《7-1-2 加法原理之分类枚举（二）.教师版【小学奥数精品讲义】》由会员分享，可在线阅读，更多相关《7-1-2 加法原理之分类枚举（二）.教师版【小学奥数精品讲义】（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、读万卷书 行万里路 1 1.使学生掌握加法原理的基本内容； 2.掌握加法原理的运用以及与乘法原理的区别； 3.培养学生分类讨论问题的能力，了解分类的主要方法和遵循的主要原则 加法原理的数学思想主旨在于分类讨论问题，教授本讲的目的也是为了培养学生分类讨论问题的习惯，锻 炼思维的周全细致 一、加法原理概念引入 生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做 法那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用加法原理来解决 例如:王老师从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津， 有 4 趟长途汽车从北京到天津那么他在一天中去
2、天津能有多少种不同的走法？ 知识要点知识要点 教学目标教学目标 7 7- -1 1- -2.2.加法原理之分类枚举加法原理之分类枚举（二）（二） 读万卷书 行万里路 2 分析这个问题发现，王老师去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有 5 种走法，如果乘长途汽车，有 4 种走法上面的每一种走法都可以从北京到天津，故共有 5+4=9 种不同的 走法 在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可 以完成并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的 方法数 二、加法原理的定义 一般地， 如果
3、完成一件事有 k 类方法， 第一类方法中有 1 m种不同做法， 第二类方法中有 2 m种不同做法， ， 第 k 类方法中有 k m种不同做法，则完成这件事共有 12 k Nmmm=+种不同方法，这就是加法原理 加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问 题可以使用加法原理解决我们可以简记为：“加法分类，类类独立” 分类时，首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次，分 类时要注意满足两条基本原则： 完成这件事的任何一种方法必须属于某一类； 分别属于不同两类的两种方法是不同的方法 只有满足这两条基本原则，才可以保
4、证分类计数原理计算正确 运用加法原理解题时，关键是确定分类的标准，然后再针对各类逐一计数通俗地说，就是“整体等于 局部之和” 三、加法原理解题三部曲 读万卷书 行万里路 3 1、完成一件事分 N 类； 2、每类找种数（每类的一种情况必须是能完成该件事） ； 3、类类相加 枚举法：枚举法又叫穷举法，就是把所有符合条件的对象一一列举出来进行计数分类讨论的时候经常会需 要把每一类的情况全部列举出来，这时的方法就是枚举法枚举的时候要注意顺序，这样才能做到不重不漏 分类枚举找规律 【例【例 1】 有一个电子表的表面用 2 个数码显示“小时”，另用 2 个数码显示“分”。例如“21：32”表示 21 时
5、32 分，那么这个手表从“10：00”至“11：30”之间共有 分钟表面上显示有数码 “2”. 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 9 题 【解析】 显示小时的数码不会出现 2，只有分钟会出现。10 点到 11 点分别有 2，12，20，21，22， 29，32，42，52，共 15 次，11 点到 11 点半有 2，12，20，21，22，29 共 12 次，所以 有 27 分钟。 例题精讲例题精讲 读万卷书 行万里路 4 【答案】27分钟 【例【例 2】 袋中有 3 个红球，4 个黄球和 5 个白球，小明从中任意拿出 6 个球
6、，他拿出球的情况共有_ 种可能 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想，迎春杯，四年级，初赛，6 题 【解解析析】 如果没拿红球，那么拿（黄、白）球的可能有（1、5） 、 （2、4） 、 （3、3） 、 （4、2）4 种. 如果拿 1 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、5） （1、4） 、 （2、3） 、 （3、2） 、 （4、1）5 种. 如果拿 2 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、4） 、 （1、3） 、 （2、2） （3、1） 、 （4、0）5 种 如果拿 3 个红球，那么拿（黄、白）球的可能有（0、3） 、 （1、2） 、 （2、
7、1） 、 （3、0）4 种. 可见他拿出球的情况共有：4+5+5+4=18（种） 有 18 种. 【答案】18种 【例【例 3】 1、2、3、4 四个数字，从小到大排成一行，在这四个数中间，任意插入乘号(最少插一个乘号)，可 以得到多少个不同的乘积? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 读万卷书 行万里路 5 【关键词】分类讨论思想 【解析】 方法一：按插入乘号的个数进行分类： 若插入一个乘号，4 个数字之间有 3 个空当，选 3 个空当中的任一空当放乘号，所以有 3 种不同 的插法，可以得到 3 个不同的乘积，枚举如下： 1 2 3 4，1 2 3 4，1 2 3 4
