《《32函数模型及其应用》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《32函数模型及其应用》（25页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、3.2函数模型及其应用要点精析1. 几类不同增长的函数模型及其增长差异分别作出函数y=2x, y=log2x , y=x2在第一象限的图象如图.函数 y=log2x刚开始增长 得最快，随后增长的速度越来越慢；函数y=2x刚开始增长得较慢，随后增长的速度越来越快；函数y=x2增长的速度也是越来越快，但越来越不如y=2x增长得快.函数y=2x和y=x2的图象有两个交点 (2,4)和(4,16).在 x (2,4)时，log2x2xx2，在 x (0,2) U (4, + 8)时， log2xx24 时，log2xx21) , y=logax (a1)和y=xn (n0)都是增函 数，但它们的增长速
2、度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax (a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn (n0)的增长速度，而y=logax(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个 x,使当xx0时，就有logaxxn2,因而y = ex增长速度最快.答案 D2. 几类常见的函数模型(1) 一次函数模型：f(x) = kx+ b (k、b为常数，k丰0);k(2) 反比例函数模型：f(x) = + b (k、b为常数，阵0);x(3) 二次函数模型：f(x) = ax2 + bx+ c (a、b、c 为常数，a乒 0);注意:二次函数模型是高中阶段应用最为广泛的模型，在高考的
3、应用题考查中最为常见.(4) 指数函数模型：f(x) = abx+ c (a、b、c为常数，a乒0, b0 , b乒1);(5) 对数函数模型：f(x) = mlogax+ n (m、n、a 为常数，a0, a乒 1);说明：随着新课标的实施，指数、对数函数模型将会起到越来越重要的作用，在高考的舞台上将会扮演愈来愈重要的角色.(6) 藉函数模型：f(x)= axn+ b(a、b、n为常数，a乒0, n乒1);(7) 分段函数模型：这个模型实际是以上两种或多种模型的综合，因此应用也十分广泛.3. 通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：(1) 收集数据；(2) 根据收集到的数据在平面直角坐标系
4、内描点；(3) 根据点的分布特征，选择一个能刻画其特征的函数模型；(4) 选择其中的几组数据求出函数模型；(5) 将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际，若不符合实际, 则重复步骤 与(4)(5);若符合实际，则进入下一步；(6) 用求得的函数模型去解决实际问题.典例剖析 题型一 一次函数模型的应用例1 一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.2 0元，卖出的价格是每份 0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问 应该从报社买进多少份才
5、能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能获得的利润.解 本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析.设每天从报社买进 x (250 x 400, x N)份报纸.数量(份)价格(元)金额(元)买进30x0.206x卖出20x + 10 X 2500.306x+ 750退回10(x- 250)0.080.8x- 200设每天从报社买进 x份报纸时，每月所获利润为y元，则y = (6x+ 750) + (0.8x- 200) - 6x=0.8x+ 550 (250 x0),为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m,以便留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空
6、闲量与最大养殖量的比值 )的乘积成正比，比例系数为 k (k0).(1) 写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2) 求鱼群年增长量的最大值；(3) 当鱼群年增长量达到最大时，求k的取值范围.m x解(1)根据题意知空闲率是 ,得 y = kx - m (0xm).(2) - y=版四= mx2 + kxm 2 mkT 2)+ 彳，mmk. .当 X=成时，ymax =根据实际意义：实际养殖量X与年增长量y的和小于最大养殖量m,即 0x+ ym,m mk-。分 + 3m解之得：2k0, . 0k2.点评 解题的关键在于对 “空闲率”的理解，正确理解题意，养成良好的阅读习惯是成功的一
