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1、系统工程基础 决策分析方法（A） 冯 强 办公室：为民楼617房间 电话：10-8231-3839 E-mail： 北航可靠性与系统工程学院 2011年11月 2011/12/8 主要内容 风险型决策分析方法 专家评估法 多准则决策 2011/12/8 风险型决策分析方法 问题描述 一次性风险型决策分析 重复性风险型决策 贝叶斯风险决策 2011/12/8 问题的描述 当外部环境条件有多种可能性，而它们的出现又 带有随机特点时（各种状态出现的可能性（概率） 是能够预测出来）。我们称这种情况下的决策问题 为风险型决策问题，因为任何决定都要担一定的风 险。这类问题又可分为两类： 一次性风险型决策；
2、 重复性风险型决策。 “不变应万变”“不折腾” 2011/12/8 预备知识（前景与效用） T O1 O2 P1 Pn O* O0 p 1-p T On P2 O0 O* p1 O* pn O0 12 0 12 1 *:(,) :(,) n n n jj j OO OO OO OO pPp ，中最优者； ，中最差者； 任何一个有n种可能结果的前景T，无差于另一简 单前景T，满足： 2011/12/8 决策矩阵： 决策矩阵对应的m个前景： 预备知识（前景与效用） 12 11121 21222 12 n n n mmmn PPP OOO OOO OOO S1S2Sn A1 A2 Am O= 201
3、1/12/8 预备知识（前景与效用） 将这m个前景都化为简单前景： 这样一来，决策问题变成了排出m个简单前景优越 顺序，再从中寻优，选它对应的方案。 2011/12/8 预备知识（前景与效用） 确定最优方案 其中，Pj是第j种外界条件出现的概率， Pij为结果 值Oij对最优结果O*与最劣结果O0而言的无差概率。 H为方案的满意度。 12 111121 221222 12 m n n mmmmn PPP AOOO AOOO O AOOO 1,2, 1 max n ijij im j HP p 2011/12/8 预备知识（前景与效用） 在未引入效用函数之前，确定Pij是一个很难的问题， 一旦引
4、入效用函数，Pij就等价于结果值Oij对决策者 的效用值： 由于O * Oij O0 因此， () ijij pu O 1 () n iijj j Hu O P Oij O* O0 pij 1-pij 2011/12/8 预备知识（前景与效用） 当Ai与Sj均为有限集时，可将上式写成： H=UP H=(H1,H2,Hm)T P=（P1,P2, ,Pm） 11121 12222 12 ()()() ()()() ()()() n n mmmn u Ou Ou O u Ou Ou O U u Ou Ou O 2011/12/8 一次性风险型决策分析 在一次性风险型决策的情况下，直接计算H=UP，并
5、 选择最大的Hi。 某厂在选择一个新产品时，有三种某厂在选择一个新产品时，有三种方案方案，一种是生产某种机，一种是生产某种机 床床Q，一种是生产某种采掘机，一种是生产某种采掘机J，一种是生产品某种采矿机，一种是生产品某种采矿机S。 条件条件是考察某一铁矿是考察某一铁矿是否开采成功是否开采成功。 开采成功 部分成功 开采失败 P1=0.3 P2=0.4 P3=0.3 A1:生产Q 800 800 800 A2:生产J 2500 900 -500 A3:生产S 1500 850 120 800800800 2500900500 1500850120 O= J S Q 2011/12/8 一次性风险
6、型决策分析 Step1:创建效用函数 选择O*=O21=2500,O0=O23=-500 通过询问法确认效用为0.5时的O，并进行归一化。 构建近似效用函数，=0.5(旧书：P227) 550 O* O0 0.5 0.5 2500 -500 0 *0 550( 500) 0.35 2500( 500) OO OO ( )0.168 1.192 0.002u xx 2011/12/8 一次性风险型决策分析 Step2:对决策矩阵归一化，转化为效用矩阵 Step3：计算满意度H=UP，并排序 因此选择方案A1，即生产机床Q。 0.43330.43330.4333 1.00000.46670.000
7、0 0.66670.45000.2067 On= 0.63450.63450.6345 1.0000.66360.0000 0.81890.64290.3995 U= H=UP= 0.6345 0.5654 0.6225 2011/12/8 重复性风险型决策分析 如果外环境条件的各种可能性可能会频繁出现， 而决策一经做出，可以重复实施多次，这就是重 复性风险型决策，如商店进货。 在这种情况下，也还是按下式去分析计算： H=UP 但在寻求效用但在寻求效用u、确定指标、确定指标 时，由于方案一经选定，将要反时，由于方案一经选定，将要反 复实施。所以经过权衡得到的复实施。所以经过权衡得到的，必然是一
8、个，必然是一个特殊值特殊值。O*与与 O0可能各为可能各为0.5时，其：时，其： *0 1 () 2 OOO *00 0 *0*0 1 () 2 0.5 OOO OO OOOO 2011/12/8 重复性风险型决策分析 此时效用函数是线性的： 因此，效用函数矩阵： (O0)是全部元素为O0的mn矩阵，将(1)带入满意度H公式。 0 *0 ( )( ) OO u Ou xx OO *0 1 OO U O- -(O0) （1） *0 1 OO O- -(O0)P=H=UP= *0 1 OO OP- -(O0)P (O*-O0)H+(O0)P=OP 00000 1 12 00000 2 12 0 0
