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1、目 录第一讲 逻辑推理初步2第二讲 循环小数化分数4第三讲 分数计算（一）10第四讲 分数计算（二）13第五讲 分数、百分数应用题（一）17第六讲 分数、百分数应用题（二）22第七讲 生活中的经济问题27第八讲 工程问题29第九讲 圆的周长与面积32第十讲 不定方程40第一讲 逻辑推理初步学习提示：本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这样的问题我们称之为逻辑推理问题。典型题解下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧。例1 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东
2、岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老师拿出这五座山的图片，并在图片上标出数字，他让五位同学来辨别，每人说出两个。学生回答如下：甲：2是泰山 ，3是华山 乙：4是衡山，2是嵩山 丙：1是衡山，5是恒山丁：4是恒山，3是嵩山 戊：2是华山，5是泰山。老师发现五个同学都只说对了一半，那么正确的说法是什么呢？例2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计，甲说：“他至少有1000本书”。乙说：“他的书不到1000本”。丙说：“他至少有一本书”。这三个估计只有一句是对的，那么小强究竟有多少本书？例3 从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到
3、这三个和尚，他问第一个和尚：“你后面是哪一个和尚？”和尚回答：“讲真话的”。他又问第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有时讲真话，有时讲假话”。他问第三位和尚：“你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答说：“讲假话的”。根据他们的回答，智者很快分清了他们各自是哪一位和尚，请你说出智者的答案。例4 桌上放了8张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。现已知：（1）每张都是A、K、Q、J中的一张；（2）这8张牌中至少有一张Q；（3）其中只有一张A；（4）所有的Q都夹在两张K之间；（5）至少有一张K夹在两张J之间；（6）J和Q互不相邻，A和K也互不相邻；（7）至少有两张K相邻。则图中的8张牌各是什
4、么牌？例5 一天，一位老师让学生来分辨五位科学家的画像，老师把画像从1到5编了好，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字：张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略” 李四说：“1号是瓦特，2号是爱因斯坦”王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特”许六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼”陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略”老师听后，发现每人都只说对了一半，试问这几位科学家的画像分别是几号？例6 在一次有3人参加的讲话中，小张指责小王和小李：“你们都在说谎。”小李却说：“小张正在说谎。”小王则说：“小李正在说谎。”试判断他们谁讲的是真话，谁讲的是假话？例7 有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工。又知
5、道下面三种说法只有一种是对的：（1）甲是车工（2）乙不是车工（3）丙不是钳工请问他们各是什么工种？例8 有四人打桥牌（牌中不含大、小王，每人共13张牌），已知某人手中的牌如下：（1）红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；（2）各种花色的牌，张数不同；（3）红桃和黑桃共有6张；（4）红桃和方块共有5张；（5）有两张主牌（将牌）问这手牌以什么花色为主牌？逻辑推理的特点就是条件繁多、错综复杂、纵横交错。如何从复杂的条件中选准突破口，层层剖析，步步逼近，逐渐向结论靠拢，这是解决这类问题的关键，因此我们在推理的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条件，然后运用几何
6、直观把错综复杂的条件变的一目了然，答案也就找到了。例9 同住一间宿舍的A、B、C、D四名女大学生，正在听一组乐曲。她们当中有一人在修指甲，一人在做头发，一人在化妆，另一人在看书。已知：（1）A不在修指甲，也不在看书 （2）B不在化妆，也不在修指甲 （3）如果A补在化妆，那么C不在修指甲 （4）D不在看书，也不在修指甲。问她们各自在做什么？例10 在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文、历史，每位老师教两门课。现知道：（1）化学老师和数学老师住在一起，（2）甲老师是三位老师中最年轻的，（3）数学老师和丙老师是一对优秀的国际象棋手，（4）物理老师比生物老师年长，比乙老
