带电子有效质量比Si的小,GaAs导带底与价带顶具有相同的k值,直接带隙半导体,能带跃迁不改变电子的能量,较适合于光学材料,Si导带在100方向上价带顶k0,间接带隙半导体，禁带宽度仍然为导带底与价带顶之差,能带跃迁改变电子的动量和能量，满足能量守恒与动量守恒,Ge也是
13、间接带隙，导带底在111方向,GaAs的能带结构的主要特征（2）Eg（300K）= 1.428eV Eg (0K) = 1.522eV(3)直接能隙结构,3.3半导体的载流子,载流子：载运电流的粒子,金属,自由电子,半导体,导带电子、价带空穴,3.3.1 态密度函数,E(k)曲线在导带底与价带顶接近自由电子的抛物线关系,近似模型：三维无限深势阱中的自由电子,态密度函数：单位体积、单位能量允许电子占据的量子态数目。假设在能带中能量E与E+dE之间的能量间隔dE内有量子态dZ个，则定义状态密度g（E）为：金属、半导体导带中允许电子相对运动，但被限制在晶体中,晶体：边长为a的立方体,势阱：,p17页
14、一维的例子,在k空间，两个量子态的间距为/a ，考虑到泡利不相容原理，一个自旋量子态的体积为0.5(/a)3,二维k空间阵列,k空间第一1/8球体,考虑k空间第一1/8球体,球壳体积为,k空间的量子态密度,态密度函数g（E）,对于半导体：,导带底：,价带顶：,导带底：,禁带中：,价带顶：,由此可知： 状态密度gC（E）和gV（E） 与能量E有抛物线关系，还与有效质量有关，有效质量大的 能带中的状态密度大。,3.3.2 费米分布函数与费米能级,不发生相互作用的粒子，在量子态中的统计规律：,MaxwellBoltzmann几率函数 粒子可区分，每个量子态的粒子数不限 容器中的低压气体分子,BoseEinstein几率函数粒子不可区分，每个量子态的粒子数不限 黑体辐射,FermiDirac（费米狄拉克）几率函数粒子不可区分，每个量子态只允许占据一个电子晶体中的电子,FermiDirac（费米狄拉克）几率函数,为波尔兹曼常数，且,费米分布函数实际上就是能量为E的一个独立的电子态被一个电子占据的几率下图为不同温度下费米几率函数：,费米能级EF的意义费米能级EF ：描述电子统计分布的物理量，量纲为eV,T0K: EEF ,f(E)=0,完全没有电子 EEF , f(E)=1,完全电子占据,