9、0000 12 () () () n n n n POPPPOOOO POPPPOOOO O POPPPOOOO 2011/12/8 重复性风险型决策分析 又由于O*-O0总是正的，所以按H排优劣顺序与按 (O*-O0)H+(O0)P排序总是相同的。令: V= (O*-O0)H+(O0)P 则可得通常采用的重复性风险型决策公式： V=OP V为期望结果向量。 某报社每日印报某报社每日印报1515万份，根据万份，根据100100天的统计，只有天的统计，只有1212天是天是1515 万份销完，万份销完，2020天销售天销售1414万份，万份，3030天销售天销售1313万份，万份，2525天销售天
10、销售1212 万份，万份，1313天销天销1111万份，报纸成本每份万份，报纸成本每份2 2分分5 5厘，售价厘，售价3 3分。分。 2011/12/8 重复性风险型决策分析 方案集： A1方案印15万份 A2方案印14万份 A3方案印13万份 A4方案印12万份 A5方案印11万份 750450150150450 700700400100200 65065065035050 600600600600300 550550550550550 S1S2 A1 A2 A5 O=Oij= A3 A4 S3S4S5 P1P2P3P4P5 条件集： S1销售15万份，P1=0.12 S2销售14万份，P2
11、=0.20 S3销售13万份，P3=0.30 S4销售12万份，P4=0.25 S5销售11万份，P5=0.13 决 策 矩 阵 2011/12/8 重复性风险型决策分析 P=0.12 0.20 0.30 0.25 0.13T 带入公式V=OP 可得： V4=561最大，因此A4方案最可取。 由于当=0.5，效用函数为线性，因此可以直接按照 结果去推算。 1 2 3 4 5 129 343 497 561 550 V V VVOP V V 2011/12/8 贝叶斯风险决策 基础（全概率公式与贝叶斯公式） 假设假设A1,A2,An是一完备事件组。是一完备事件组。 全概率公式： 例：例：某厂用三
12、台机床生产了同样规格的产品，各机床的产某厂用三台机床生产了同样规格的产品，各机床的产 量分别占量分别占60%，30%和和10%，次品率依次为，次品率依次为4%,3%,7%。现。现 从这批产品中随机取一件，试求取到次品的概率。从这批产品中随机取一件，试求取到次品的概率。 解：令B=“取到次品”，Ai为取到第i台机床生产的产品。 1 ( )() (|) n ii i P BP A P B A Ai是导致是导致B 发生的全部发生的全部 原因原因 1 ()0.6P A 2 ()0.3P A 3 ()0.1P A 1 (|)0.04P B A 2 (|)0.03P B A 3 (|)0.07P B A
13、3 1 ( )() (|)0.6 0.040.3 0.030.1 0.070.04 ii i P BP A P B A 2011/12/8 贝叶斯风险决策 假设事件假设事件B“取得一件产品为次品”已经发生，问这件次品“取得一件产品为次品”已经发生，问这件次品 是第是第i台机床生产的概率多大，即求台机床生产的概率多大，即求P(Ai|B)。 贝叶斯公式 例：例：假设根据历史信息，某球迷认为中国队进入十强赛后出假设根据历史信息，某球迷认为中国队进入十强赛后出 线概率为线概率为70%。结果第一场球，中国队不幸输了，已知历史。结果第一场球，中国队不幸输了，已知历史 上中国队出线且输掉第一场的概率为上中国
14、队出线且输掉第一场的概率为2/5，未出线且第一场，未出线且第一场 也输掉的概率为也输掉的概率为1/2，那么再次评估，中国队出线的概率是，那么再次评估，中国队出线的概率是 多少？多少？ 解：令B=“首战失败”，A1为出线，A2为未出线。 1 ()() (|) (|) ( ) () (|) iii in ii i P ABP A P B A P A B P B P A P B A 1 ()0.7P A 1 (|)2/5P B A 2 (|)1/2P B A 11 1 1122 (|) ()(2/5) 0.7 (|)0.65 (|) ()(|) ()(2/5) 0.7(1/2) 0.3 P B A
15、P A P A B P B A P AP B A P A 全概率公式全概率公式 2011/12/8 贝叶斯风险决策 风险决策时的方案选择决定于外界环境状态，而 这种状态是无法确定的，更不受决策者控制。但 通过事前判断、调查和实验，可以获得有关的信 息，贝叶斯决策理论为此提供了科学的方法。 例，例，石油公司石油公司A A进行土地开发，假设该公司在石油产地拥进行土地开发，假设该公司在石油产地拥 有一片土地，某地址顾问公司告诉管理者，这片土地有有一片土地，某地址顾问公司告诉管理者，这片土地有 1/41/4的机会含有大量石油，同时，另外一家石油公司的机会含有大量石油，同时，另外一家石油公司B B开价开价 9 9亿美元亿美元买这块地，但如果保留这块土地自己钻井。若钻买这块地，但如果保留这块土地自己钻井。若钻 到油，预期到油，预期利润利润为为70