7、师年轻，（5）三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。问甲乙丙三位老师分别教哪两门课？例11 A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言四个人都会，并且知道：没有人既会日语又会法语，A会日语，而B不会，但他们可以用另一种语言交谈。C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译，B、C、D不会同一种语言，请说出四人分别掌握哪种语言？例12 甲、乙、丙、丁、戊五人各自从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，经过数次交换后，他们五人每人都读完了这五本书。现已知：（1）甲最后读的书是乙读的第二本，（2）丙读的第二本甲在一开始就读了，（3）丙最后读的
8、书是乙读的第四本，（4）丁读的最后一本是丙读的第三本，（5）乙读的第四本是戊读的第三本，（6）丁第三次读的书是丙开始读的那一本。请判断出读这五本书的顺序。例13 小东，小兰，小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道：（1）小东不在一中，（2）小兰不在二中，（3）爱好排球的不在三中，（4）爱好游泳的在一中，（5）爱好游泳的不是小兰，你能弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗？例14 宾馆里住着A、B、C、D、E、F六个不同国籍的客人，他们来自美、英、法、德、俄国和意大利，现在知道：（1）A和美国人是医生
9、，（2）E和俄国人是教师（3）C和德国人是工程师 （4）B和F都曾是运动员（5）而德国人从来不爱运动（6）法国人比A年龄要大（7）C比意大利人年龄小 （8）B同美国人到英国去旅行（9）C同法国人要到瑞士去度假。问：A、B、C、D、E、F各是哪国人？第二讲 循环小数化分数学习提示：在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另
10、一种表示形式，所以分数和小数可以互化。典型题解一、 循环小数化成分数1、 纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化成分数呢？看下面例题。例1把纯循环小数化分数： 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。2、 混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。例2 把混循环小数化分数 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数
11、部分中不循环部分组成的数的差。分母的头几位是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。练习：1、化纯循环小数为分数。2、 化下列混循环小数为分数。二、 循环小数的四则运算 循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。例3 计算下面各题：解：先把循环小数化成分数后计算。三、 循环小数作加法 循环小数能直接作加法运算吗？（1） 有限小数加循环小数考察下面的例子。计算： 目前我们只能将这些小数都化成分数才能算出结果。 现在，根据下面的提示，直接观察每个算式于最后
12、结果之间的关系，希望你能从中发现直接运算的法则。怎么样？发现了什么直接算的规则了吗？请归纳出来。我们利用类似的方法还可以去研究其他的几种情形。（2） 两个循环节位数相同的纯循环小数相加。考察下面的一些例子。 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？（3） 两个循环节位数不相等的纯循环小数相加。考察下面的例子：再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？如果能得出以上三种情形的运算法则的话，那么，利用这些法则去直接计算混循环小数之间的加法运算就不是一件难事了。 规律（1） 有限小数家循环小数，和仍然是个循环小数。其循环节跟原加数的循环节相同。法则是：用有限小数跟循环小
13、数的非循环部分对应数位相加，循环小数的非循环部分不够时，就用第一个循环节、第二个循环节补足再相加，用这个和作和的非循环部分，原来加数的循环节仍作和的循环节。（2） 两个循环节位数相同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数。法则是：用两个循环节相加的和除于999（其中9的个数等于循环节的位数），商作和的整数部分，余数作小数部分的循环节（若余数位数不够原加数循环节的位数时，就在余数的前面补足“0”作循环节）。（3） 两个循环节位数不同的纯循环小数相加，和仍然是个循环小数，其循环节的位数是两个加数循环节位数的最小公倍数。方法是：先把两个加数改成循环节位数相同（两加数循环节位数的最小公倍数）而大小不变的
14、循环小数，再按照法则（2）进行计算。练习1 直接计算下列各题 2 直接计算下列各题 3 将分数化成小数计算 四、 循环小数与整数作乘法我们已经知道，循环小数之间可以作加法运算。由于一个数乘以整数就是求几个相同数连加的简便运算，因此，找出循环小数乘以整数的运算法则是完全可能的。下面分两种情形来讨论。（1） 纯循环小数乘以整数。考察下面例子： 再试试直接列竖式结果会怎样？能归纳出直接运算的法则了吗？（2） 混循环小数乘以整数。混循环小数乘以整数可以转化为纯循环小数进行计算。例如，计算 任何一个混循环小数乘以整数的试题都可以利用类似的方法转化，不是吗？请归纳出法则。 规律（1） 纯循环小数乘以整数，积仍然是个纯循环小数，其循环节的位数跟原循环小数中的循环节位数相同。法则是：用循环节乘以整数的积除以999（其中9的个数等于循环节的位数），商作积的整数部分，余数作积的循环节。（2） 混循环小数乘以整数，先将混循环小数
