5-3-3 质数与合数（三）.教师版【小学奥数精品讲义】

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1、读万卷书 行万里路 1 1. 掌握质数与合数的定义 2. 能够用特殊的偶质数 2 与质数 5 解题 3. 能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用 一、质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有 别的约数，这个数叫做合数. 要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数. 常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、 61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的

2、质数 个位数字只能是 1，3，7 或 9. 考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. 知识点拨知识点拨 知识框架知识框架 5 5- -3 3- -3 3. .质数与合数质数与合数（三）（三） 读万卷书 行万里路 2 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以 我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一 个大于且接近p的平方数 2 K，再列出所有不

3、大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p 就为质数.例如：149 很接近14412 12=，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是 质数. 模块一、质数合数综合 【例【例 1】 写出 10 个连续自然数，它们个个都是合数 【考点】质数合数综合 【难度】2 星 【题型】解答 【解解析析】 在寻找质数的过程中，我们可以看出 100 以内最多可以写出 7 个连续的合数：90，91，92，93， 94，95，96我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了用筛选法可以求得在 113 与 127 之间共有 13 个都是合数的连续自然数：114，

4、115，116，117，118，119，120，121， 122，123，124，125，126同学们可以在这里随意截取 10 个即为答案可见本题的答案不唯一 【答案】114，115，116，117，118，119，120，121，122，123 例题精讲例题精讲 读万卷书 行万里路 3 【例【例 2】 老师可以把本题拓展为找更多个连续的合数：找 200 个连续的自然数它们个个都是合数 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解解析析】 如果 10 个连续自然数中，第 1 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第 3 个是 4 的倍数第 10 个是 11 的倍数，那么这 1

5、0 个数就都是合数又2m+，m+3，m+11 是 11 个连续整数，故 只要m是 2，3，11 的公倍数，这 10 个连续整数就一定都是合数设m为 2，3，4， 11 这 10 个数的最小公倍数m+2，m+3，m+4，m+11 分别是 2 的倍数，3 的倍数，4 的倍数11的倍数， 因此10个数都是合数 所以我们可以找出2， 3， 411的最小公倍数27720， 分别加上 2，3，411，得出十个连续自然数 27722，27723，2772427731，他们分别是 2， 3，411 的倍数，均为合数说明：我们还可以写出11! 2,11! 3,11! 411! 11+ (其中n！ =123n)这

6、 10 个连续合数来同样，(m+1)!+2,(m+1)!+3,(m+1)!+m+1是m个连续的合 数那么 200 个连续的自然数可以是：201! 2,201! 3,201! 201+ 【答案】201! 2,201! 3,201! 201+ 【例【例 3】 四个质数 2、3、5、7 的乘积为 ，经验证 200 到 220 之间仅有一个质数，请问这个质数 是 。 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】 四个质数乘积2 3 5 7 210； 200 到 220 的质数， 因为 2102 3 5 7 ， 所以2102，2103， 2104，2105，

7、2106，2107，2108，2109，210 10都是合数， 所以只需要判断2101 中谁是质数即可，209 和 211 中 211 是质数。 读万卷书 行万里路 4 【答案】积为 210，质数是 211 【例【例 4】 有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数”请你举一个例子，说明这句话是错的 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解解析析】 略 【答案】例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除，就是说它们都不是质数有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意 到(n+1)!+2

8、，(n+1)!+3，(n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)这n个数分别能被 2、3、4、(n+1)整 除，它们是连续的n个合数其中n!表示从 1 一直乘到n的积，即 123n 【例【例 5】 如果一个数不能表示为三个不同合数的和，那么我们称这样的数为智康数，那么最大的智康数是 几？ 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 首先我们可以分析出大多数自然数都是智康数，所以核心的思想是找到智康数与其他自然数的“分 界线”。我们知道最小的三个不同合数是 4,6,8，它们的和是 18,则比 18 小的数一定都是智康数， 而比 18 大的数中，我们可以分为与 18 的差是“奇数”

9、或者是“偶数”。如果与 18 的差是偶数， 那么这类自然数一定不是智康数，可以写作 4+6+(8+2n),如果与 18 的差是一个奇数，那么可以写 作 4+(6+2n)+(8+1)也不是一个智康数，所以最大的智康数为 17。 【答案】17 读万卷书 行万里路 5 【例【例 6】 将八个不同的合数填入下面的括号中，如果要求相加的两个合数互质，那么A最小是几？ A=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ）=（ ）+（ ） 【考点】质数合数综合 【难度】3 星 【题型】填空 【解解析析】 首先列出前几个合数 4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，24，25，26