8、若插入两个乘号，由于必有一个空当不放乘号，所以从 3 个空档中选 2 个空当插入乘号有 3 种不 同的插法，可以得到 3 个不同的乘积，枚举如下： 1 2 3 4 ，1 2 3 4，1 2 3 4 若插入三个乘号，则只有 1 个插法，可以得到 l 个不同的乘积，枚举如下： 1 2 3 4 所以，根据加法原理共有33 17+ + =种不同的乘积 方法二：每个空可以放入乘号可以可以不放乘号共有两种选择，在 1、2、3、4 这四个数中共有 3 个 空所以共有：2 2 2=8 去掉都不放的一种情况，所以共有：8 1=7（种）选择 【答案】7 【例【例 4】 1995 的数字和是 1995=24，问：小
9、于 2000 的四位数中数字和等于 26 的数共有多少个? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 读万卷书 行万里路 6 【关键词】分类讨论思想 【解析】 小于 2000 的四位数千位数字是 1，要它数字和为 26，只需其余三位数字和是 25因为十位、个位 数字和最多为 99=18，因此，百位数字至少是 7于是 百位为 7 时，只有 1799，一个；百位为 8 时，只有 1889，1898，二个； 百位为 9 时，只有 1979，1997，1988，三个； 总计共 123=6 个 【答案】6 【巩固】 1995 的数字和是 1995=24，问：小于 2000 的四位数中数字
10、和等于 24 的数共有多少个? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 小于 2000 的四位数千位数字是 1，要它数字和为 24，只需其余三位数字和是 23因为十位、个位 数字和最多为9918+=，因此，百位数字至少是 5于是 百位为 5 时，只有 1599 一个； 百位为 6 时，只有 1689，1698 两个； 百位为 7 时，只有 1779，1788，1797 三个； 百位为 8 时，只有 1869，1878，1887，1896 四个； 读万卷书 行万里路 7 百位为 9 时，只有 1959，1968，1977，1986，1995 五
11、个； 根据加法原理，总计共1234515+ +=个 【答案】15 【巩固】 2007 的数字和是 2+0+0+7=9，问：大于 2000 小于 3000 的四位数中数字和等于 9 的数共有多 少个? 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 大于 2000 小于 3000 的四位数千位数字是 2，要它数字和为 9，只需其余三位数字和是 7因此， 百位数字至多是 7于是根据百位数进行分类： 第一类，百位为 7 时，只有 2700 一个； 第二类，百位为 6 时，只有 2610，2601 两个； 第三类，百位为 5 时，只有 2520，2511，2
12、502 三个； 第四类，百位为 4 时，只有 2430，2421，2412，2403 四个； 第五类，百位为 3 时，只有 2340，2331，2322，2313，2304 五个； 第六类，百位为 2 时，只有 2250，2241，2232，2223，2214、2205 六个； 第七类，百位为 1 时，只有 2160，2151，2142，2133，2124、2115、2106 七个； 读万卷书 行万里路 8 第八类，百位为 0 时，只有 2070，2061，2052，2043，2034、2025、2016、2007 八个； 根据加法原理，总计共1234567836+ + +=个 【答案】36
13、【例【例 5】 从 101 到 900 这 800 个自然数中，数字和被 8 整除的数共有_个。 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 13 题 【解析】 数字和被 8 整除，则数字和可能为 8、16、24 数字和 8=8+0+0=7+1+0=6+2+0=5+3+0=4+4+0=6+1+1=5+2+1=4+3+1=4+2+2=3+3+2 这样的数共有1 3 2 223 32 636+ + + =个 数字和 16=9+7+0=8+8+0=9+6+1=9+5+2=9+4+3=8+7+1=8+6+2=8+5+3=8+4+4= 这样的数共有 58
14、 个 数字和=24=9+9+6=9+8+7=8+8+8 这样的数共有 6 个 所以满足题意的数字共有 100 个 读万卷书 行万里路 9 【答案】100个 【巩固】 在四位数中，各位数字之和是 4 的四位数有多少？ 【考点】加法原理之分类枚举 【难度】4 星 【题型】解答 【关键词】分类讨论思想 【解析】 以个位数的值为分类标准，可以分成以下几类情况来考虑： 第 1 类个位数字是 0，满足条件的数共有 10 个其中： 十位数字为 0，有 4000、3100、2200、1300，共 4 个； 十位数字为 1，有 3010、2110、1210，共 3 个； 十位数字为 2，有 2020、1120，
15、共 2 个； 十位数字为 3，有 1030，共 1 个 第 2 类个位数字是 1，满足条件的数共有 6 个其中： 十位数字为 0，有 3001、2101、1201，共 3 个； 十位数字为 1，有 2011、1111，共 2 个； 十位数字为 2，有 1021，满足条件的数共有 1 个 第 3 类个位数字是 2，满足条件的数共有 3 个其中： 读万卷书 行万里路 10 十位数字为 0，有 2002、1102，共 2 个； 十位数字为 1，有 1012，共 1 个第 4 类个位数字是 3，满足条件的数共有 1 个其中：十 位数字是 0，有 l003，共 1 个根据上面分析，由加法原理可求出满足条件的数共有1063 120+ + =个 【答案】20 【例【例 6】 将 1999 这 999 个自然数排成一行（不一定按从大到小或从小到大的顺序排列） ，得到一个 2889 位数，那么数字串“123”最多能出现 次 【考点】加法原
