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1、读万卷书 行万里路 1 模块一、正方形格点问题 在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定 是 1 个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点在方格网中，以格点为顶 点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形 那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算 公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！ 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个 例题的格点数 我们能发现如下规律：1 2 L SN=+
2、这个规律就是毕克定理 例题精讲例题精讲 4 4- -2 2- -7.7.格点型面积格点型面积 读万卷书 行万里路 2 【例【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？ 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】判断 【解析】 根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有是格点多边形 【答案】是格点多边形 【例【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了 毕克定理 若一个格点多边形内部有 N 个格点，它的边界上有 L 个格点
3、， 1 2 L SN=+ 读万卷书 行万里路 3 方法一：图是正方形，边长是 4，所以面积是4 416=(面积单位)； 图是矩形，长是 5，宽是 3，所以面积是5 315 =(面积单位)； 图是三角形，底是 5，高是 4，所以面积是5 4210 =(面积单位)； 图是平行四边形，底是 5，高是 3，所以面积是5 315 =(面积单位)； 图是直角梯形，上底是 3，下底是 5，高是 3，所以面积是353212+ =（）(面积单位)； 图是梯形，上底是 3，下底是 6，高是 4，所以面积是364218+ =（）(面积单位) 如果两格点之间的距离是 2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：
4、面积数值均扩大 4 倍) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过 程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求这一种方法很重要， 在下面的题目中我们还将使用这种方法！ 如图，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积 的一半 如图，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易 得平行四边形面积同理，图、也可利用同样的思想 【答案】图16；图15；图10；图15；图12；图18 读万卷书 行万里路 4 【例【例 3】 如图(a)，计算这个格点多边形的面积 III II I (c)
5、(b)(a) 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】 方法一(扩展法)这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能 另想别的办法：这个三角形是处在长是 6、宽是 4 的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形， 如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是 所要求的三角形面积矩形面积是6 424=；直角三角形的面积是：6 226=；直角三角形 的 面 积 是 ：4 224 =； 直 角 三 角 形 面 积 是4 224 =； 所 求 三 角 形 的 面 积 是 2464410+=（）(面积单位) 方法二
6、(割补法)将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图因此三角形的面积 是：5 225 2210 + =(面积单位) 【答案】10 【例【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积 1cm 1cm A BC D E F 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 读万卷书 行万里路 5 【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛 【解析】 扩展法 把所求三角形扩展成正方形ABCD中 这个正方形中有四个三角形： 一个是要求的AEFV； 另外三个分别是：ABE、FEC、DAF，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别 为 2 1.5cm， 2 2cm， 2 1.5cm所以，图
7、中阴影部分的面积为：3 31.5 224 +=（）( 2 cm) 【答案】4 【例【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为 9 面积单位第二幅图的 面积均为 10 面积单位 【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上 的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！ 在巩固中，我们发现两个图形面积相等进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是 8 个；第 二个图形边界上的格点数是 10 个，
8、包含在图形内的格点数也相等，都是 6 个 【答案】第一幅图的面积均为 9；第二幅图的面积均为 10 读万卷书 行万里路 6 【巩固】 求下列各个格点多边形的面积 （1） （2） （3） （4） 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 12L =；10N =， 12 1 101 15 22 L SN=+ =+ =(面积单位)； 10L =；16N =， 10 1 16120 22 L SN=+ =+ =(面积单位)； 6L =；12N =， 6 1 121 14 22 L SN=+ =+ =(面积单位)； 10L =；13N =， 10 1 131 17 22 L SN=+
9、=+ =(面积单位) 用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个 例题的格点数 我们能发现如下规律：1 2 L SN=+这个规律就是毕克定理 【答案】15； 20；14；17 【例【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？ 读万卷书 行万里路 7 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则118 2 L SN=+ =(单位面 积) 【答案】18 【例【例 7】 右图是一个8 12面积单位的图形求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积 H G F E D C B A 【
10、考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 箭形ABCDEFGH的面积8 102 14 842 121232246=+ +=+=（）（）(面积单位) 【答案】46 【例【例 8】 比较图中的两个阴影部分和的面积，它们的大小关系_ 读万卷书 行万里路 8 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，二试，第 9 题，6 分 【解析】 的面积为： 111 2 11 13 13 222 + + =，的面积也为3 223=。所以两块阴影部分面积相 等均为 3。 【答案】相等 【例【例 9】 右图中每个小正方形的面积都是 1，那么图中这只“狗”所占的面积是多
11、少？ 【考点】格点型面积 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】 图形内部格点数为 54，图形周界上格点数为 19 所以图形的面积为：54 192 162.5+ =(面积单位) 【答案】62.5 读万卷书 行万里路 9 【巩固】 如图，每一个小方格的面积都是 1 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？ 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】 方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+ L 2 -1)单位正方形面积，其中N为图形内格点数， L为图形周界上格点数 有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+ 7 2 -1)1=6.5(平方厘米) 方法二：如
12、右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积， 有=32=15，=22=1，=22=1，=22=1，=22=l，=22=1，还有三个小 正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 15+l+1+1+1+1+3=95，而整个格点阵所围成的 图形的面积为 16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5 平方厘米 【答案】6.5平方厘米 【例【例 10】 第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7 月 21 日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积 是 1，那么 7、2、1 三个数字所占的面积之和是多少？ 读万卷书 行万里路 10 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】保良局亚
13、洲区城市小学数学竞赛 【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积显然，图中的三个数字都 可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积值得注意的是：数 字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点 7 所占的面积为：2 152 18.5+ =；2 所占的面积为：242 1 11 =；1 所占的面积为： 172 17.5 =所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5 117.527+= 【答案】27 【例【例 11】 5 5的方格纸，小方格的面积是 1 平方厘米，小方格的顶点称为格点请你在图上选 7 个格点， 要求其中任意 3 个格
14、点都不在一条直线上，并且使这 7 个点用直线连接后所围成的面积尽可能 大那么，所围图形的面积是 平方厘米 【考点】格点型面积 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】小学数学奥林匹克 读万卷书 行万里路 11 【解析】 为了使这 7 个点围成最大的面积，这 7 个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取 7 个点，围成 面积最大最大面积为5 50.5 323.5 =(平方厘米) 【答案】23.5平方厘米 【例【例 12】 两个边长相等的正方形各被分成 25 个大小相同的小方格现将这两个正方形的一部分重叠起来， 若左上角的阴影部分(块状)面积为 2 5.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为 2
15、 7.4cm，求大正方形 的面积 【考点】格点型面积 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】从小爱数学 【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D，则D与前者共 14 个方格，与后者共 17 个方格，因此每个 方格的面积是 2 19 7.45.121714cm 25 =（）（）（） 大正方形的面积为 2 19cm 【答案】19平方厘米 读万卷书 行万里路 12 【例【例 13】 将边长为正整数n的正方形平均分成 2 n个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。例如：图A 中的格点是边长为2的正方形的格点。图B中，在边长为 12 的正方形中有四个完全相同的直角三 角形。如果三角形的一条直角边是 3，那么这四个三角形各边共经过多少个格点？(每个格点只计 一次) （A） （B） 【考点】格点型面积 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】希望杯，四年级，二试，第 19 题，10 分 【解析】 如下图是一个三角形的示意图，共经过了 33 个格点 【答案】33个格点 模块二、三角形格点问题 1、定义：所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“”或“”，所形成的三角形都是等边三角形规 定它的面积为 1，以这样的