10、，27， 28，因为相加的合数互质，所以不能同时为偶数，要想A尽量小，这两个数也不能都同时为奇数， 因 为 奇 合 数 比 较 少 ， 找 出8个 来 必 然 很 大 。 所 以 应 该 是 一 奇 一 偶 ， 经 试 验 得 A=4+25=8+21=9+20=14+15=29，即A的最小值为 29。大部分的题考的都是质数，此题考合 数，重在强化合数以及互质的概念。 【答案】A的最小值为 29 【例【例 7】 有些自然数能够写成一个质数与一个合数之和的形式，并且在不计加数顺序的情况下，这样的表示 方法至少有 13 种。那么所有这样的自然数中最小的一个是多少 【考点】质数合数综合 【难度】3 星

11、 【题型】解答 【解解析析】 根据题意在不计加数顺序的情况下一个自然数能有 13 种表示成一个质数与一个合数和的形式， 说明 这个自然数一定比从 2 开始的第 13 个质数要大。从 2 开始数的 13 个质数分别是：2，3，5，7， 11，13，17，19，23，29，31，37，41。那么这个数一定要比 41 大，为了满足这个自然数能够 分别写成上面质数与另一个合数的和的形式，所求自然数只要是个奇数即可，这样这个奇数与从 3 开始的质数的差只要都是一个大于 2 的偶数即可满足条件。答案为 47 【答案】47 读万卷书 行万里路 6 【例【例 8】 求 1-100 中不能表示成两个合数的乘积再

12、加一个合数的最大数是多少？ 【考点】质数合数综合 【难度】4 星 【题型】解答 【解解析析】 考虑最小的合数是 4，先把表示方法简化为 4合数+合数而合数最简单的表现形式就是大于等于 4 的偶数因此该表示方法进一步表示为 4(2n)合数即 8n+合数(其中n1 即可) 当该数被 8 整除时， 该数可表示为 4(2n)+8 ，n1,所以大于等于 24 的 8 的倍数都可表示 当该数被 8 除余 1 时，该数可表示为 4(2n)+9，n1,所以大于等于 25 的被 8 除余 1 都可表示 当该数被 8 除余 2 时，该数可表示为 4(2n)+10，n1,所以大于等于 26 的被 8 除余 2 的都

13、可表示 当该数被 8 除余 3 时，该数可表示为 4(2n)+27，n1,所以大于等于 43 的被 8 除余 3 的都可表示 当该数被 8 除余 4 时，该数可表示为 4(2n)+4，所以大于等于 20 的被 8 除余 4 的都可表示 当该数被 8 除余 5 时，该数可表示为 4(2n)+21，所以大于等于 37 的被 8 除余 5 的都可表示 当该数被 8 除余 6 时，该数可表示为 4(2n)+6，所以大于等于 22 的被 8 除余 6 的都可表示 当该数被 8 除余 7 时，该数可表示为 4(2n)+15，所以大于等于 31 的被 8 除余 7 的都可表示 综上所述，不能表示的最大的数是

14、43835= 经检验，35 的确无论如何也不能表示成合数合数合数的形式，因此我们所求的最大的数就是 35。 【答案】35 读万卷书 行万里路 7 模块二、互质 【例【例 9】 将六个自然数 14，20，33，117，143，175 分组，如果要求每组中的任意两个数都互质，则至 少需要将这些数分成_组。 【考点】互质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，决赛，第 5 题，10 分 【解析】 先将所有数都分解质因数得： 14=27 20=225 33=311 117=3313 143=1113 175=557 注意到 33，117，143 两两都不互质，所以至少应该分成 3 组，同样

15、14，20，175 也必须分为 3 组，互相配合就行。 【答案】3组 【例【例 10】 把 26，33，34，35，63，85，91，143 分成若干组，要求每组中任意两个数的最大公约数是 1， 那么至少要分几组. 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 读万卷书 行万里路 8 【解析】 要保证每组中的任意 2 个数均互质，需要每组中的每个数字都有独有的质因数才能实现。可以对以 上每个数字进行分解质因数，容易得出最少分 3 组. 【答案】3 【例【例 11】 把 40，44，45，63，65，78，99，105 这八个数平分成两组，使每组四个数的乘积相等。 【考点】分解质因数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 3 4025=， 2 44211=， 2 455 3= ， 2 637 3=，655 13= ，782 3 13= ， 2 99311=， 1053 5 7= ，要使每组四个数的乘积相等，需要每组含有相同的质因数，看质因数 2，第一组含有 40，第二组含有 44，78，再看11,13，第一组应有 40，99，65，再看 5 第二组应有 44，78，45， 105，最后看 7，第一组应有 40，99，65，63 【答案】40，99，65，63 【例【例 12】 已知三个合数A，B，C两两互质，且ABC=1101128，那么A+B