7、半.而二次函数模型常涉及顶点坐标、函数的单调性、区间最值等问题，学会二次函 数的配方是比较有效的解题手段.题型三分段函数模型的应用o 10 20 30 天）某上市股票在30天内每股的交易价格 P（元）与时间t（夭）组成有序数对（t, P）,点（t, P） 落在图中的两条线段上.该股票在30天内（包括30天）的日交易量 Q（万股）与时间t（大）的部分数据如下表所示：第t大4101622Q（万股）36302418（1）根据提供的图象，写出该种股票每股的交易价格P（元）与时间t（夭）所满足的函数关系式；（2）根据表中数据确定日交易量Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式；（3）用y（万元）表示该股
8、票日交易额，写出 y关于t的函数关系式，并求出这30天中第几天日交易额最大，最大值为多少？解（1）设表示前20天每股的交易价格 P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为 P = 3 +2= k1 x 0+ mm,由图象得6= ki X 20+ mki = 51,解得 i ，即 P= t+ 2;m= 25k2=-,解得、n= 8P= k2t设表示第20天至第30天每股的交易价格 P（元）与时间t（天）的一次函数关系式为 + n,（6= k2 20+ n由图象得5= k2X 30+ nm _1即 P=一希t+ 8.5t+ 2,0 t20综上知P =(t N).一苻 + 8,20V tv 30（2）
9、由表知，日交易量 Q与时间t满足一次函数关系式，设 Q = at + b （a、b为常数），将（4,36）与（10,30）的坐标代入,4a + b= 36a=- 1得4，解得4.|l0a+ b = 30|b = 40所以日交易量 Q（万股）与时间t（天）的一次函数关系式为Q= 40- t(0 t 30 且 任 N).(3) 由(1)(2)可得(t N).1 2 ,5七 + 6t+ 80,即 y = 1切2 12t+ 320,当0 t20时，函数y=一20 tv 300 t20(t N).20 V tv 301 2t= 15, -当 t= 15 时，ymax决2+ 6t + 80的图象的对称轴为
10、直线 = 125;1 2当20 t120，第15天日交易额最大，最大值为125万元.点评分段函数及其应用问题是当前最热的函数类型，这是由分段函数的特点决定的.由于分段函数兼具多种初等函数的性质，因此可以将多种函数的性质考查到，这在要求能力的高考命题中无疑是重要的命题素材.题型四 函数建模例4个体经营者把开始六个月试销 A、B两种商品的逐月投资与所获利润列成下表:投资A种商品金额（万兀）123456获纯利润（万元）0.651.391.8521.841.40 1投资B种商品金额（万兀）123456获纯利润（万元）0.250.490.7611.261.51该经营者准备下个月投入 12万元经营这两种商
11、品，但不知投入 A、B两种商品各多少 才最合算.请你帮助制定一个资金投入方案， 使得该经营者能获得最大利润， 并按你的方案 求出该经营者下个月可获得的最大纯利润 （结果保留两位有效数字）.解 以投资额为横坐标， 纯利润为纵坐标，在直角坐标系中描点如图.据此，可考虑用卜列函数分别描述上述两组数据之间的对应关系.y=-a(x-4)2+2 (a0)y= bx 把x = 1, y= 0.65代入式，得0. 65= a(1 4) + 2,解碍 a = 0.15.故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系式可近似地用y=一0.15(x 4)2 + 2 表示；把x = 4, y= 1代入式，得b
12、 = 0.25,故前六个月所获纯利润关于月投资B种商品的金额的函数关系式可近似地用y= 0.25x表示.设下个月投入 A、B两种商品的资金分别是 xa万元、xb万元，总利润为 W万元，xa+ xb= 12得52,W= yA+ yB= 0.15(xa_ 4) + 2+ 0.25xb即 W=- 20 Q 晋)+ 济 E?)+ 26当xA=竺Q 3.2时，W取得最大值，6. 53约为4.1万兀，此时，xb= 53-8.8.6点评 本题设计新颖，要求能对数据进行处理，在此基础上选用恰当的模型进行拟合， 并对所得到的模型进行比较，数据分析处理是在信息社会中所必须具备的一项重要的能力.易错祷析.例5某公司
13、在甲，乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1 = 5.06x 一0.15x2, L2= 2x,其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为()A . 45.606B . 45.6C. 46.8D. 46.806错解设甲地销售x辆，则乙地销售15-x辆.总利润 L = Li + L2= 5.06x-0.15x2+ 2(15 x)2=0.15x + 3.06x+ 30=0.15(x 10.2)2+ 45.606当x= 10.2时，获得最大利润 45.606万元.x应根据抛错因分析 上面解答中x= 10.2不为整数，在实际问题中是不可能的，因此物线取与x= 10.2接近的整数才符合题意.正解 设甲地销售x辆，贝U乙地
